1、1课时规范练 43 空间几何中的向量方法基础巩固组1.在如图所示的坐标系中, ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论: 直线 DD1的一个方向向量为(0,0,1); 直线 BC1的一个方向向量为(0,1,1); 平面 ABB1A1的一个法向量为(0,1,0); 平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) .其中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.42.两平行平面 , 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )A. B. C. D.322 3 23.(2018 辽宁本溪二模,7)已知四棱锥 P-ABCD
2、 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA=PD= ,平面5ABCD平面 PAD,M 是 PC 的中点, O 是 AD 的中点,则直线 BM 与平面 PCO 所成角的正弦值是( )A. B. C. D.55 255 8585 885854.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( )A.45 B.135C.45或 135 D.905.2如图,在正四棱锥 S-ABCD 中, O 为顶点在底面上的射影, P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 . 6.如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB=
3、AC,D 为 BC 的中点, PO平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上 .已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明: AP BC;(2)若点 M 是线段 AP 上一点,且 AM=3.试证明平面 AMC平面 BMC.7.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点 .(1)求证: B1C平面 A1BD;(2)求点 B1到平面 A1BD 的距离 .3综合提升组8.(2018 安徽定远调研,10)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,中心为 O,BF=BC,A1E=A1A,则四面体OEBF 的体积为( )A. B.
4、C. D.112 124 148 1969.设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线 BD1上,记 =. 当 APC 为锐角时, 11的取值范围是 . 10.(2019 四川成都一模,19)在如图所示的几何体中, EA平面 ABCD,四边形 ABCD 为等腰梯形,AD BC,AD=AE=1, ABC=60,EF AC.(1)证明: AB CF;(2)求二面角 B-EF-D 的余弦值 .11.4(2018 河北衡水模拟二,18)如图所示, CC1平面 ABC,平面 ABB1A1平面 ABC,四边形 ABB1A1为正方形, ABC=60,BC=CC1=AB=2,点 E
5、 在棱 BB1上 .(1)若 F 为 A1B1的中点, E 为 BB1的中点,证明:平面 EC1F平面 A1CB;(2)设 = ,是否存在 ,使得平面 A1EC1平面 A1EC?若存在,求出 的值;若不存在,请说明1理由 .12.(2018 河北衡水中学适应性考试,18)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,四边形 A1C1CA 为菱形, B1A1A= C1A1A=60,AC=4,AB=2,平面 ACC1A1平面 ABB1A1,Q 在线段 AC 上移动, P 为棱 AA1的中点 .(1)若 Q 为线段 AC 的中点, H 为 BQ 中点,延长 AH 交 BC 于 D,求证: AD平面 B1PQ
6、;(2)若二面角 B1-PQ-C1的平面角的余弦值为 ,求点 P 到平面 BQB1的距离 .131356创新应用组13.(2018 江西南昌七模,18)如图,四棱锥 P-ABCD 中, AB=AD=2BC=2,BC AD,AB AD, PBD 为正三角形 .若 PA=2 ,且 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 .322(1)证明:平面 PAB平面 PBC;(2)E 是线段 CD 上一点,记 = (0|= = = .故选 D.|41745885854.C 两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角与 相等或互补, cos= = = ,故 =45.故
7、两平面所成的二面角为 45或 135,故选 C.| 112 225.30 如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 .设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P .则 =(2a,0,0), =(0,-2,2) , =(a,a,0).(-,-2,2)设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos= = = .=60,|22212 直线 BC 与平面 PAC 所成角为 90-60=30.6.证明 (1)如图所示,以 O 为坐标原点,以射线 OP 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 .则 O(0,0,0),A(0,
8、-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是 =(0,3,4),=(-8,0,0), =(0,3,4)(-8,0,0)=0, ,即 AP BC.(2)由(1)知 |AP|=5,又 |AM|=3,且点 M 在线段 AP 上, = = ,35(0,95,125)10又 =(-4,-5,0), = + = ,则 =(0,3,4) =0, ,即 AP BM,(-4,-165,125) (-4,-165,125) 又根据(1)的结论知 AP BC,AP 平面 BMC,于是 AM平面 BMC.又 AM平面 AMC,故平面 AMC平面 BCM.7.(1)证明 连接 AB1交 A1
9、B 于点 E,连接 DE.可知 E 为 AB1的中点, D 是 AC 的中点, DE B1C.又 DE平面 A1BD,B1C平面 A1BD,B 1C平面 A1BD.(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B1(0,2 ,3),B(0,2 ,0),A1(-1,0,3), =(0,2 ,3),2 2 1 2=(0,2 ,0), =(-1,0,3).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z), 2 1 即=0,1=0, 22=0,-+3=0,n= (3,0,1).故所求距离为 d= = .|1| 310108.D 如图所示,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在的直线为 x,y
10、,z 轴建立空间直角坐标系,则 O , , ,B(1,1,0),E 1,0, ,F ,1,0 ,则 | |= =,| |= ,| |=,14+14+116 32 所以 cos BOE= =- ,916+34-251623432 3911所以 sin BOE= ,789所以 S OEB= = ,12 34 32 789 2616设平面 OEB 的一个法向量为 n=(x,y,z),由=12-12+14=0,=12+12-12=0,取 z=1,得 n= , ,1 ,1434又 = - ,0,0 ,12所以 F 到平面 OEB 的距离 h= = = ,所以四面体 OEBF 的体积为 V= S|1826
11、4 2652 13OEBh= = .13 2616 26521969. 0, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),由= 得 P( , ,1- ),则 =(1- ,- ,- 1), =(- ,1- ,- 1),因为 APC 为锐角,所以11 =(1- ,- ,- 1)(- ,1- ,- 1)=(- 1)(3- 1)0,解得 1,又因为动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线 BD1上,所以 的取值范围为 0 = = ,| 1010所以二面角 B-EF-D 的余弦值为 .101011.(1)证明 平
12、面 ABB1A1平面 ABC,BB1 BA,平面 ABB1A1平面 ABC=AB,BB 1平面 ABC.又 CC1平面 ABC,BB 1 CC1,又 CC1= AB= BB1=BE,12 12 四边形 CC1EB 为平行四边形,C 1E BC.又 BC平面 A1BC,C1E平面 A1BC,C 1E平面 A1BC.BE=EB 1,A1F=FB1,EF A1B,又 A1B平面 A1BC,EF平面 A1BC,EF 平面 A1BC.又 C1E EF=E,C1E平面 EFC1,FE平面 EFC1, 平面 EFC1平面 A1BC.(2)在 ABC 中,由余弦定理得: AC2=AB2+BC2-2ABBCco
13、s 60=12,AB 2=AC2+BC2, ABC 为直角三角形,且 ACB=90,AC BC,由 CC1平面 ABC 可得 CC1 AC,CC1 BC,13CA ,CB,CC1两两垂直 .以 C 点为坐标原点, , , 依次为 x 轴, y 轴, z 轴正方向,建立空间直角坐标系,如下图所1示,则 C(0,0,0),C1(0,0,2),A1(2 ,0,4),E(0,2,4 ).3设平面 A1EC1的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),则111=0,11=0,即 231+21=0,21+(4-2)1=0,令 z1=1,解得 x1=- ,y1=1-2 ,n 1= - ,1-2 ,1 .33 33设平面 A1EC 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),则21=0,2=0,即 232+42=0,22+42=0,令 x2=2,得 z2=- ,y2=2 ,3 3n 2=(2,2 ,- ).3 3若平面 A1EC1平面 A1EC,则 n1n2=- +2 (1-2 )- =0,化简得 12 2-6+ 5=0,233 3 3由于 |=|=2732+1+3(-1)2= ,6722-3+2 0 1, 2 2-3+ 22,7818 sin ,217 437 sin 的最大值为 .437
