1、1第九节 函数模型及其应用A 组 基础题组1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01A.y=2x-2 B.y= (x2-1)12C.y=log2x D.y=lo xg12答案 B 由题中表可知函数在(0,+)上是增函数,且 y 的变化随 x 的增大而增大得越来越快,分析选项可知 B符合,故选 B.2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年年产量保持不变,则该
2、厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系的图象正确的是( )答案 A 前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有 A、C 图象符合要求,而后 3 年年产量保持不变,故选 A.3.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对于进价),则该家具的进价是( )A.118 元 B.105 元 C.106 元 D.108 元答案 D 设进价为 a 元,由题意知 132(1-10%)-a=10%a,解得 a=108.故选 D.4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过 10 m3的,按 m 元/m 3收费
3、;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m 元,则该职工这个月实际用水为( )A.13 m3B.14 m3C.18 m3D.26 m3答案 A 设该职工用水 x m3时,缴纳的水费为 y 元,由题意得 y=mx(010),则 10m+(x-10)2m=16m,解得 x=13.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长 x,y 应为( )2A.x=15,y=12 B.x=12,y=15C.x=14,y=10 D.x=10,y=14答案 A 如图,由三角形相
4、似得 = ,得 x= (24-y),所以 S=xy=- (y-12)2+180,24-y24-8x20 54 54所以当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15.检验符合题意.6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,13至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1) 答案 8解析 设过滤 n 次,则 2% 0.1%,(1-13)n即 ,(23)n 120所以 nlg -1-lg 2,所以 n7.39,所以 n=8.237.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次
5、加油时的情况.加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2018 年 5 月 1 日 12 35 0002018 年 5 月 15日 48 35 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 升. 答案 8解析 因为每次都把油箱加满,第二次加了 48 升油,说明这段时间总耗油量为 48 升,而行驶的路程为 35 600-35 000=600(千米),故每 100 千米平均耗油量为 486=8(升).8.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率 v 的平方成正比,且比例系数为 k,除燃料费外其他费用为每小时 96 元.当速度为 1
6、0 海里/小时时,每小时的燃料费是 6 元.若匀速行驶 10 海里,当这艘轮船的速度为 海里/小时时,总费用最小. 3答案 40解析 设每小时的总费用为 y 元,则 y=kv2+96,又当 v=10 时,k10 2=6,解得 k=0.06,所以每小时的总费用 y=0.06v2+96,匀速行驶 10 海里所用的时间为 小时,故总费用为 W= y= (0.06v2+96)10v 10v 10v=0.6v+ 2 =48,960v 0.6v960v当且仅当 0.6v= ,即 v=40 时等号成立.960v故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/小时.9.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某
7、种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度 v(单位:m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为:v=a+blog 3 (其中 a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单Q10位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为 30 个单位,则 a+blog3 =0,即3010a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s,则 a+blog3 =1,9010整理得 a+2
8、b=1.解方程组 得a+b=0,a+2b=1, a= -1,b=1. (2)由(1)知,v=a+blog 3 =-1+log3 .Q10 Q10所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则 v2,所以-1+log 3 2,即 log3 3,解得 27,即 Q270.Q10 Q10 Q10所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要 270 个单位.10.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE=4 米,CD=6 米.为了合理利用这块钢板,在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM,使点 P 在边 DE 上.(1)设 MP=x 米,PN=y 米,将
9、 y 表示成 x 的函数,并求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形 BNPM 面积的最大值.4解析 (1)如图,作 PQAF 于 Q,所以 PQ=8-y,EQ=x-4,在EDF 中, = ,所以 = ,EQPQEFFD x-48-y42所以 y=- x+10,定义域为x|4x8.12(2)设矩形 BNPM 的面积为 S,则 S(x)=xy=x =- (x-10)2+50,(10-x2) 12所以 S(x)是关于 x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线 x=10,所以当 x4,8时,S(x)单调递增,所以当 x=8 时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,最大值为 48 平方米.B 组 提
10、升题组1.某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A 地的销售利润(单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x2,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是 ( )A.10.5 万元 B.11 万元 C.43 万元 D.43.025 万元答案 C 设总利润为 y 万元,公司在 A 地销售该品牌的汽车为 x 辆,则在 B 地销售该品牌的汽车为(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1 +0.1 +32.(x-2
11、12)2 2124因为 x0,16且 xN,所以当 x=10 或 11 时,能获得最大利润,且最大利润为 43 万元.2.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边的夹角为 60(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米,外周长3 35(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长 x= . 答案 2 3解析 根据题意知,9 = (AD+BC)h,312其中 AD=BC+2 =BC+x,h= x,x2 32所以 9 =
12、 (2BC+x) x,得 BC= - ,由 得 2x0,所以 y=BC+2x= + (2x0,所以函数 f(x)在(3,4)上有一个零点.故大约使用 4 年后,用在该车上的费用达到 14.4 万元.4.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v(单位:千克/年)是养殖密度 x(单位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4 尾/立方米时,v 的值为 2 千克/年;当 4x20 时,v 是 x 的一次函数,当 x 达到 20 尾/立方米时,因缺氧等原因,v 的值为 0 千克/年.(1)当 0x20 时,求函数
13、v 关于 x 的函数解析式;(2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.解析 (1)由题意得当 0x4 时,v=2;6当 4x20 时,设 v=ax+b,a0,显然 v=ax+b 在4,20内是减函数,由已知得 解得20a+b=0,4a+b=2, a= -18,b=52, 所以 v=- x+ ,18 52故函数 v=2,0x 4,-18x+52,4x 20.(2)设年生长量为 f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=2x,0x 4,-18x2+52x,4x 20,当 0x4 时,f(x)为增函数,故 f(x)max=f(4)=42=8;当 4x20 时, f(x)=- x2+ x=- (x2-20x)=- (x-10)2+ , f(x)max=f(10)=12.5.18 52 18 18 252所以当 0x20 时, f(x)的最大值为 12.5.即当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为 12.5 千克/立方米.7
