1、- 1 -湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题 理本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分满分.150 分，时量 120 分钟.第 I 卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应,aRi21zai32ai的点的坐标为A. B. C. D. 18,574,547,54,52.已知集合 222log3,30AxyxBxm，则实数 m 的取值范围为B若A. B. C. D. 4， 4， 2， 2，3.美国总统
2、伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知 ，若从该直角梯形中随机取3,4ab一点，则该点也在CDE 的内切圆内部的概率为A. B. 50324949C. D. 24. 已知 为锐角，则 的值为31sin2,cos,4sinA. B. C. D. 3712372132145.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 的值满足0,xyn,xy- 2 -A. B. C. D. 2xy19yx169xy109yx6.已知命题 p：数列 的通项公式为 ( 为实数， )，且na2nabc,anN恒 为
3、 等 差 数 列 ； 命 题 q： 数 列 的 通 项 公 式 为201782019,kkkan时，数列 为递增数列.若 为 真 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为nbqNnpA. B. C. D. ,0,07.已知函数 ，则定积分 的值为213,4xf x412fxdA. B. C. D. 94838.函数 某相邻两支图象与坐标轴分别变于点tan0,02fx，则方程 所有解的和为2,0,63ABcos,3fxxA. B. C. D. 551249.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面 M，N 上取三点 A，B，P，其中 P 为侧面 M 的对角线上一点(与对角线端点小
4、重合)，A，B 为侧面 N 的一条对角线的两个端点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P，则 m 的最小值为A. B. C.4 D.2432310.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 与2:10,xyCab12,F25yx- 3 -双曲线 C 交于纵坐标为 1 的点 M，直线 与抛物线的准线交于 N，若 ，则1F11295FM双曲线的方程为A. B. C. D. 245xy2169xy254xy2916xy11.小明站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨如图所示.设小明从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 ，练车时间为 t，则函数O的图象大致为
5、ft12.定义 ，已知 为函数 的两个零点，若存在,min,ab,2fxpq整数 n 满足 ，则 的值1min,1fA.一定大于 B.一定小于 C.一定等于 D.一定小于124414第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 CD 的中点，记表示 ，则 =_.,BEaACb用 AB14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为
6、“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组- 4 -来表示，设 是阴影中任意一点，则 的2 22224011xyxy或 ,xy2zxy最大值为_.15.已知 22 22112: 0,:10,CxyrCxyrAA相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为 7，则 为_.2与 2r16.在各项均为正数的等比数列 取最小值时，则数列 的前 n3148,naa中 ， 当 2a项和为_.三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。)(一)必考题：共 60 分。17.
7、(本小题满分 12 分)已知ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 .,23abcc， 且(I)若 ，求 B；tan2tC(II)若ABC 的面积为 ，求ABC 的周长.3tan3，18.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中， ，底面四边形 ABCD 为直角梯形，PAD，M 为线段 PB 上一点,/,90ADBCBD(I)若 ，则在线段 PB 上是否存在点 M，使得 AM平面 PCD?若13存在，请确定 M 点的位置；若不存在，请说明理由(II)己知 ，若异面直线 PA 与 CD 成 90角，二而角2,PAB-PC-D 的余弦值为 ，求 CD 的长. 1019.(本小题
8、满分 12 分)随 着 经 济 的 发 展 ， 个 人 收 入 的 提 高 ， 自 2019 年 1 月 1 日 起 ， 个 人 所 得 税起 征 点 和 税 率 的 调 整 。 调 整 如 下 ： 纳 税 人 的 工 资 、 薪 金 所 得 ， 以 每 月 全 部 收 入 额 减 除5000 元 后 的余 额 为 应 纳 税 所 得 额 。 依 照 个 人 所 得 税 税 率 表 ， 调 整 前 后 的 计 算 方 法 如 下 表 ：- 5 -(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于 8000 元，记 x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后 y 关于 x 的函数表达式
9、；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在3000，5000)及5000，7000)的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 4 人作为新纳税法知识宣讲员，用 a 表示抽到作为宣讲员的收入在3000，5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在5000，7000)元的人数，随机变量 ，求 Z 的分布列与数Zab学期望；小红该月的工资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的左、右焦点分别为2:10xyCab且椭圆上
10、存在一点 M，满足 .12,0,F 1124,05FM(I)求椭圆 C 的标准方程；(II)已知 A，B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，过 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线2AP，BQ 的交点为 T，是否存在一条定直线 l，使点 T 恒在直线 l 上?- 6 -21.(本小题满分 12 分)设函数 .321ln19fxx(I)求函数 的极值点个数；fx(II)若62412311ln,92nnn na Naa ， 证 明 ：.3(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程曲线 的参数方程为 ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位1C12:3xty长度建立极坐标系，曲线 对称2 1:cos0CaC关 于(I)求 极坐标方程， 直角坐标方程；1(II)将 向左平移 4 个单位长度，按照 变换得到 与两坐标轴交于 A、B2 32xy3；两点，P 为 上任一点，求ABP 的面积的最大值.3C23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 21fx(I)解关于 x 的不等式 ；fx(II)对任意正数 ，求使得不等式 恒成立的 的取值集合 M.ab、 238fxabx- 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 -
