1、- 1 -河北省“五个一名校联盟”2019 届高三第一次诊断考试理科数学 第 I卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是虚数单位， 则 ( )A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出 的代数形式，然后再求出 【详解】由题意得 ， 故选 B【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题2.集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过解不等式分别得到集合 ，然后再求出 即可【详解】由题意得 ， 故选 C【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集
2、，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题- 2 -3.已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意先求出向量 与 的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角的大小【详解】 ， 设 与 的夹角为 ，则 ，又 ， ，即 与 的夹角为 【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形 的三个顶点为圆心，以边
3、长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 3 -先求出封闭图形和等边三角形的面积，然后根据几何概型求解即可得到结果【详解】设等边三角形的边长为 ，则每个扇形的面积为 ， ，所以封闭图形的面积为 ，由几何概型概率公式可得所求概率为 故选 C【点睛】本题考查面积型的几何概型的求法，解题的关键是得到封闭图形的面积和三角形的面积，求解时注意转化思想方法的运用，考查理解、转化和计算能力，属于基础题5.已知圆 与抛物线 交于 两点，与抛物线的准线交于 两点，若四边形 是矩形，则 等于 ( )A. B. C.
4、 D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，由四边形 是矩形可得点 的纵坐标相等根据题意求出点 的纵坐标后得到关于 方程，解方程可得所求【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为 画出图形如图所示在 中，当 时，则有 - 4 -由 得 ，代入 消去 整理得 结合题意可得点 的纵坐标相等，故中的 相等，由两式消去 得 ，整理得 ，解得 或 （舍去） ， 故选 C【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到 与 x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题6.函数 的图象大致为 ( )A. B.
5、C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数的定义域为 ，令 ，通过对函数 的单调性的讨论，可得函数 的单调性及函数值的符号，进而得到图象的大致形状【详解】由 且 ，可得 或 ，函数的定义域为 - 5 -令 ，则 当 时， 单调递减， ， 单调递增，且 当 时， 单调递增， ， 单调递减，且 综上可得选项 A中的图象符合题意故选 A【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般先求出函数的定义域，然后再根据函数的单调性、奇偶性（对称性） 、周期性、最值或函数值的变化趋势进行分析、排除，有时还需要通过特殊值进行判断排除，此类问题考查识图能力和分析判断能力7.若 ， ，则下列不等式正确的是
6、( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意对给出的每个选项分别进行分析判断后可得正确的结论【详解】对于选项 A，由 可得 ，又 ，所以 ，故 A不正确；对于选项 B，由于 ，所以 等价于 ，可得 ，不合题意，故 B不正确；对于选项 C，由于函数 在 上为减函数，且 ，所以 ，故 C不正确；对于选项 D，结合对数函数的图象可得当 ， 时， ，故 D正确故选 D【点睛】根据条件判断不等式是否成立时，常用的方法有两种：一是根据不等式的性质直接- 6 -进行判断；二是通过构造适合题意的函数，利用函数的单调性、图象进行分析判断，解题的关键是根据题意选择适当的方法进行求解，考查运用知
7、识解决问题的能力和分析判断能力，属于中档题8.已知棱长为 1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 截去三棱锥和三棱锥 后的剩余部分其表面为六个腰长为 1的等腰直角三角形和两个边长为 的等边三角形，所以其表面积为 故选 B【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键求解几何体-
8、 7 -的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解9.函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ；当 时，则 ( )A. 671 B. 673 C. 1343 D. 1345【答案】D【解析】【分析】由 可得函数 是周期为 3的周期函数，然后再根据周期性求出函数值即可【详解】 ， ，函数 是周期为 3的周期函数又当 时， ；当 时， ， ，故选 D【点睛】本题考查函数值的求法，解题的关键是根据题意得到函数的周期性，然后将问题转化为求给定区间上的函数值的问题求解，考查分析判断和计算能力，属于基础题10.如图所示，直三棱柱的高
9、为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为 8，则球的体积为 ( )A. B. C. D. 【答案】A- 8 -【解析】【分析】设球心为 ，三棱柱的上底面 的内切圆的圆心为 ，该圆与边 切于点 ，根据球的几何性质可得 为直角三角形，然后根据题中数据求出圆 半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积【详解】如图，设三棱柱为 ，且 ，高 所以底面 为斜边是 的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆 ，圆 与边切于点 ，则圆 的半径为 设球心为 ，则由球的几何知识得 为直角三角形，且 ，所以 ，即球 的半径为 ，所以球 的体积为 故选 A【点睛】本题考查与球有关
10、的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径 、球心到小圆圆心的距离 和小圆半径 为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法（2）若直角三角形的两直角边为 ，斜边为 ，则该直角三角形内切圆的半径 ，合理利用中间结论可提高解题的效率11.函数 与函数 的图像关于点 对称，且 ，- 9 -则 的最小值等于 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意得 ，由函数 的图象与函数 的图象关于点 对称得，又 ，则得到 ，然后根据诱导公式并化简得到 ，进而可得所求的最小值【详解】由题意得 ，函数 的图象与函数 的图象关于点
11、 对称， ，又 ， ，即 ， ，结合 与 的特征可得， 又 ，当 时， 取得最小值 4故选 D【点睛】本题考查三角函数图象的对称性和三角变换的应用，解题时根据三角函数值相等得到角间的关系，并进而得到 间的关系是关键，考查变换能力和应用知识解决问题的能力，属于中档题12.已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有两个不同的整数解，则实数 的取值范围是（ ）- 10 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考虑 与 和 的关系，去掉绝对值号后可得 ，然后再通过导数研究函数的图象，结合图象可得所求结果【详解】方程 等价于或 或 ，即 或 或 ，所以 ， ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增
12、当 时， 取得最小值，且 画出函数 的图象，如下图所示于是可得，当 时， 恒成立由图象可得，要使方程 有且仅有两个不同的整数解，只需 ，即 ，解得 ，- 11 -实数 的取值范围是 故选 A【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用第 II卷二、填空题。13.若 x， y满足 ，则 的最小值为_【答案】2 【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将 变形为 ，移动直线 并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示由
13、可得 平移直线 ，由图形得，当直线经过可行域内的点 A时，直线 在 y轴上的截距最小，此时 z取得最小值由 解得 ，所以点 A的坐标为 - 12 -所以 故答案为 2【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中 的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求14.在 的展开式中常数项等于_【答案】9【解析】【分析】先求出二项式 展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项【详解】二项式 的展开式的通项为 ， 中的常数项为 故答案为 9【点睛】对于含有两个括号的展开式的项
14、的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑” ）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况15.已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，点 在双曲线上，点 的坐标为 ，且到直线 ， 的距离相等，则 _【答案】4【解析】【分析】画出图形，根据 到直线 ， 的距离相等得到 为 的平分线，然后根据角平分线的性质得到 ，再根据双曲线的定义可求得 【详解】由题意得 ，点 A在双曲线的右支上，- 13 -又点 的坐标为 ， 画出图形如图所示， ，垂足分别为 ，由题意得 ， 为 的平分线， ，即 又 ， 故答案为 4【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，
15、解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题16.在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且，则 面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】由题意及正弦定理得到 ，于是可得 ， ；然后在 和中分别由余弦定理及 可得 在此基础上可得，再由基本不等式得到 ，于是可得三角形面积的最大值【详解】如图，设 ，则 ,- 14 -在 和 中，分别由余弦定理可得 ，两式相加，整理得 ， 由 及正弦定理得 ，整理得 ，由余弦定理的推论可得 ，所以 把代入整理得 ，又 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，故得 所以 即 面积的最大值是 故答案为 【点睛
16、】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知数列 满足 ，- 15 -（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 【答案】 （） ；（） 。【解析】【分析】（）由 可得 ，两式相减得到 ，最后验证 满足上式，进而得到通项公式；（）由（）可得 ，于是 ，故利用裂项相消法可求出 【详解】 （） ，两式相减得 ， 又当 时， 满足上式， 数列 的通项公式 （）由（）得 ，- 16
17、 -【点睛】 （1）求数列的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对 时的情况的验证（2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项18.山东省高考改革试点方案规定：从 2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外 3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A、B+、B、C+、C、D+、D、E 共 8个等级.参照正态分布原
18、则，确定各等级人数所占比例分别为 3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A至 E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100、81,90、71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共 2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 N（60,169） （）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3人，记 X表示这 3人中等级成绩在区间61,80的人数，
19、求 X的分布列和数学期望.（附：若随机变量 ，则 ， ，）【答案】 （）1636 人；（）见解析。【解析】【分析】（）根据正态曲线的对称性，可将区间 分为 和 两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间 内的概率，进而可求出相应的人数；（）由题意得成绩在区间61,80的概率为 ，且 ，由此可得 的分布列和数学期望- 17 -【详解】 （）因为物理原始成绩 ，所以所以物理原始成绩在（47，86）的人数为 （人） （）由题意得，随机抽取 1人，其成绩在区间61,80内的概率为 所以随机抽取三人，则 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 ，所以 ，所以 的分布列为0 1 2 3所以数学期望 【
20、点睛】 （1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布19.如图，在四面体 中， 分别是线段 的中点， ， ，直线 与平面 所成的角等于 - 18 -（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值【答案】()见证明； () 。【解析】【分析】（）先证得 ，再证得 ，于是可得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 （）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量
21、求解即可得到所求【详解】 （）在 中， 是斜边 的中点，所以 .因为 是 的中点，所以 ，且 ，所以 ，所以 . 又因为 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 （）方法一：取 中点 ，连 ，则 ，- 19 -因为 ，所以 .又因为 ， ，所以 平面 ，所以 平面 因此 是直线 与平面 所成的角故 ，所以 .过点 作 于 ，则 平面 ，且 过点 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角因为 ，所以 ，所以 ，因此二面角 的余弦值为 方法二：如图所示，在平面 BCD中，作 x轴BD，以 B为坐标原点，BD，BA 所在直线为 y轴，z 轴建立空间直角坐标系 因为 (同方法一,过
22、程略) - 20 -则 ， , 所以 , , ，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，取 ,得 设平面 的法向量则 ，即 ，取 ,得 所以 ，由图形得二面角 为锐角，因此二面角 的余弦值为 【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求” ，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系20.椭圆 的离心率是 ，过点 做斜率为 的直线 ，椭圆 与直线 交于两点，当直线 垂直于 轴时 （）求椭圆 的方程；（）当 变化时，在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，若
23、存在求出 的取值范围，若不存在说明理由【答案】() ；()见解析。【解析】【分析】- 21 -（）由椭圆的离心率为 得到 ，于是椭圆方程为 有根据题意得到椭圆过点 ，将坐标代入方程后求得 ，进而可得椭圆的方程 （）假设存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，则点 为线段 AB的垂直平分线与 x轴的交点由题意得设出直线 的方程，借助二次方程的知识求得线段 的中点 的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点 的坐标后根据基本不等式可求出 的取值范围【详解】 （）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，整理得 故椭圆的方程为 由已知得椭圆过点 ，所以 ，解得 ， 所以椭圆的 方程为 （）由题意得直线 的
24、方程为 由 消去 整理得 ，其中 设 ， 的中点则 ，所以- 22 - ，点 C的坐标为 假设在 轴存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，则点 为线段 的垂直平分线与 x轴的交点当 时，则过点 且与 垂直的直线方程 ，令 ，则得 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当 时，则有 综上可得 所以存在点 满足条件,且 m的取值范围是 .【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解由于此类问题一般要涉及到大
25、量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解21.已知函数 （ 为常数）（）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；（）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的最大值- 23 -【答案】() ；() 。【解析】【分析】（）由 是单调函数可得 在定义域上恒成立，然后转化为二次方程根的分布的问题处理即可 （）由题意得 是方程 的两根，故得 ，不妨令 ，然后将 表示为 的函数，最后根据函数的单调性可求得最大值【详解】 （） ， ， 设 ， ， 是定义域上的单调函数，函数 的图象为开口向上的抛物线， 在定义域上恒成立，即 在 上恒成立又二次函数图象的对称轴为 ，且图象过定点
26、， ，或 ，解得 .实数 的取值范围为 （）由（I）知函数 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 在 上是减函数， ，- 24 -令 ，则 ，又 ，即 ，解得 ，故 ， 设 ，则 ， 在 上为增函数 ，即 所以 的最大值为 【点睛】 （1）解答第一问时注意由函数在定义域上为单调函数，可得到 或 恒成立，然后结合导函数的特点进行求解，解题时注意二次方程根的分布在解题中的应用（2）解答第二问的关键有两个：一个是把 转化为变量 的函数，二是通过换元构造出变量为 的函数，然后再借助单调性求解22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中
27、，曲线 ，曲线 （）求 的直角坐标方程；- 25 -（）若直线 与曲线 , 分别相交于异于原点的点 ,求 的最大值.【答案】() ；() 。【解析】【分析】（）将极坐标方程化为 ，然后再结合转化公式求解即可 （）由于点同在直线 上，故可根据 两点的极径差的绝对值来求出 ，然后再求出其最大值【详解】 （）极坐标方程 可化为 所以 ，将 代入上式可得 ，所以曲线 的直角坐标方程为 . （）不妨设 ，点 的极坐标分别为 ，由 ，得到 由 ，得到 所以 ，因为 ，所以 ，所以当 时， 取得最大值 【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键对于极坐标系内的长度问题，根据题
28、意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性23.已知 ,（）若 ,求不等式 的解集；（）设关于 的不等式 的解集为 ,若集合 ,求 的取值范围.- 26 -【答案】() ；() 。【解析】【分析】（）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可 （）根据题意将问题转化为“对于 ，不等式 恒成立”求解，通过去掉绝对值得到对 恒成立，求出最值可得结果【详解】 （）当 时，不等式 即为 ，等价于 或 或 解得 或 ，所以 所以原不等式的解集为 （）由题意可知，对于 ，不等式 恒成立，故不等式 对于 恒成立，化简得 所以 ，即 对于 恒成立，又当 时， ，且 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理- 27 -
