1、1第 1 课时 利用导数解决不等式问题1.(2018 课标全国,21,12 分)已知函数 f(x)= .ax2+x-1ex(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a1 时, f(x)+e0.解析 本题考查导数的几何意义、导数的综合应用.(1)f (x)= , f (0)=2.-ax2+(2a-1)x+2ex因此曲线 y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是 2x-y-1=0.(2)证明:当 a1 时, f(x)+e(x 2+x-1+ex+1)e-x.令 g(x)=x2+x-1+ex+1,则 g(x)=2x+1+ex+1.当 x-1 时,g(x)0,g(x)单调递
2、增.所以 g(x)g(-1)=0.因此 f(x)+e0.2.(2018 河北石家庄模拟)已知函数 f(x)=ex-3x+3a(e 为自然对数的底数,aR).(1)求 f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当 aln ,且 x0 时, x+ -3a.3e exx32 1x解析 (1)由 f(x)=ex-3x+3a 知, f (x)=e x-3.令 f (x)=0,得 x=ln 3,于是当 x 变化时, f (x)和 f(x)的变化情况如下表:x(-,ln 3)ln 3(ln 3,+)f (x) - 0 +f(x) 单调递减 极小值 单调递增故 f(x)的单调递减区间是(-,ln 3),单调递增区
3、间是(ln 3,+),f(x)在 x=ln 3 处取得极小值,极小值为 f(ln 3)= -3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).eln3(2)证明:待证不等式等价于 ex- x2+3ax-10,32设 g(x)=ex- x2+3ax-1,x0,322则 g(x)=ex-3x+3a,x0.由(1)及 aln =ln 3-1 知,g(x)的最小值为 g(ln 3)=3(1-ln 3+a)0.3eg(x)在(0,+)上为增函数,g(0)=0,当 x0 时,g(x)0,即 ex- x2+3ax-10,即 x+ -3a.32 exx32 1x3.(2019 贵州适应性考试)已知函数 f(x)=xl
4、n x+ax,aR,函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y-1=0 垂直.(1)求 a 的值和函数 f(x)的单调区间;(2)求证:e xf (x).解析 (1)由题易知, f (x)=ln x+1+a,x0,因为 f(x)的图象在 x=1 处的切线的斜率 k=2,所以 f (1)=ln 1+1+a=2,所以 a=1.所以 f (x)=ln x+2,当 xe-2时, f (x)0,当 00,因为 g(x)=ex- 在(0,+)上单调递增,1x且 g(1)=e-10,g = -2t 时,g(x)g(t)=0,所以 g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+)上单调递增,所以 x
5、0 时,g(x)g(t)=e t-ln t-2= -ln -2=t+ -22-2=0,1t 1et 1t又 0,即 exf (x).124.已知函数 f(x)=aln x+ ,曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y=2.b(x+1)x(1)求 a,b 的值;3(2)当 x0 且 x1 时,求证: f(x) .(x+1)lnxx-1解析 (1)函数 f(x)=aln x+ 的导数为 f (x)= - ,由曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y=2,可b(x+1)x axbx2得 f(1)=2b=2, f (1)=a-b=0,解得 a=b=1.(2)证明:当 x1 时,f(x) 即为 ln x+1+ ln x+ ,(x+1)lnxx-1 1x 2lnxx-1即 x- -2ln x0,1x当 0 即为 x- -2ln x1 时,g(x)g(1)=0,即有 f(x) ,(x+1)lnxx-1当 0 .(x+1)lnxx-1综上可得,当 x0 且 x1 时, f(x) 都成立.(x+1)lnxx-14
