1、1课时规范练 23 解三角形基础巩固组1.(2018山西吕梁一模,4)在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 a= ,c=3,cos A=,则6b= ( )A.3 B.1C.1或 3 D.无解2.在 ABC中,已知 acos A=bcos B,则 ABC的形状是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.(2018湖南长郡中学四模,11)在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则角 C=( )2A. B.56 6C. D.4 34.在 A
2、BC中, B= ,BC边上的高等于 BC,则 cos A= ( )4A. B.31010 1010C.- D.-1010 310105.(2018湖南长郡中学五模,11)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 =- ,则角 3A的最大值为( )A. B.6 4C. D.3 26.(2018河北衡水中学三模,14)在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且满足 asin B=bcos A,则 sin B-cos C的最大值是 . 27.(2018北京,文 14)若 ABC的面积为 (a2+c2-b2),且 C为钝角,则 B= ;的取值范围34是 . 8.如图所示
3、,长为 3.5 m的木棒 AB斜靠在石堤旁,木棒的一端 A在离堤足 C处 1.4 m的地面上,另一端 B在离堤足 C处 2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则坡度值 tan = .29.(2018河北唐山一模,16)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 S ABC= ,则 的最大24 +值是 . 10.在 ABC中, A=60,c=a.(1)求 sin C的值;(2)若 a=7,求 ABC的面积 .综合提升组11.(2018河北衡水中学考前仿真,11)在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 a=5,ABC的面积 S ABC= ,且 b2+c2-a2
4、=accos C+c2cos A,则 sin B+sin C=( )2534A.3 B. C. D.3932 3 312.(2018河北衡水中学月考,12)已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且( a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若 a+b=2,则 c的取值范围为( )A.(0,2) B.1,2)C. D.(1,212,2313.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸 A、 B两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从点 C可以观察到点 A、 B;找到一个点 D,从点 D可以观察到点 A、 C;找到一个点 E,从点 E可以观察到点 B
5、、 C;并测量得到一些数据: CD=2,CE=2 , D=45, ACD=105, ACB=48.19, BCE=75,3 E=60,则 A、 B两点之间的距离为 . 其中 cos 48.19取近似值 14.(2018湖南长郡中学三模,17)在 ABC中, B= ,BC=2,3(1)若 AC=3,求 AB的长;(2)若点 D在边 AB上, AD=DC,DE AC,E为垂足, ED= ,求角 A的值 .62创新应用组15.(2018江苏,13)在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, ABC=120, ABC的平分线交 AC于点 D,且 BD=1,则 4a+c的最小值为 . 41
6、6.已知岛 A南偏西 38方向,距岛 A 3 n mile的 B处有一艘缉私艇 .岛 A处的一艘走私船正以 10 n mile/h的速度向岛北偏西 22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 h能截住该走私船?(参考数据: 38=5314,22=3314)参考答案课时规范练 23 解三角形1.C 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,即 b2-4b+3=0,解得 b=1或 b=3.故选 C.2.D a cos A=bcos B, sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B,A=B ,或 2A+2B=180,即 A+B=90, ABC
7、为等腰三角形或直角三角形 .故选 D.3.B sin B+sin A(sin C-cos C)=0, sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0cos Asin C+sin Asin C=0cos A+sin A=0A= ,34由正弦定理得 = sin C= ,C C= ,选 B.2 234 12 (0,2) 64.C (方法一)设 BC边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC= = AD,AB= AD.由余弦定理,得 cos BAC=2+2 5 22+2-225= =- .22+52-92225 1010故选 C.(方法二)如
8、图,在 ABC中, AD为 BC边上的高,由题意知 BAD= .4设 DAC= ,则 BAC=+ .4BC= 3AD,BD=AD.DC= 2AD,AC= AD.5 sin = = ,cos = = . cos BAC=cos =cos cos -sin sin = (cos 25255 15 55 (+4) 4 4 22- sin )= =- ,故选 C.22 ( 55-255) 10105.A 由题意结合正弦定理得 =- , 3所以 tan C=-3tan B,因此 B,C中有一钝角,角 A必为锐角, tan A=-tan(B+C)=- = 0,+1- 21+32 tan B0,tan A
9、= 0, 0 + ,即 (2, + ).(0, 33) 323312 68. 在 ABC中, AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且 + ACB= .2315由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos( - ),解得 cos = ,则 sin = ,516 23116所以 tan = = . 23159.2 S ABC= = (a2+b2-2abcos C)= absin C,224a 2+b2=2ab(sin C+cos C).+ = =2(sin C+cos C)=2 sin 2 ,当且仅当
10、C= 时取等号 .2+2 2 (+4) 2 410.解 (1)在 ABC中,因为 A=60,c=a,所以由正弦定理得 sin C= = = . 37 323314(2)因为 a=7,所以 c= 7=3.37由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A得 72=b2+32-2b3 ,解得 b=8或 b=-5(舍) .12所以 ABC的面积 S= bcsin A= 83 =6 .12 12 32 311.C (方法一) b 2+c2-a2=accos C+c2cos A, cos A= = ,+22 +2 cos A= = = ,A= .S ABC= bcsin A= ,bc=25.+2 (+)
11、2 12 3 12 2534a 2=b2+c2-2bccos A,b 2+c2=a2+bc=50,则( b+c)2=100,b+c=10,b=c= 5, ABC为等边三角形, sin B+sin C= .3(方法二) b 2+c2-a2=accos C+c2cos A,b 2+c2-a2=ac +c22+2-22 2+2-22= = =bc,(2+2-2+2+2-2)2 222 cos A= = ,A= .2+2-22 12 37S ABC= bcsin A= ,bc=25.12 2534a 2=b2+c2-2bccos A,b 2+c2=a2+bc=50,则( b+c)2=100,b+c=1
12、0,b=c= 5, ABC为等边三角形, sin B+sin C= .312.B 由题意可得: =,2+2-22 +且 cos C= , = = =1,2+2-22 + + 据此可得:cos C= ,12即 = ,a2+b2-c2=ab,2+2-22 12据此有: c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab4 -3 =1,(+2 )2当且仅当 a=b=1时等号成立;三角形满足两边之和大于第三边,则 ca+b=2,综上可得: c的取值范围为1,2) .13. 依题意知,在 ACD中, A=30,由正弦定理得 AC= =2 .104530 2在 BCE中, CBE=45,由正弦定理得
13、 BC= =3 .6045 2在 ABC中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=10,AB= .1014.解 (1)设 AB=x,则由余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 32=x2+22-2x2cos ,3解得 x= +1,所以 AB= +1.6 6(2)因为 ED= ,62所以 AD=DC= = . 62在 BCD中,由正弦定理可得: = ,因为 BDC=2 A,所以 = .22 6238所以 cos A= ,所以 A= .22 415.9 由题意可知, S ABC=S ABD+S BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得 acsin 1
14、20=a1sin 60+c1sin 60,化简得 ac=a+c, +=1.因此 4a+c=(4a+c) =5+ 5 +2(1+1) 4=9,4当且仅当 c=2a=3时取等号,故 4a+c的最小值为 9.16.解 设缉私艇在 C处截住走私船, D为岛 A正南方向上的一点,缉私艇的速度为 x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意, BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,解得 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14.又由正弦定理得 sin ABC= = = , 5327 5314所以 ABC=38.又 BAD=38,所以 BC AD.故缉私艇以 14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 h截住该走私船 .
