1、1课时规范练 42 空间向量及其运算基础巩固组1.空间任意四个点 A、 B、 C、 D,则 等于( )+A. B. C. D. 2.(2018河北衡水一中二模,理 4)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为 1的正方形,若 A1AB= A1AD=60,且 A1A=3,则 A1C的长为( )A. B.2 C. D.5 2 14 173.(2018安徽芜湖期末,4)在四面体 O-ABC中,点 M在 OA上,且 OM=2MA,N为 BC的中点,若,则使 G与 M,N共线的 x的值为( )=13+4+4A.1 B.2 C. D.4.(2018辽宁沈阳期中,5)若向量 a=( ,1,0
2、),b=(1,0,z),= ,则实数 z的值为( )33A. B.2 C. D.22 25.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M为 BC中点,则 AMD是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定6.已知空间向量 a,b,满足|a|=|b| =1,且 a,b的夹角为 ,O为空间直角坐标系的原点,点 A,B满足3=2a+b, =3a-b,则 OAB的面积为 . 7.已知向量 p在基底a,b,c下的坐标为(2,1, -1),则 p在基底a +b,a-b,c下的坐标为 ,在基底2a,b, -c下的坐标为 . 8.(2018上海金山中学期中,14)设
3、正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2, 为过直线 BD1的平面,则 截该正方体的截面面积的取值范围是 . 9.(2018吉林实验中学一模,11)在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=4,AB=BC=2,动点 P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段 PQ长度的最小值是( )A. B. C. D.223 233 25310.2如图,在棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, G为 BC1D的重心,求证:(1) A1,G,C三点共线;(2)A1C平面 BC1D.综合提升组11.(2018辽宁本溪期中,9)已知点 A(1,-2,0)和向量 a=(-3,4,6),| |
4、=2|a|,且 与 a方向相反, 则点 B坐标为( )A.(-7,6,12) B.(7,-10,-12)C.(7,-6,12) D.(- 7,10,12)12.(2018四川三台期中,9)点 P是棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1上一点,则的取值范围是( )1A. -1,- B. -,- C.-1,0 D. -,013.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题: ( )2=3 ; ( )=0;1+ 2 1 111的夹角为 60; 正方体的体积为 | |.其中正确命题的序号是 . 1与 1 114.在四棱锥 P-ABCD中, PD底面 ABCD,底面
5、 ABCD为正方形, PD=DC,E,F分别是 AB,PB的中点 .(1)求证: EF CD.(2)在平面 PAD内是否存在一点 G,使 GF平面 PCB.若存在,求出点 G坐标;若不存在,试说明理由 .3创新应用组15.(2018四川泸州一模,14)已知球 O是棱长为 2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球, MN为球 O的一条直径,点 P为正八面体表面上的一个动点,则 的取值范围是 . 16.(2018河北衡水调研,18)设全体空间向量组成的集合为 V,a=(a1,a2,a3)为 V中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数” f(x):f(x)
6、=-x+2(xa)a(x V).(1)设 u=(1,0,0),v=(0,0,1),若 f(u)=v,求向量 a;(2)对于 V中的任意两个向量 x,y,证明: f(x)f(y)=xy;(3)对于 V中的任意单位向量 x,求 |f(x)-x|的最大值 .参考答案课时规范练 42 空间向量及其运算1.C + - = + = .故选 C.2.A 因为 = + + ,所以 | |2=( + + )111111 1 111112=| |2+| |2+| |2+2( + + )=1+2+9+2(1 cos 11 11 1 11 1111 111 1 245+13cos 120+ 3cos 135)=5.故
7、 A1C的长为 .故选 A.2 543.A = ( + ), = .假设 G与 M,N共线,则存在实数 使得 = +(1- ) = 23 ( + )+ ,与 = + + 比较可得 =,=,解得 x=1.故选 A.2(1-)3 1344 2(1-)34.C |a|= =2,|b|= ,ab= . cos= = =,化为 z2=2,解得 z= .(3)2+12 1+2 3| 321+2 2故选 C.5.C M 为 BC中点, = ( + ). = ( + ) = + =0.12 1212AM AD, AMD为直角三角形 .6. 由 =2a+b, =3a-b,得 | |= = ,| |= = , =
8、(2a+b)(3a-534 (2+)2 7 (3-)2 7b)= .112 cos BOA= = ,| 1114 sin BOA= .5314S OAB= | | |sin BOA= .12 5347. , ,-1 (1,1,1) 由条件 p=2a+b-c.设 p在基底 a+b,a-b,c下的坐标为( x,y,z),则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,因为 a,b,c不共面,所以 +=2,-=1,=-1, 所以 即 p在基底 a+b,a-b,c下的坐标为 , ,-1 ,=32,=12,=-1, 3212同理可求 p在基底2 a,b,-c下的坐标为(1,1
9、,1) .故答案为 , ,-1 ,(1,1,1).32128.2 ,4 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(2,2,2),D1(0,0,0),设 与棱 CC1的交点为 P,与6 2棱 AA1的交点为 G,则四边形 BGD1P为平行四边形 .5在面 内过 P作 BD1的垂线,垂足为 Q,则截面的面积为 S=| | |=2 | |.1 3设 Q(x,x,x),P(0,2,y),则 =(2,2,2), =(x,x-2,x-y).因为 =0,故 2x+2(x-2)1 1 +2(x-y)=0,即 3x-y-2=0,故 y=3x-2.因 03 x-22,故 x .23 43又 | |= = = = ,其
10、中 2+(-2)2+(-)2 2+(-2)2+(2-2)2 62-12+8 6(-1)2+2 x ,23 43所以 | | ,故 2 S4 ,填2 ,4 .2 263 6 2 6 29.C 建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),P(0,t,2t),t0,2, Q(2-m,m,0),m0,2, PQ= ,当且仅当 5t=m= 时, PQ取最小值,选 C.5(-5) 2+95(-109) 2+169 10910.证明 (1) = + + = + + , = + = + ( + )= + ( - + -111111 11 1 1)= ( + + )=
11、 ,1 1131 ,即 A1,G,C三点共线 .1(2)设 =a, =b, =c, 1则 |a|=|b|=|c|=a,且 ab=bc=ca=0. =a+b+c, =c-a,1 16 =(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0.1 1因此 ,即 CA1 BC1.1 1同理 CA1 BD.又 BD与 BC1是平面 BC1D内的两条相交直线,故 A1C平面 BC1D.11.B 设 B(x,y,z),A (1,-2,0), =(x-1,y+2,z).| |=2|a|,且 与 a方向相反, a=(-3,4,6), =-2a=(6,-8,-12), 解得-1=6,+2=-8,=-12, =7,=-10,=
12、-12,B (7,-10,-12),故选 B.12.D 以点 D为原点,以 DA所在的直线为 x轴,以 DC所在的直线为 y轴,以 DD1所在的直线为 z轴,建立空间直角坐标系,如图所示;则点 A(1,0,0),C1(0,1,1),设点 P的坐标为( x,y,z),由题意可得 0 x1,0 y1, z=1, =(1-x,-y,-1), =(-x,1-y,0), 1 =-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y= x- 2+ y- 2- ,112 12 12由二次函数的性质可得,当 x=y= 时 取得最小值为 - ;12 1 12当 x=0或 1,且 y=0或 1时, 取得最大值为 0
13、,则 的取值范围是 - ,0 .1 112故选 D.13. ( + + )2= + + +2 +2 +2 =3 ,故 正确 .11222 1 1 2( - )= =0,故 正确 .1 111 1 17因为 ,AD1、 AC、 D1C均为面对角线,所以三角形 AD1C为等边三角形,而 与 的夹1 1 1 1角为 与 的夹角的补角 .所以 与 的夹角为 120,故 错误 .1 1 1 1正方体的体积为 | | | |,而 | |=0,故 错误 .1 1 14.(1)证明 如图,以 DA,DC,DP所在直线分别为 x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,
14、0),B(a,a,0),C(0,a,0),E ,P(0,0,a),F .(,2,0) (2,2,2)= , =(0,a,0).(-2,0,2) =0, , 即 EF CD.(2)解 假设存在满足条件的点 G,设 G(x,0,z),则 = ,若使 GF平面 PCB,则由 = x- ,- ,z- (a,0,0)=a =0,(-2,-2,-2) 2 2 2 (-2)得 x= .2由 = x- ,- ,z- (0,-a,a)= +a =0,得 z=0.2 2 2 22 (-2) 点 G坐标为 ,即存在满足条件的点 G,且点 G为 AD的中点 .(2,0,0)15. 0, 设球 O的半径为 R,则 1=
15、 R,解得 R= .| | , .可得 =(2 363 63 2 - )( - )= -R2= - 0, . 2 2816.解 (1)依题意得 f(u)=-u+2(ua)a=v,设 a=(x,y,z),代入运算得 a= ,0,22-1=0,2=0,2=1 22或 a= - ,0,- ;22 22 22(2)证明 设 x=(a,b,c),y=(m,n,t),a=(a1,a2,a3),则 f(x)f(y)=-x+2(xa)a-y+2(ya)a=xy-4(ya)(xa)+4(ya)(xa)(a)2=xy-4(ya)(xa)+4(ya)(xa)=xy.从而得证;(3)设 x与 a的夹角为 ,则 xa=|x|a|cos = cos ,则 |f(x)-x|=|2x-2(xa)a|= = 2,故最大值为 2.(2-2)2 4-42
