1、1江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019 届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个 男 生 、 2 个 女 生 中 随 机 抽 取 2 人 ， 则 抽 中 的 2 人 不 全 是 男 生 的 概 率 是 .7. 已 知 正 四 棱 锥 的体 积 为 4， 底 面 边 长为 2，则 该正 四棱 锥的 侧棱 长为 3注 意 事 项 8 若 将 函 数 y cosx 3sinx 的 图 象 向 左 平移 m(m 0)个 单 位 后 ， 所 得 图 象 关 于 y 轴 对称 ， 则实考 生 在 答题 前 请 认 真 阅读 本 注 意 事 项及 各 题 答 题 要 求1 本
2、 试 卷 共 4 页 ， 包 含 填 空 题 (第 1 题 第 14 题 ， 共 14 题 )、 解 答 题 (第 15 题 第 20 9.数 m 的最 小值 为 函数 f(x) aex e x 在 x 0 处 的 切 线 与 直 线 y 2x 3 平 行 ， 则 不 等 式 f(x21 ) f(1 x) 0题 ， 共 6 题 )两 部 分 。 本 次 考 试 时 间 为 120 分钟 。考 试结 束后 ，只 要将 答题 卡交 回。 的解 集为 2 答 题 前 ， 请 您 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 考 试 证 号 用 书 写 黑 色 字 迹的 0.5 毫米 签字 笔填 写在 10.
3、首 项 为 7 的 数 列 an满 足 ： (n 1)an 1 (n 2)an 0，则 a2019 a2018 的值 为 答 题 卡 上 ， 并用 2B 铅笔 把答 题卡 上考 试证 号对 应数 字框 涂黑 ， 如需 改动 ， 请用 橡皮擦干 净后 ，再 正确 涂写 。3 答 题 时 ， 必 须 用 书 写 黑 色 字 迹的 0.5 毫米 签字 笔写 在答 题卡 上的 指定 位置 ， 在其 它位 置作 答一 律 无 效。4 如 有 作 图 需 要 ， 可用 2B 铅 笔 作答 ，并 请加 黑加 粗， 描写 清楚 。 11. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 已知 AB 2，
4、 AD 1， AB AC 5，则 cos CAB (第 11 题)参 考 公 式：1 锥 体 的 体 积 公 式 为 ： V 1Sh， 其中 S 是锥 体的 底面 积， h 是锥 体的 高；3 n 2 一 组 数 据 x1， x2， ， xn 的 方 差 为 ： s2 1n (xi x )2， 其 中 x 是 数据 x1， x2， ， xn 的i 1 13. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中， M， N 是 两 定 点 ，点 P 是 圆 O： x2 y2 1 上任 意一 点， 满足 ：平均 数一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 70
5、分 请 把 答 案填 写 在答 题 卡 相 应 位 置 上 1 已 知 集合 A 1， 2， 3， B 2， 3， 4， 5，则 A B PM2 PN, 则 MN 的长 为 2 已 知 复数 z 满足 (1 i)z 3 i(i 为 虚 数 单 位 )，则 z 3. 一 组 数据 96， 98， 100， 102， 104 的方 差为 .4. 一 个 算 法 的 伪 代 码 如 下 图所 示 ， 执 行 此 算 法 ， 已 知 输 出 值 y 为 2， 则 输 入 值 x 为 Read xIf x 0 Theny ex二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 90 分 .请 在
6、答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ，解 答 时 应 写 出文 字 说 明 、证 明 过 程或 演 算 步 骤 Elsey x212（共 10 页） （共 10 页）End IfPrint y(第 4 题)5 已知 双曲 线 x2 y21 (a 0)的一 个焦 点坐 标为 (2， 0)，则 它的 离心 率为 （共 10 页） （共 10 页）n16 （ 本 小 题 满分 14 分）如 图 ， 在 直 四 棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， 已 知 点 M 为棱 BC 上 异 于 B， C 的 一点 .（ 1）若 M 为 BC 中 点 ， 求 证 ： A1C/平面 AB1M；（ 2）
7、若 平面 AB1M 平面 BB1C1C, 求证 ： AM BC18 （ 本 小 题 满分 16 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 C： x2 y2 1(a b 0)， 过 左 焦点 F( 3， 0)的 直线 l 与椭a2 b2圆 交 于 A， B 两 点 当 直线 l x 轴时 ， AB1 （ 1） 求 椭圆 C 的标 准方 程；（ 2）若点 P 在 y 轴上 ， 且 PAB 是 以 点 P 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 直 线 AB 的方 程 （第 16 题）17.（ 本 小 题 满分 14 分）如图 ， l1 是 经 过 城
8、市 O 与 城 郊 小 镇 A 的 东 西 方 向 公 路 ， 城市 O 与 小 镇 A 相距 8 3km， l2 是经 过 城市 O 的 南 北 方 向 的 公 路 现 准 备 在 城市 O 的 西 北 区 域 内 选址 P， 建造 开发 区管 委会 ，并 开发19 （ 本 小 题 满分 16 分）已 知 函数 f(x) lnx m（ m R） 的 极 大 值 为 1x（第 18 题）三 角 形 区域 PAO 与 PBO 其 中， AB 为 计 划 修 建 的 经 过 小 镇 A 和 管 委 会 P 的 绕城 公路 (B 在 l2 上 ，且 位 于 城 市 O 的 正 北 方 向 )， PO
9、 为 计 划 修 建 的 管 委 会 P 到 城 市 O 的 公 路 ， 要 求 公 路 PO 与 公 路PA 的总 长 为 16km(即 PO PA 16) 设 BAO （ 1）记 PA f( )，求 f( )的函 数解 析式 ，并 确定 的取 值范 围；（ 2） 当 开 发 的 三 角 形 区域 PAO 的 面 积 最 大 时 ， 求绕 城 公路 AB 的长 （ 1）求 m 的值 ；（ 2） 设 函数 g(x) x 1，当 x01 时 ， 试 比 较 f(x0)与 g(x0)的大 小， 并说 明理 由；ex（ 3）若 b 2 ， 证 明 ： 对 于 任意 k 0， 直 线 y kx b 与
10、 曲 线 y f(x)有唯 一公 共点 el2北东 B 20 （ 本 小 题 满分 16 分）P 已知 q 为 常 数 ， 正 项 数 列 an的前 n 项和 Sn 满 足 ： Sn (an Sn)q 1， n N*（ 1） 求 证 ： 数 列 an为 等 比 数 列； l1 A O（ ）若 ，且 存在 ，使 得 为 数列 中的 项 2 q N* t N* 3at 24at 1an（第 17 题） 求 q 的 值 ； 记 b logan 1列an 2， 求 证 ： 存 在 无 穷 多 组 正 整 数 数 组 (r， s， k)， 使 得 br， bs， bk 成 等 比 数（共 4 页） （共
11、 4 页）2019 届期初数学学 科调研测试试卷数 学 II（ 附 加 题）注 意 事 项【 必 做 题 】 第 22 题 、 第 23 题 ， 每 题 10 分 ， 共 计 20 分 请 在答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答时 应写出 文字 说明 、证 明过 程或 演算 步骤 22 （本 小 题 满 分 10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物 线 C 的 方 程 为 x2 2py(p 0)， 过 点 P(m， 0)(m 0)的 直 线 l 与抛 考生 在答 题前 请认 真阅 读本 注意 事项 及各 题答 题要 求1 本 试 卷 共 2 页 ， 均 为
12、 解 答 题 （ 第 2123 题 ） 。 本 卷 满 分为 40 分 ， 考 试 时 间为 30 分 钟 。考试 结束 后， 请将 答题 卡 交回 。2 答 题 前 ， 请 您 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 考 试 证 号 等 用 书 写 黑 色 字 迹的 0.5 毫 米签 字笔填 写在 答题 卡 上，并 用 2B 铅笔 正确 填涂 考试 号。3 作 答 试 题 必 须 用 书 写 黑 色 字 迹 的 0.5 毫 米签 字笔 写在 答题卡 上 的指 定位 置， 在 其它位 置 作 答 一 律 无 效 。 如 有 作 图 需 要 ， 用 2B 铅笔 作答 ， 并请 加黑 、 加粗 ， 描
13、写 清楚 。物线 C 交于 A， B 两 点 ，与 y 轴 交 于点 Q，设 PA QA ， PB QB (， R) （ 1）当 Q 为 抛 物线 C 的 焦 点 时 ， 直 线 l 的 方 程为 y 1x 1， 求 抛 物 线 C 的标 准方 程；3（ 2）求 证： 为定 值 21 【 选 做 题 】 本 题 包 括 A、 B、 C 共 3 小题 ，请 选 定 其 中 两 小 题 ， 并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答 若多 做， 则按 作答 的前 两小 题评 分 解 答时 应写 出文 字说 明、 证明 过程 或演 算步 骤A 选修 42：矩 阵与 变换 （本 小 题 满 分 1
14、0 分） 1 1 23 （本 小 题 满 分 10 分）（第 22 题）已知 m R， 矩 阵 A（ 1）求 实 数 m；的一 个特 征值 为 2 m 0 设 集 合 M 1， 2， 3， ， m， 集 合 A， B 是 M 的 两 个 不 同 子 集 ， 记 |A B|表 示 集合 A B 的元 素 个 数 若 |A B| n， 其中 1 n m 1， 则 称 (A, B)是 M 的 一 组 n 阶关 联子 集对 (（ A， B） 与（ B，（ 2）求 矩 阵 A 的 逆 矩阵 A 1B 选修 44：坐 标系 与参 数 方 程 （ 本 小 题 满 分 10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系
15、 xOy 中 ， 已 知 点 P 是 曲 线 E: x cos ， y 2 2cos （ 为 参 数 ） 上的 一 点 以 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 以 C 为 圆 心 的 圆的 极 坐 标 方程 为 2cos ， 求 线段 PC 长 的最 大值 C 选修 45： 不 等式 选讲 （本 小 题 满 分 10 分）已知 x0 ， 求 证 ： x3 y2 3 3x 2yA） 看 作 同 一 组 关 联 子 集 对 )， 并 记 集 合 M 的 所 有 n 阶 关 联 子 集 对 的 组 数为 an（ 1）当 m3 时 ， 求 a1，
16、 a2；（ 2）当 m2 019 时， 求 an的通 项公 式， 并求 数列 an的最 大项 江苏省海门 中学 2019 年期初数学 学科调研测试试卷一、 填空 题数 学 I 参考 答案（ 2）过 B 作 BP B1M ,垂 足 为 P平面 AB1M 平 面 B1BCC1平面 AB1M 平 面 B1BCC1 B1MBP 平面 BB1C1C BP 平面 AB1M1. 2， 3 2.1+2i 3.8 4. 1 5.2 336. 7107. 38.239.(0， 1) 10. 7211. 5 714AM 平面 AB1M12. ( ， e e ， ) 13.3 14. 2 3 BP AM直 四 棱柱
17、ABCD A B C D 中 , BB 平面 ABCDe e 2 5二、 解答 题1 1 1 1 1AM 平面 ABCD15.（ 1） 因 为 cosB 5 ， B(0 ， )， BB1 AM5所以 sinB 1 cos2B 1 ( 5)2 2 55 5在 三 角形 ABC 中，sinAsin ( B C)sin (B C) sin(B )sin Bcos cosBsin 4 4 4故 sinA 2 5 2 ( 5) 2 10又 BP BB1 BBP, BB1 平面 BB1C1C AM 平面 BB1C1C又 BC 平面 BB1C1C AM BC 14 分5 2 5 2 108 1017.解：
18、（ 1）如 图 ，在 PAO 中 ， 设 PA x ， l2则 因 为 PO PA 16 ， 所 以 PO 16 x ， 北由 正 弦 定 理知 AC BC ， 所 以 BC ACsinA 10 2 2. 6 分 又 因 为 AO 8 3 ， BAO ， BsinB sinA sinB 2 55所以 由余 弦定 理得 ： 东x2 (8 3)2 2 8 3x cos (16 x)2 ， 2 分 P（ 2） 在 三 角 形 ABC 中，cosA cos( B C) cos(B ) cosBcos sin Bsin ，解得 x 4 4 分 l 4 4 4 2 3 cos 1 A O故 cosA 5
19、2 2 5 2 3 10当 POA 时， (8 3)2 (16 x)2 x2 ，解 得 x 14 ，（第 17 题）5 2 5 2 10 2因为 cos2A2 cos2A 12 (3 10)21 4,此 时 ， cos 8 3 4 3 10 5sin2A2 sinAcosA 23 10 10 3，14 7 4 310 10 5 设 0 ，且 cos 2 ， 则 结合 P 位 于 城市 O 的 西 北 区 域 内 ， B 在 l2 上，7因此 cos(2A )c os2Acos sin 2Asin 4 2 3 2 2 14 分 4 4 4 5 2 5 2 10 且 位 于 O 北 ， 得 ，21
20、6证 明 ： （ 1） 连 接 A1B 交 AB1 于 N 直 四 棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1B1B 为 平 行四 边形（共 10 页）（共 10 页）综 上 ，公路 PA 段 长关 于 的 函 数 解 析 式 为 PA 2 43 cos， 的取 值范 围为 (, ) ， 2 N 为 A1B 的中 点 4 3其 中 ， 0 ，且 cos 6 分又 M 为 BC 中点 MN / A1C又 A1C 平面 AB1M2（ 2） 由 （ 1） PA 2 43 cos7， ， 结 合 AO 8 3 ， BAO ，2MN 平面 AB1M A1C /平面 AB1M . 6 分得 开 发 的
21、 三 角 形 区 域 PAO 面 积 ： S () 1 AO PA sin 2 1 8 3 4sin 2 2 3 cos (, )6 6 ( , )6 2S () 0 S () 4 e1 m2（ 2） PAB 为 P 为直 角顶 点的 等腰 直角 三角 形， 设 AB 中 点 为 M ， AB 2PM （ 2）f( x0) g(x0) lnx0 1 x0 1 1 (lnx01 x0（ ）直线 AB 与 x 轴 垂 直， AB 1， OF 3 , x0不合 题意 ，舍 . 22 22 16 3 sin ， 2 3 cos 2 0所以 S () 16 3cos(2 3 cos) 3 sin 2 则
22、 x x8 3k 2(2 3 cos) 2 1 2 1 4k 2 16 3(2 cos 3) ， 12k 2 4x x(2 3 cos) 2 2 1 2 1 4k 2由 S () 0 ， 得 ， 因 为 cos 3 4 3 ， 所 以 ， AB 1 k 2 | x x | 1 k 2 (x x )2 4x x6因此 可得 下表 ：6 2 7 6 1 2 1 2 1 216(1 k 2 ) 4(1 k 2 ) 1 k 2 1 4kAB 中 点 为 M 的 横 坐 标 为1 4k4 3k 21 4k 2所 以 ， 当 时 ， S () S ( ) 16 3 ，PM 1 (1 4 3k 2)2 |
23、|6 max 6 k 1 4k2 2此 时 ， AB AO 8 3 16 ， 2 1 ( 1 ) 2 | 4 3k | 4(1 k )cos 362即 开 发 的 三 角 形 区 域 PAO 面 积 最 大 时 ， 绕 城 公路 AB 的长 为 16km 14 分k k 11 4k 2 1 4k 2c 311直线 AB 的 方 程为 y 1 (x 113) 或 y 1 (x 3)11 b218解 ： （1 ）由 已知 ，得 2 1综 上 ： 直 线 AB 的 方 程为 y 1 (x 3) 或 y 1 (x 3) 或 y 0 . 16 分 a 11 11a2 4解得 b2 1a2 b2 c219
24、.解： （1 ） f (x) 1 m lnx, 令 f(x) 0 得 ： x e1 m,x2所以 f(x)在 (0， e1 m)单调 增， 在( e1 m， ) 单调 减.2 1m 1 椭圆 E 的 标 准 方 程 为 ： x y 2 1 4 分 所以 f(x) f(e ) 1 , 得 m 1. 3 分（共 10 页）（共 10 页） x 0 )ex0 x0 ex0( )直线 AB 与 y 轴 垂 直 ， AB 4 ， P 为 (0, 2) 或 (0, 2) ，适 合题意。令 h(x)ln x 1 x x(x 1)，ex( )直线 AB 不与 x 轴 垂 直 时 ，设 AB : y k ( x
25、 3) ， 则 h(x) 1 x2 x1 ex x3 x2 x (ex x)( x3 x2)0 ，2 x ex xex xexx与椭 圆方 程4 y 2 1 联立得：(1 4k 2 ) x2 8 3k 2 x 12k 2 4 0 h(x)在( 1， ) 单调 增， h(x) h(1)1 2 0设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )e f(x0) g(x0) 8 分ln x 1(3) kx b 可 化 为xln x 1x2 b k 0xln x 1 b令 h( x) kx2 x1 2 ln x b 1 2 ln x 1 所以 q 2 ， q N ， h ( x) (b )令 (
26、 x) x32 ln x 1xx2 x2 x( x 0)所以 3q2 4q 4 ， 即 q p t 4 ，结合 t ， p N* ， 得 p t N* 当 p t 3 时 ， q p t (3q 2 4q) q 3 (3q 2 4q)1 2 ln x ( x) ， 令 ( x) 0 得 ： x ex2 q(q2 3q 4) 0 ，（ *）不 成 立 ；5 ( x) 在 (0,e ) 增 ， (e , ) 减当 p t 1 时 ， （ *） 得 3q2 4q q ， 解 得 q 0 或 q （舍 ）；3 ( x)max ( e ) 2e当 p t 2 时 ， （ *） 得 3q2 4q q2 ，
27、 解 得 q 0 （ 舍 ） 或 q 2 ；综上 ， q 2 10 分( ) 1 ( 2 ln x 1 1 ( 2 ) 0 1h x b x2) x x2b e 由 得 an 2n 1， 则 bn n 1=1+n n, 所以 数列 bn单调 递减 ， h( x) 在 (0, ) 单调 递增 。由 br， bs， bk 成 等 比 数 列 ， 不 妨 设 r s k，s 1 r 1 k 1 s 1 r k当 x 1 时， h( x) ln x 1 b k b k 则 bs r k 2 2 2 b b ， 即 ( ) , 即 ( ) x2 x x bs r ks2(r 1)s r 1 k 1所以
28、x1 且 x1 1 时 ， h( x1 ) 0 所以 k k1 ln x 1 b b2sr r s2当 0 x 时 ， h( x) k k 令 2sr s2 即 s 2r，得 k (2r)2(r1 ) 4r2 4re x2 x xb 1r所以 存在 无穷 多组 (r， 2r，4 r24 r)(r N*)符合 条件 16 分 0 x2 且 x2 时 ， h( x2 ) 0k e又 y h(x) 在 (0, ) 的图 象是 不间 断的 ， h( x) 0 在 ( x1 , x2 ) 有唯 一解 ，即 对 于 任 意 k 0 ， 直 线 y kx b 与 曲 线 y f (x) 有唯 一公 共点 1
29、6 分20 （ 1） 【 证 明 】 由 Sn( an Sn)q 1， nN *，得： a1 1，( 1 q)Sn qan1 (i)， 所以 (1 q)Sn 1 qan 1 1 (ii)，(ii) (i)得 ： (1 q)an 1 qan 1 qan 0，即 an 1 qan，因为 an 0， 所 以 an 1 q， n N*，且 q0 ，an结合 q 为常 数， 得数 列 an为等 比数 列 4 分（共 10 页）（共 10 页）t 2t 2（ 2） 解 ： 由 （ 1）得 an q n 1 ，所 以 存在 t N* ， 使 得 3a 4at 1是数 列 an 中的 项 存在 t ， p N
30、* ， 使得 3a 4at 1 a p 存在 t ， p N* ， 使得 3qt 1 4qt q p 1 ， 即 3q2 4q q p t （ *） 因为 q N ，且 q 1 时， （ *）显 然不 成立 ，2x 1 2 C21 【选 做题 】数 学 II（ 附 加 题 ） 参 考 答 案 【必 做题 】22 解 ： （ 1） 直线 l 的 方 程为 y 1 x 13令 x 0 ，则 y 1，即 Q(0,1)21 A解 析 ： （ 1） f () 1 1=(+1) m p 得： p 2m 2 1因为 2 是 一个 特征 值 ，所 以 f (2) 0所以 m 2 5 分1 1 抛 物 线 C
31、的 标 准 方 程为 x2 4 y（ 2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )由 PA QA, PB QB (, R ) 4 分（ 2） 由 （ 1） 得 ： A x m x 2 0 得 ： 1 11 1所以 det( A) 2 02 0 x2 m x2 x m 1 0 1 0 1 所以 x1所 以 逆 矩 阵 A1 2 2 10 分 2 m 2 1 1 1 x2 2 2 2 所 以 x1 m x2 m 2x1 x2 m (x1 x2 )x1 x2 x1 x2B解 ： 由 2 cos得： 2 2cos由 题 意 ， 直线 AB 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 AB :
32、y k ( x m)2 x2 y 2 2x 0 ， 即 ( x 1)2 y 2 13 分 x 2 py( p 0)得： x2 2 pkx 2 pkm 0 C (1, 0)设点 P(cos, 2 2 cos) ， y k (x m) 0所以 x x 2 pk | PC |(cos1) 2 (2 2 cos) 2 5 cos2 6 cos 5 当 cos 1 时， PC 有 最 大值 4. 10 分 x1 x2 2 pkm故 2 x1 x2 m( x1 x2 ) 4 pkm 2 pkm 1x1 x2 2 pkm3C 证 明 ：因为 x 0， 所 以 x3 2 x3 11 3x311 3x，即 为
33、定 值为 1. 10 分当 且 仅当 x3 1，即 x1 时取 “” 4 分因为 y2 1 2y (y 1)2 0， 所 以 y21 2y，当 且 仅当 y 1 时取 “” 8 分23 解 ： （ 1） a1 3 4 12, a2 3 ； 2 分（2 ）C0 (22019n 1) C1 22018n . Ck 22019k n . C2018n 21 C2019n 20所 以（共 4 页）（共 4 页）江苏省海门 中学 2019 年期初数学 学科调研测试试卷 (x32 ) (y21 ) 3x 2y，即 x3 y2 3 3x 2y， 当 且 仅 当 x y1 时， 取“ ” 10 分 an n2
34、0192019n 2019n 2019n 2019n 2019n 232019 n 1 C n 2019 2 6 分（共 4 页）C an 1 n 1201932=018 n 12(2019 n)(32018 n 1) 1，a 32019 n 1 (n 1)(32019 n 1)n C n 2019 2化简 ，得 (1008 2n) 32018 n 1009 n ，当 n 503 ，成 立；当 504 n 1008 时， 不成 立；当 n 1009 时 ， 不成 立；即 a1 a2 a3 . a503 a504 a504 a505 a506 . a2018当 n 503， 成 立 ； 当 504 n 1008 时， 不成 立；当 n 1009 时 ， 不 成 立 ； 即 a1 a2 a3 a503 a504 a505 a2018，即 (a ) a C 504 315151 10 分n max 504 2019 2
