1、1第八节 函数与方程A 组 基础题组1.设 f(x)是区间-1,1上的增函数,且 f f 0, f(2)=3-log22=20, f(4)= -log24=- 0),在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图所示,两个函数图象的交点个数就是函数 f(x)零点的个数,容易看出函数 f(x)零点的个数为 2,故选 B.4.已知函数 f(x)= 则使方程 x+f(x)=m 有解的实数 m 的取值范围是( )1,x 0,1x,x0,A.(1,2)B.(-,-2C.(-,1)(2,+)2D.(-,12,+)答案 D 当 x0 时,x+f(x)=m,即 x+1=m,解得 m1;当 x0 时,x+f(
2、x)=m,即 x+ =m,解得 m2,即实数 m 的取值1x范围是(-,12,+).故选 D.5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x 2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( )A.1,3 B.-3,-1,1,3C.2- ,1,3 D.-2- ,1,37 7答案 D 令 x0,所以 f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).所以当 x0(舍去)或 x=-2- .所以函数 g(x)有三个零点,故其7 7集合为-2- ,1,3.76.已知 f(x)= 则函数 g(x)=f(x
3、)-ex的零点个数为 . x+3,x 1,-x2+2x+3,x1,答案 2解析 函数 g(x)=f(x)-ex的零点个数即函数 y=f(x)与 y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有 2 个交点,即函数 g(x)=f(x)-ex有 2 个零点.7.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)0 的解集是 . 答案 x|-320,即-(4x 2+2x-6)02x2+x-30).|1-1x|(1)作出函数 f(x)的图象;(2)当 00,x+1,x 0.(1)求 g(f(1)的值;(2)若方程 g(f(x)-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值
4、范围.解析 (1)g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令 f(x)=t,则原方程化为 g(t)=a,易知方程 f(x)=t 在(-,1)上有 2 个不同的解,则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(tf(x0).又 x0是函数(15)xf(x)的零点,因此 f(x0)=0,所以 f(x1)0,即 f(x1)的值恒为正,故选 A.2.(2018 河南郑州质检)已知函数 f(x)= -cos x,则 f(x)在0,2上的零点个数为 . (12)x答案 3解析 令 f(x)=0,则 =cos x.令 g(x)= ,h(x)=cos x.作出 g(x)= 与 h(x)=cos x 的
5、图象,如图,可知其(12)x (12)x (12)x在0,2上的交点个数为 3,所以函数 f(x)在0,2上的零点个数为 3.3.(2019 安徽黄山一模)已知函数 f(x)=e|x|+|x|.若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 . 答案 (1,+)解析 方程 f(x)=k 即 e|x|=k-|x|.令 y=e|x|,y=k-|x|,y=k-|x|表示过点(0,k),斜率为 1 或-1 的平行折线系,折线与曲线 y=e|x|恰好有一个公共点时,有 k=1,如图.若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(1,+).4.
6、已知函数 f(x)=log2(2x+1).(1)求证:函数 f(x)在(-,+)上单调递增;5(2)若 g(x)=log2(2x-1)(x0),且关于 x 的方程 g(x)=m+f(x)在1,2上有解,求 m 的取值范围.解析 (1)证明:任取 x1,x2(-,+),且令 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=log2( +1)-log2( +1)=log2 ,2x1 2x2 2x1+1x2+1x 1x2,0 1,2x1+12x2+1log 2 0,2x1+1x2+1f(x 1)f(x2),函数 f(x)在(-,+)上单调递增.(2)g(x)=m+f(x),m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log22x-1x+1=log2 ,(1-22x+1)1x2,22 x4,log 2 log 2 log 2 ,13 (1- 22x+1) 35故 m 的取值范围为 .log213,log235
