1、1第二节 函数的单调性与最值A 组 基础题组1.函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2(0,+),当 x1f(x2)”的是( )A.f(x)= B.f(x)=(x-1)21xC.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案 A 由题意知 f(x)在(0,+)上是减函数.A 中, f(x)= 满足要求;B 中,f(x)=(x-1) 2在0,1上是减函数,1x在(1,+)上是增函数;C 中, f(x)=e x是增函数;D 中, f(x)=ln(x+1)是增函数.2.函数 f(x)= 在 R 上是( )x+1,x 0,x-1,xf(x),则实数 x 的取值范围是( )x3,x 0,ln(x+
2、1),x0,A.(-,-1)(2,+) B.(-,-2)(1,+)C.(-1,2) D.(-2,1)答案 D 因为当 x=0 时,两个表达式对应的函数值都为 0,所以函数的图象是一条连续的曲线.因为当 x0 时,f(x)=x 3为增函数,当 x0 时, f(x)=ln(x+1)也是增函数,所以函数 f(x)是定义在 R 上的增函数.因此,不等式 f(2-x2)f(x)等价于 2-x2x,即 x2+x-20,x1x 2,若 f(a2-a)f(2a-2),则实数 a 的取值范围为( )A.-1,2) B.0,2) C.0,1) D.-1,1)答案 C 由题意知函数在-2,2上单调递增, -2 a2
3、-a 2,-2 2a-2 2,2a-22,0a0,0,x=0,-1,x1,0,x=1,-x2,x1,答案 2 -66解析 因为 y=x2在(-,0)上单调递减,在0,+)上单调递增,所以当 x1 时,f(x) min=f(0)=0.当 x1 时,y=x+ 2 ,当且仅当 x= 时,等号成立,此时 f(x)min=2 -6.6x 6 6 6又 2 -60, a0,所以 a .18,13)9.已知 f(x)= (xa).xx-a3(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-,-2)上单调递增;(2)若 a0 且 f(x)在(1,+)上单调递减,求 a 的取值范围.解析 (1)证明:任取 x1,x2(
4、-,-2),且 x10,x1-x20,x2-x10,所以要使 f(x1)-f(x2)0,只需(x 1-a)(x2-a)0 恒成立,所以 a1.综上所述,00,试确定 a 的取值范围.解析 (1)设 g(x)=x+ -2,当 a(1,4),x2,+)时,则 g(x)=1- = ,易知 g(x)0.ax ax2x2-ax2因此 g(x)在2,+)上是增函数,所以 f(x)在2,+)上是增函数,则 f(x)min=f(2)=ln .a2(2)对任意 x2,+),恒有 f(x)0,即 x+ -21 对 x2,+)恒成立.ax所以 a3x-x2.令 h(x)=3x-x2,x2,+).由于 h(x)=-
5、+ 在2,+)上是减函数,(x-32)294所以 h(x)max=h(2)=2.故 a2 时,恒有 f(x)0.因此实数 a 的取值范围为(2,+).B 组 提升题组41.如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数,且函数 y= 在区间 I 上是减函数,那么称函数 y=f(x)是区间 I 上的f(x)x“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”.若函数 f(x)= x2-x+ 是区间 I 上的“缓增函数”,则“缓增区间”I 为12 32( )A.1,+) B.0, 3C.0,1 D.1, 3答案 D 因为函数 f(x)= x2-x+ 的图象的对称轴为 x=1,所以函数 y=f(x)在区间1,+
6、)上是增函数,又当 x112 32时, = x-1+ ,令 g(x)= x-1+ (x1),则 g(x)= - = ,由 g(x)0 得 1x ,即函数 y= = x-1+f(x)x 12 32x 12 32x 1232x2x2-32x2 3 f(x)x 12在区间1, 上单调递减,故“缓增区间”I 为1, .32x 3 32.设 f(x)= 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为( )(x-a)2,x 0,x+1x+a,x0.A.-1,2 B.-1,0C.1,2 D.0,2答案 D 当 x0 时,f(x)=(x-a) 2,f(0)是 f(x)的最小值,a0.当 x0 时,f(
7、x)=x+ +a2+a,当且仅当 x=11x时取“=”.要满足 f(0)是 f(x)的最小值,只需 2+af(0)=a 2,即 a2-a-20,解得-1a2,a 的取值范围是 0a2.故选 D.3.设函数 f(x)= 若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( )-x2+4x,x 4,log2x,x4. A.(-,1 B.1,4C.4,+) D.(-,14,+)答案 D 作出函数 y=f(x)的图象,如图所示,由图象可知 f(x)的单调递增区间为(-,2,(4,+),所以要使 f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足 a+12 或a4,即 a1 或 a4,
8、故选 D.4.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当 x0 时, f(x)-1.(1)求 f(0)的值,并证明 f(x)在 R 上是单调增函数;(2)若 f(1)=1,解关于 x 的不等式 f(x2+2x)+f(1-x)4.5解析 (1)令 x=y=0,得 f(0)=-1,在 R 上任取 x1,x2,且令 x1x2,则 x1-x20, f(x1-x2)-1.又 f(x1)=f(x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1f(x2),所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数.(2)由 f(1)=1,得 f(2)=3,f(3)=5.由 f(x2+2x)+f(1-x)4 得 f(x2+x+1)f(3),又函数 f(x)在 R 上是增函数,故 x2+x+13,解得 x1,故原不等式的解集为x|x1.
