1、1福建省莆田第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期第二次月考试题 理一选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分）1.已知 是可导函数，则 是 为极值的（ ）()yfx0()fx0()fxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答 B2. 已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图，则函数 f(x)的图象只可能是所给选项中的( )答 C3.已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 答 D4.已知函数 在 R 上是单调函数，则实数 的取值范围是（ 32()3fxaxa
2、）A. B (,)2,2C. D. 3,)(,3(,)答 B25.已知双曲线 M： 的焦距为 4，两条渐近线的夹角为 ，则双21(0,)xyabb60曲线 M 的标准方程为（ ）A B. 221134xxyy或 221133xyyx或C. D. 22或 2244或答 B6.已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 x2a2 y2b2 PF1 .若 PF1F2的面积为 9，则 b（ ）PF2 A.3 B 34 C. D.6 4答 A7.过点 M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆 C： (ab0)相交于 A,B 两点,若 M1221xyab是线段 AB
3、 的中点,则椭圆 C 的离心率等于（ ）A. B. C. D. 24142答案 B解析：设 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得 + =0,根据题意有 x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且 =- ,所以 + (- )=0,得 a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2,得 = ,所以 e= .8.已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ,点 A 为双曲线 C1(0)xybb12F虚轴的一个端点，若线段 与双曲线右支交于点 B，且 ,则双2AF:3:41AB3曲线 C 的离心率为（ ）A. 2 B.3 C. D. 102104答案 C9.已知定义
4、在 R 上的奇函数 的导函数为 ，当 时， 且()fx()fx0()fxf，则使 成立的 的取值范围是（ ）(1)0f()0fA. B. C. D. ,1)(,(,1),)()()答案 B10已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 ，过 F 的直线与抛物线 C 交2(0)ypxl于 A,B 两点，交 于点 D，过 A,B 分别作 x 轴的平行线，分别交 于 M,N 两点。若l, 的面积等于 ，则抛物线 C 的方程为（ ）4ABFN3A. B. C. D. 2yx2yx24yx28yx答：D411.已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于
5、 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的渐近线方程为 ( )A. B. C. D. 3xy32x3yx3yx答案 D解析：根据圆和双曲线的对称性,可知四边形 ABCD 为矩形 .双曲线的渐近线方程为 y= x,圆的方程为 x2+y2=4,不妨设交点 A 在第一象限,由 得 故四边形ABCD 的面积为 4xAyA= =2b,解得 b2=12,故所求的双曲线的方程为 - =1,选 D.12.已知函数 ，曲线 上存在不同的两点，使得曲线在这两点()xfae()yfx处的切线都与 y 轴垂直，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2(,)e2(,0)2(,)e2
6、(,0)e答案 D5二填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分）13.已知点 A(-1,2),F 是抛物线 的焦点,M 在抛物线上的一动点,设 M 到 A 的距离为24yx,到抛物线准线的距离为 ,则 的最小值为 1d2d12答案：2 ,14.函数 的减区间为 2()1)4xfxe答 2,ln15.若对任意 ， 恒成立，则正实数 的取值范围为 xR()0xeaa答： (0,1)16.若曲线 与 存在公切线，则实数 的取值范围是 2yxln(0)axa答案 (0,e6三解答题(共 70 分)17. (10 分)已知函数 ，其中 。(fxa0(1)若 ，求不等式 的解集；1a)(1)
7、2f(2)若不等式 的解集为 ，求 的值。()30fxxa17. 7818. (12 分) 已知抛物线 C： 上一点 M 到准线的距离为2(0)xpy0(4,)1y5。(1)求抛物线 C 方程(2)过点 N 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点，求 面积的最小值。( 为坐标原点)(0,2) OABO解析 (1)由 得 0452py0028()41py或 舍 去抛物线方程为 xy(2)依题意，直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 方程为 , 设2ykx11(,)(,)AxyB消 y 得 显然 ，24k2480xk1248xk=4 ， 12xk2124OABSNxk当 时， 面积取得最小
8、值 。0919. (12 分)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= ax+b.(1)若曲线 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,求 g(x)的表达式;(2)若 (x)= -f(x)在1, + )内是减函数,求实数 m 的取值范围 .解 (1) f(x)=ln x, f(x)= 又 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切, f(1)=1= a,即 a=2.又 g(1)=f(1)=0= a+b, b=-1, g(x)=x-1.(2) (x)= -f(x)= -ln x 在1, + )内是减函数, (x)= 0 在1, + )内恒成立,即 x2-(2m-2)x+10 在1,+ )内恒成立 .
9、2 m-2 x+ ,x1, + ). x+ 2,+ ),2 m-22,即 m2 .故实数 m 的取值范围是( - ,2.20. (12 分)如图，在三棱柱 中， ，1ABC1ABC侧 面12,2,BCA，点 E 为棱 BB1的中点145o10()求证：C 1B平面 ABC；()求二面角 AC 1EB 的余弦值()证明：BC= ，CC 1=BB1=2，BCC 1= ，所以在BCC 1中，由余弦定理，可求得 C1B= ，C 1B2+BC2= ，即 C1BBC又 AB侧面 BCC1B1，故 ABBC 1，又 CBAB=B，所以 C1B平面 ABC；()解：由()知，BC、BA、BC 1两两垂直，以
10、B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则 B(0，0，0)，A(0，2，0)，C( ，0，0)，C 1(0，0， )，B 1( ，0， )， =(0，2， )， 112()(,)2ECB设平面 AC1E 的一个法向量为 =(x，y，z)，由 ，得 ，令 ，得10mCA02zx2z(2,1)m又平面 C1EB 的一个法向量为 =(0，1，0)，所以 cos ， = = ，所以二面角 AC 1EB 的余弦值为 1121(12 分)已知曲线 上任意一点 到两个定点 ， 的距离之和 4EP13,0F2,（1）求曲线 的方程；（2）设过(0，-2)的直线 与曲线 交于 两点，且 （ 为原点），求
11、l,CDOCD直线 的方程l解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点 的轨迹为椭圆，P其中 2a， 3c，则 21bac所以动点 的轨迹方程为 4xy P（2）当直线 l的斜率不存在时，不满足题意 当直线 的斜率存在时，设直线 l的方程为 2kx，设 1(,)Cxy， 2(,)D， 0O， 120xy 1yk， 2k，21112()4kxx 211()()4xx 由方程组2,4.ykx得 21620kx则 1226x， 1224，代入，得 04kk 即 2，解得， 或 所以，直线 l的方程是 2yx或 2yx 22. (12 分)已知函数 f(x)=(x-1)ex+ax2有两个零点 .(1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值;(2)求 a 的取值范围;解析 (1)当 a=1 时, f(x)=(x-1)ex+x2,f(x)=x(ex+2),令 f(x)0,得 x0,所以 y=f(x)在(0, + )上单调递增,12令 f(x)0 时,由 f(x)0 得 x0,由 f(x)0 得 x0,所以 f(x)在( - ,0)上单调递减,在(0, + )上单调递增,所以 f(x)min=f(0)=-10,
