1、1单元质检卷七 不等式、推理与证明(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分)1.(2018 山东、湖北部分重点中学模拟五,3)若 2m2n,则下列结论一定成立的是( )A.1m1nB.m|m|n|n|C.ln(m-n)0D. m-n0 的解集为 ,则不等式 bx2-5x+a0 的解集为( )x|x12A.x|-1312C.x|-323.下面四个推理中,属于演绎推理的是( )A.观察下列各式:7 2=49,73=343,74=2 401,则 72 015的末两位数字为 43B.观察( x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-s
2、in x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1 2,则它们的面积比为 1 4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1 2,则它们的体积之比为 1 8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2018 河南中原名校质检三,3)下列各函数中,最小值为 2 的是( )A.y=x+1xB.y=sin x+ ,x 0,1sinx 2C.y=x2+3x2+2D.y=x+ -3,x14x-15.(2019 广东化州一模,9)已知实数 x,y 满足 则 z=x+ 的最大值为( )x+y 10,x-y+2 0,x 0,y 0, y2A.7
3、B.1 C.10 D.026.(2018 辽宁凌源二中三模,8)大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚 .他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨 .据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是( )A.小徐 语文B.小蔡 数学C.小杨 数学D.小蔡 语文7.(2019 届湖南衡阳第八中学二模,7)已知 x,y 满足约束条件 若 z=a
4、x+y 的最大值为 4,x-y 0,x+y 2,y 0, 则 a=( )A.3 B.2 C.-2 D.-38.(2019 届四川成都石室中学模拟,8)已知 a0,实数 x,y 满足 若 z=3x+y 最小值为x 1,x+y 3,y a(x-3),1,则 a 的值为 ( )A.-1 B.1C.- D.-1 或 1329.(2018 吉林梅河口五中三模,7)用数学归纳法证明“1 +2+3+n3= ,nN +”,则当 n=k+1 时,n6+n32应当在 n=k 时对应的等式的两边加上( )A.(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3B.k3+1C.(k+1)3D.(k+1)6+(k+1)3210.某
5、车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元 .若每批生产 x 件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元 .为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,x8每批应生产产品( )A.60 件 B.80 件C.100 件 D.120 件11.已知实数 x,y 满足约束条件 若 z= 的最小值为 - ,则正数 a 的值为( )x-y+1 0,2x+y-a 0,2x-y-4 0, y+1x+1 143A. B.1 C. D.76 34 8912.(2018 山东日照联考,7)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为 5 分,分值高者为优),绘制了如图所
6、示的六维能力雷达图,图中点 A 表示甲的创造力指标值为 4,点 B 表示乙的空间能力指标值为 3,则下面叙述正确的是( )A.乙的记忆能力优于甲的记忆能力B.乙的创造力优于观察能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力中记忆能力最差二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 14.已知抛物线 y=ax2+2x-a-1(aR)恒过第三象限上一定点 A,且点 A 在直线 3mx+ny+1=0(m0,
7、n0)上,则 的最小值为 . 1m+1n15.(2018 四川广元适应性统考,15)二维空间中,圆的一维测度(周长) l=2 r,二维测度(面积)S= r2,三维空间中,球的二维测度(表面积) S=4 r2,三维测度(体积) V= r3,应用合情推理,若四维43空间中,“超球”的三维测度 V=8 r3,则其四维测度 W= . 16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 .如三角形数 1,3,6,10,第 n 个三角形数为 n2+ n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的n(n+1)2 =12 12表达式:4三角形数 N(n,3)
8、= n2+ n,12 12正方形数 N(n,4)=n2,五边形数 N(n,5)= n2- n,32 12六边形数 N(n,6)=2n2-n,可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= . 参考答案单元质检卷七 不等式、推理与证明1.B 由 2m2n知 mn.取 m=2,n=1, 不成立,排除选项 A;由 ln(2-1)=0 知选项 C 不成立;由 2-1= 11211知选项 D 错,故选 B.2.C 由题意知 a0,且 ,- 是方程 ax2-5x+b=0 的两根,12 13 解得-13+12=5a,-1312=ba, a=30,b= -5,bx 2-5x+a=-5x2-5x+
9、300,即 x2+x-60.对于 B:不能保证 sin x=1;对于 C:不能保证 =1;x2+2对于 D:x 1,y=x+ -3=x-1+ -22 -2=4-2=2,当且仅当 x-1= ,即4x-1 4x-1 (x-1)4x-1 4x-1x=3 时等号成立,故选 D.5.C 由约束条件 作出可行域如图,x+y 10,x-y+2 0,x 0,y 05由题得 A(10,0),化目标函数 z=x+ 为 y=-2x+2z,由图可知,当直线 y=-2x+2z 过点 A 时,直线在y2y 轴上的截距最大, z 有最大值为 10.故选 C.6.C 小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中,小杨不任教语文
10、,所以只有小蔡被分配到一中任教语文,小杨没有被分配到二中,也没有被分配到一中,所以只能被分配到三中,且任教数学,所以只能小徐被分配到二中,且任教英语,故选 C.7.B 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),则 A(2,0),B(1,1),若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2.此时目标函数为 z=2x+y,即 y=-2x+z,平移直线 y=-2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时z 最大为 4,满足条件;若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3,此时目标函数为z=3x+y,即 y=-3x+z,平移直线 y=
11、-3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满足条件,故 a=2,综上所述,故选 B.8.B 作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由 z=3x+y,得 y=-3x+z,平移直线 y=-3x+z,由图像可知当直线 y=-3x+z 经过点 C 时直线 y=-3x+z 的截距最小,此时 z 最小 .即 3x+y=1,由 解得 即 C(1,-2), 点 C 也在x=1,3x+y=1, x=1,y= -2,直线 y=a(x-3)上, - 2=-2a,解得 a=1.故选 B.9.A 当 n=k 时,等式左端 =1+2+k3,当 n=k+1 时,等式左端 =1+2+k3+(k
12、3+1)+(k3+2)+(k3+3)+(k+1)3.故选 A.10.B 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 y= + 2 =20,当且仅当 = (x0),即 x=80800x x8 800xx8 800x x8时等号成立,故选 B.11.D 实数 x,y 满足约束条件 的可行域如图阴影部分所示 .x-y+1 0,2x+y-a 0,2x-y-4 0,6因为 a0,由 z= 表示过点( x,y)与点( -1,-1)的直线的斜率,且 z 的最小值为 - ,y+1x+1 14所以点 A 与( -1,-1)连线的斜率最小,由 解得 A ,z= 的最小2x+y-a=0,2x-y-4=0, (1+a4
13、,a2-2) y+1x+1值为 - ,14即 = = =- ,解得 a= .故选 D.(y+1x+1)mina2-2+1a4+1+12a-4a+8 14 8912.C 从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力,故 A 错 .乙的创造力为 3,观察能力为 4,乙的观察能力优于创造力,故 B 错 .甲的六大能力总和为 25,乙的六大能力总和为 24,故甲的六大能力整体水平优于乙,故 C 正确 .甲的六大能力中,推理能力为 3,为最差能力,故 D 错 .综上,故选 C.13.F+V-E=2 三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;正方体中 6+8-12=2;由此归纳可得
14、F+V-E=2.14.12 抛物线 y=ax2+2x-a-1(aR)恒过第三象限上一定点 A,A (-1,-3),m+n= ,13又 + = + =6+3 6 +6 =12,当且仅当 m=n= 时等号成立 .1m1n3(m+n)m 3(m+n)n (nm+mn) nmmn 1615.2 r4 由题意得,二维空间中,二维测度的导数为一维测度;三维空间中,三维测度的导数为二维测度 .由此归纳,在四维空间中,四维测度的导数为三维测度,故 W=2 r4.16.1 000 由题中数据可猜想:含 n2项的系数为首项是 ,公差是 的等差数列,含 n 项的系数为首项12 12是 ,公差是 - 的等差数列,因此 N(n,k)= n2+ +(k-3) - n= n2+ n.故12 12 12+(k-3)12 12 12 k-22 4-k2N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.7
