1、1课时规范练 36 数学归纳法基础巩固组1.如果命题 p(n)对 n=k(kN +)成立,则它对 n=k+2也成立 .若 p(n)对 n=2也成立,则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数 n都成立B.p(n)对所有正偶数 n都成立C.p(n)对所有正奇数 n都成立D.p(n)对所有自然数 n都成立2.用数学归纳法证明命题“当 n是正奇数时, xn+yn能被 x+y整除”,在第二步时,正确的证法是 ( )A.假设 n=k(kN +),证明 n=k+1时命题成立B.假设 n=k(k是正奇数),证明 n=k+1时命题成立C.假设 n=2k+1(kN +),证明 n=k+1时命题成立D.假设
2、 n=k(k是正奇数),证明 n=k+2时命题成立3.(2018安徽蚌埠期末,5)用数学归纳法证明不等式“ + (n2)”的过程中,归1+1+ 1+2 121324纳递推由 n=k到 n=k+1时,不等式的左边( )A.增加了一项12(+1)B.增加了两项12+1+ 12(+1)C.增加了两项 ,又减少了一项12+1+ 12(+1) 1+1D.增加了一项 ,又减少了一项12(+1) 1+14.(2018辽宁辽阳期末,6)证明等式 12+22+32+n2= (nN +)时,某学生的证明(+1)(2+1)6过程如下:(1)当 n=1时,1 2= ,等式成立;1236(2)假设 n=k(kN +)时
3、,等式成立,即 12+22+32+k2= ,则当 n=k+1时,(+1)(2+1)612+22+32+k2+(k+1)2= +(k+1)2(+1)(2+1)6=(+1)(2+1)+6(+1)62=(+1)(22+7+6)6= ,(+1)(+1)+12(+1)+16所以当 n=k+1时,等式也成立,故原等式成立 .那么上述证明( )A.全过程都正确B.当 n=1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从 n=k到 n=k+1的推理不正确5.(2018辽宁抚顺期中,14)用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的 n条直线把平面分为 f(n)部分,则 f(n)=1+ .”证明第二步归纳递推时,用到 f(k+
4、1)=f(k)+ . (+1)26.试证:当 nN +时, f(n)=32n+2-8n-9能被 64整除 .7.(2018山东师范大学附属中学期中,18)证明:对任意的 nN +,不等式 325476成立 .2+12 +138.(2018广东中山一中三模,21)设数列 an满足 a1=3,an+1= -2nan+2(nN +).2(1)求 a2,a3,a4的值,并猜想数列 an的通项公式(不需证明);(2)记 Sn为数列 an的前 n项和,用数学归纳法证明:当 n6 时,有 Sn4时, f(n)= (用 n表示) . 11.(2018辽宁六校协作体期中,17)是否存在常数 a,b使得等式 12
5、+22+n2=n(2n+1)(an+b)对一切正整数 n都成立?若存在,求出 a,b值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由 .创新应用组412.(2018河南洛阳模拟,18)将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),.分别计算各组包含的正整数的和如下,S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,(1)求 S7的值;(2)由 S1,S1+S3,S
6、1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测 S1+S3+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明 .13.已知函数 f0(x)= (x0),设 fn(x)为 fn-1(x)的导数, nN +.(1)求 2f1 + f2 的值;2 2 2(2)证明:对任意的 nN +,等式 nfn-1 + fn = 都成立 .4 4 4 225参考答案课时规范练 36 数学归纳法1.B n=k时成立,当 n=2时, n=k+2成立, n为 2,4,6,故 n为所有正偶数 .2.D 相邻两个正奇数相差 2,故 D选项正确 .3.C 当 n=k时,左边 = + + , 1+1 1+2 12当 n=k+1时,左边
7、 = + + + ,1+2 1+3 12+1 12+2所以增加了两项 + ,又减少了一项 ,故答案为 C.12+1 12(+1) 1+14.A 考查所给的证明过程:当 n=1时验证是正确的,归纳假设是正确的,从 n=k到 n=k+1的推理也是正确的,即证明过程中不存在任何的问题 .故选 A.5.k+1 当 n=k(k2)时,有 f(k)=1+ ,当 n=k+1时, f(k+1)=1+ ,(+1)2 (+1)(+2)2 从 k到 k+1左端需增加的代数式 1+ -1- = (k+2-k)=k+1,(+1)(+2)2 (+1)2 +12 在证明第二步归纳推理的过程中,用到 f(k+1)=f(k)+
8、(k+1).6.证明 (1)当 n=1时, f(1)=64,命题显然成立 .(2)假设当 n=k(kN +,k1)时, f(k)=32k+2-8k-9能被 64整除,则当 n=k+1时, f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此当 n=k+1时命题也成立 .根据(1)(2)可知,对于任意 nN +,命题都成立 .7.证明 当 n=1时,左边 =,右边 = ,因为 ,所以不等式成立 .2 2 假设当 n=k时不等式成立,即 成立 .
9、则当 n=k+1时,32 54 76 2+12 +1左边 32 54 76 2+12 2+32+2 =+12+32+2 (2+3)24(+1)=4(+1)2+4(+1)+14(+1)=(+1)+1+ 14(+1) ,(+1)+16所以当 n=k+1时,不等式也成立 .由 可得不等式恒成立 .8.解 (1) a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1.(2)Sn= =n2+2n,下证 :n6( nN +)时都有 2nn2+2n.(3+2+1)2当 n=6时,2 662+26,即 6448成立;假设 n=k(k6, kN +)时,2 kk2+2k成立,那么当 n=k+1时,2 k+1=22
10、k2(k2+2k)=k2+2k+k2+2kk2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即 n=k+1时,不等式成立 .故对于所有的 n6( nN +),都有 2nn2+2n成立 .9.D 对 A,当 k=1或 2时,不一定有 f(k) k2成立;对 B,只能得出:对于任意的 k5,均有 f(k) k2成立,不能得出:对任意的 k5,均有 f(k) k2成立;对 C,若 f(7)49成立不能推出任何结论;对 D,f (4)=2516, 对于任意的 k4,均有 f(k) k2成立 .故选 D.10.5 (n+1)(n-2) f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)
11、+3+4+(n-1)=2+3+4+(n-1)= (n+1)(n-2).1211.解 分别令 n=1,2,可得 解得1=3(+),5=10(2+), =16,=16.故猜想等式 12+22+n2= 对一切正整数 n都成立 .(2+1)(+1)6下面用数学归纳法证明: 当 n=1时,由上面的探求可知等式成立 . 假设 n=k(kN +,k1)时猜想成立,即 12+22+k2= .(2+1)(+1)6当 n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2= +(k+1)2(2+1)(+1)6=(+1)(2+1)+6(+1)6=(+1)(22+7+6)67= .(+1)(2+3)(+2)6所以当 n=k+1
12、时,等式也成立 .由 知猜想成立,即存在 a= ,b= 使命题成立 .16 1612.解 (1) S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测 S1+S3+S5+S2n-1=n4.证明如下:记 Mn=S1+S3+S5+S2n-1, 当 n=1时,猜想成立 . 设当 n=k时,命题成立,即 Mk=S1+S3+S5+S2k-1=k4.下面证明当 n=k+1时,猜想也成立 .事实上,由题设可知Sn是由 1+2+3+(n-1)+1= +1开始的 n个连续自然数的和 .(-1)2所以 Sn= +1
13、+ +2 + +n = ,(-1)2 (-1)2 (-1)2 (2+1)2所以 S2k+1= =(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,(2+1)(2+1)2+12从而 Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以猜想在 n=k+1时也成立 .综合(1)(2)可知猜想对任何 nN +都成立 .13.(1)解 由已知,得 f1(x)=f0(x)= = - ,于是 2f2(x)=f1(x)= - 2=- - + , 22 23所以 f1 =- ,f2 =- + ,2 42 2 2163故 2f1 + f2 =-1.2 2 2(2)证明 由已知,
14、得 xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x求导,得 f0(x)+xf0(x)=cos x,即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin x+ ,类似可得,2 f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3 f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin x+ ,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2) .32下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+ 对所有的 xN +都成立 .28 当 n=1时,由上可知等式成立 . 假设当 n=k时,等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin x+ .因为 kfk-1(x)+xfk(x)=kfk-1(x)2+fk(x)+xfk(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),sin x+ =cos x+ x+ =sin x+ ,所以( k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin x+2 2 2 (+1)2.(+1)2因此当 n=k+1时,等式也成立 .综合 可知等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+ 对所有的 nN +都成立 .2令 x= ,可得 nfn-1 + fn =sin + (nN +),4 4 4 4 42所以 nfn-1 + fn = (nN +).4 4 4 22
