1、1课时规范练 28 数列的概念与表示基础巩固组1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )A.1, ,12,13,14B.-1,-2,-3,-4,C.- 1,-,-,-,D.1, ,2, 3 2.数列 1, ,的一个通项公式 an=( )23,35,47,59A. B. C. D.2+1 2-1 2-3 2+33.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-4(nN +),则 an=( )A.2n+1 B.2nC.2n-1 D.2-24.已知数列 an满足 a1+a2+an=2a2(n=1,2,3,),则( )A.a10C.a1 a2 D.a2=05.已知数列 an的前 n
2、项和为 Sn,a1=2,Sn= an(nN +),则 S10为( )+12A.50 B.55 C.100 D.1106.已知数列 an的首项 a1=1,其前 n 项和 Sn=n2an(nN +),则 a9=( )A. B. C. D.136 145 155 1667.在数列 an中, a1=1,Sn= an,则 an= . +238.数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN +,则 S5= . 9.在数列 an中, a1=0,an+1= ,则 S2 019= . 3+1- 310.数列 an的通项公式是 an=n2+kn+4.(1)若 k=-5,则数列中有多少
3、项是负数? n 为何值时, an有最小值?并求出最小值 .(2)对于 nN +,都有 an+1an.求实数 k 的取值范围 .2综合提升组11.在数列 an中,若 a1=2,且对任意正整数 m,k,总有 am+k=am+ak,则 an的前 n 项和为 Sn=( )A.n(3n-1)B.(+3)2C.n(n+1)D.(3+1)212.给定数列 1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,则这个数列的一个通项公式是( )A.an=2n2+3n-1B.an=n2+5n-5C.an=2n3-3n2+3n-1D.an=2n3-n2+n-213.已知数列 an的前 n 项
4、和为 Sn,若 3Sn=2an-3n,则 a2 018= ( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-10314.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列 an是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18= . 15.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an= . 创新应用组16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13, .该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的
5、和,人们把这样的一列数所组成的数列 an称为“斐波那契数列”,则( a1a3- )(a2a4- )(a3a5- )(a2 015a2 017-22 23 24)=( )22 016A.1 B.-1C.2 017 D.-2 017317.(2018 衡水中学二调,10)数列 an满足 a1=,an+1-1=an(an-1)(nN +),且 Sn= + ,则 Sn11+12 1的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A.0,1,2B.0,1,2,3C.1,2D.0,2参考答案课时规范练 28 数列的概念与表示1.C A 项中,数列 1, , , ,是递减数列,不符合题意;B 项中,数列 -1,-2
6、,-3,-4,是递减数列,不符合题意;C 项中,数列 -1,-,-, -,是递增数列又是无穷数列,符合题意;D 项中,数列 1, , ,2 3是有穷数列,不符合题意,故选 C.2.B 由已知得,数列可写成, , ,故通项为 .2-13.A 当 n2 时,由 Sn=2an-4,得 Sn-1=2an-1-4,两式相减得 an=2an-2an-1,an=2an-1.因此数列 an为公比为 2 的等比数列,又 a1=S1=2a1-4,则 a1=4,所以 an=42n-1=2n+1.4.D 根据条件 Sn=a1+a2+a3+an=2a2,Sn-1=a1+a2+a3+an-1=2a2,故两式做差得 an=
7、0,故数列的每一项都为 0,故选 D.5.D 依题意 Sn= (Sn-Sn-1),化简得 = ,+12 -1+1-1故 S10= S1= 2=110.1099821 119 108 97 42 316.B 由 Sn=n2an,得 Sn+1=(n+1)2an+1,所以 an+1=(n+1)2an+1-n2an,化简得( n+2)an+1=nan,即 = ,+1 +2所以 a9= a1= 1= = .988721 81079 68 24 13 2901457. 由题设知 ,a1=1.当 n2 时, an=Sn-Sn-1= an- an-1.(+1)2 +23 +13 = ,-1+1-14 = ,
8、= , = , =3.-1-2 -2 4353324221以上( n-1)个式子的等号两端分别相乘,得 = .1(+1)2a 1=1,a n= .(+1)28.121 由于 解得 a1=1.由 an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得 Sn+1=3Sn+1,1+2=4,2=21+1,所以 Sn+1+ =3 Sn+ ,12 12所以 是以 为首项,3 为公比的等比数列,+12 32所以 Sn+ = 3n-1,即 Sn= ,所以 S5=121.1232 3-129.0 a 1=0,an+1= ,3+1- 3a 2= = ,31 3a3= = =- ,3+31- 3323-2 3a4= =0,3-
9、31+33即数列 an的取值具有周期性,周期为 3,且 a1+a2+a3=0,则 S2 019=S3673=0.10.解 (1)由 n2-5n+4an知该数列是一个递增数列,又 an=n2+kn+4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 nN +,所以 - -3.23211.C 递推关系 am+k=am+ak中,令 k=1,得 am+1=am+a1=am+2,即 am+1-am=2 恒成立,据此可知,该数列是一个首项 a1=2,公差 d=2 的等差数列,其前 n 项和为 Sn=na1+ d=2n+ 2=n(n+1).(-1)2 (-1)212.C 当 n=1 时, a1=1,代入四个选项,排
10、除 A、D;当 n=2 时, a2=9,代入 B、C 选项,B、C 都正确;当n=3 时, a3=35,代入 B、C 选项,B 错误,C 正确,所以选 C.13.A 由题意可得 3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3 (n+1),5两式作差可得 3an+1=2an+1-2an-3,即 an+1=-2an-3,则 an+1+1=-2(an+1),结合 3S1=2a1-3=3a1可得 a1=-3,a1+1=-2,则数列 an+1是首项为 -2,公比为 -2 的等比数列,据此有 a2 018+1=(-2)(-2)2 017=22 018,a 2 018=22 018-1.故选 A.14.3
11、 由题意得 an+an+1=5an+2+an+1=5an=an+2,所以 a18=a2=5-a1=3.15.2n-1 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即 an=2an-1+1,a n+1=2(an-1+1).又 a1=S1=2a1-1,a 1=1. 数列 an+1是以首项为 a1+1=2,公比为 2 的等比数列,a n+1=22n-1=2n,a n=2n-1.16.B a 1a3- =12-12=1,a2a4- =13-22=-1,a3a5- =25-32=1,22 23 24a2 015a2 017- =1.22 016 (a1a3- )(a2a4-
12、 )(a3a5- )(a2 015a2 017- )=11 008(-1)1 007=-1.22 23 24 22 01617.A 对 an+1-1=an(an-1)两边取倒数,得 - = ,1-11+1-11Sn= + + = - + - + - =3- ,1112 1 11-1 12-1 12-1 13-1 1-1 1+1-1 1+1-1由 an+1-an= 0, an+1 an,an为递增数列,(-1)2a1= ,a2= ,a3= ,其中 S1= ,整数部分为 0,S2=3- = ,整数部分为 0,S3= ,整数部分为 1,43 139 13381 11 9434 7552由于 Sn3,故选 A.6
