1、- 1 -湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题 文本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分，时量 120 分钟.第 I 卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应,aRi21zai32ai的点的坐标为A. B. C. D. 18,574,547,54,52.已知集合 222log3,30AxyxBxm，则实数 m 的取值范围为B若A. B. C. D. 4， 4， 2， 2，3.回文数
2、是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 11，323，4334 等.在所有小于150 的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于 3 的概率为A. B. C. D. 1623310254. 已知 O 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ，若右2,xyab12F，支上有点 M 满是 ，则双曲线的22,cos3FMO离心率为A. B. 636C. D. 35.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次。邓清：三喜第二，建业第三；- 2 -武琳：梅红第二，邓清第四；三喜：邓清第一，武琳第五；建业：梅红第三，
3、武琳第四；梅红：建业第二，三喜第五张老师说：每人的两句话都是一真一假已知张老帅的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为A.邓清、武琳、三喜、建业、梅红 B.邓清、梅红、建业、武琳、三喜C.三喜、邓清、武琳、梅红、建业 D.梅红、邓清、建业、武琳、三喜6.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 的值满足0,1xyn,xyA. B. C. D. 109yx169xy19yx2xy7.已知在等比数列 的 个 位 数 字 是2415320190,02,nnaaaa中 ， ， 则A. B. 7 C. 8 D. 968.函数 某相邻两支图象与坐标轴分别变于点ta,2fx，则方程 所有解的和为2,0,6
4、3ABcos,03fxxA. B. C. D. 551249.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面 M，N 上取三点 A，B，P，其中 P 为侧面 M 的对角线上一点(与对角线端点不重合)，A，B 为侧面 N 的一条对角线的两个端点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P，则 m 的最小值为A.4 B. C.2 D.432310.已知抛物线 的焦点为 F，其准线与 y 轴交于点 D，过点 F 作直线交抛2:0Expy- 3 -物线 E 于 A、B 两点，若 值为,4,ADBFp且 则 的A. 1 B. 2 C. 4 D. 811.小明站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的
5、运动情况，小车从点 A 出发的运动轨如图所示.设小明从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 ，练车时间为 t，则函数O的图象大致为ft12.定义 ，已知 为函数 的两个零点，若存在,min,ab,2fxpq整数 n 满足 ，则 的值1min,1fA.一定大于 B.一定小于 C.一定等于 D.一定小于124414第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 CD 的中点，记表示 ，则 =_.,BEaACb用 AB14.太 极 图 被 称 为 “中 华 第 一 图 ”.从 孔 庙 大 成 殿 粱 柱 ， 到
6、 楼 观 台 、 三 茅 宫 、 白 外 五 观 的 标 记 物 ；从 道 袍 、 卦 摊 、 中 医 、 气 功 、 武 术 到 南 韩 国 旗 、 新 加 坡 空 军 机 徽 ， 太 极 图 无 不 跃 居 其 上 .这 种广 为 人 知 的 太 极 图 ， 其 形 状 如 阴 阳 两 鱼 互 抱 在 一 起 ， 因 而 被 称 为“阴 阳鱼 太 极 图 ”.在 如 图 所 示 的 阴 阳 鱼 图 案 中 ， 阴 影 部 分 的 区 域 可 用小等式组来表示，设 是阴影中任意2 22224011xyxy或 ,xy一点，则 的最大值为_.z- 4 -15.已知 22 22112: 0,:10
7、,CxyrCxyrAA相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为 7，则 为_.2与 2r16.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ,sincosabcBC， 若 ，必须满足_.,abc则三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。)(一)必考题：共 60 分。17.(本小题满分 12 分)设正项数列 的前 n 项和 的等比中项，a21nnnSa， 且 是 与其中 .nN（I）求数列 的通项公式；na（II）设 ，记数列 的 n 项和为 .12nnbb2,1nnT求 证 ：
8、18. (本小题满分 12 分)随 着 经 济 的 发 展 ， 个 人 收 入 的 提 高 ， 自 2019 年 1 月 1 日 起 ， 个 人 所 得 税起 征 点 和 税 率 的 调 整 。 调 整 如 下 ： 纳 税 人 的 工 资 、 薪 金 所 得 ， 以 每 月 全 部 收 入 额 减 除5000 元 后 的余 额 为 应 纳 税 所 得 额 。 依 照 个 人 所 得 税 税 率 表 ， 调 整 前 后 的 计 算 方 法 如 下 表 ：(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于 8000 元，记 x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后 y 关于 x 的函数
9、表达式；- 5 -(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在3000，5000)及5000，7000)的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 4 人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?19. (本小题满分 12 分)如图，在多边形 ABPCD 中（图 1） ，ABCD 为长方形，BPC 为正三角形， ，现以 BC 为折痕将BPC 折起，使点 P 在平面 ABCD 内的射影恰好
10、在3,2ABCAD 上（图 2）.（I）证明： 平面 PAB；PD（II）若点 E 在线段 PB 上，且 ，当点 Q 在线段 AD 上运动时，求三棱锥13PEB的体积.QBC20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的左、右焦点分别为2:10xyCab- 6 -且椭圆上存在一点 M，满足 .12,0,F1124,05FM(I)求椭圆 C 的标准方程；(II)已知 A，B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，过 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线2AP，BQ 的交点为 T，是否存在一条定直线 l，使点 T 恒在直线 l 上?21.(本小题满分 12 分)设函数 .321ln19fxx(I)求函数
11、 的极值点个数；fx(II)若62412311ln,92nnn na Naa ， 证 明 ：.3(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程曲线 的参数方程为 ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位1C12:3xty长度建立极坐标系，曲线 对称2 1:cos0CaC关 于(I)求 极坐标方程， 直角坐标方程；1(II)将 向左平移 4 个单位长度，按照 变换得到 与两坐标轴交于 A、B2 32xy3；两点，P 为 上任一点，求ABP 的面积的最大值.3C23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 21fx(I)解关于 x 的不等式 ；fx- 7 -(II)对任意正数 ，求使得不等式 恒成立的 的取值集合 M.ab、 238fxabx- 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 -
