1、111.1 随机事件与古典概型【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.事件与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式2016 天津文,2互斥事件的概率加法公式互斥事件、相互独立事件2.古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式2.会计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率2018 天津文,152017 天津文,32015 天津文,152014 天津文,15古典概型的应用列举法计算随机事件所含基本事件数2分析解读 一、事件与概率1.了解随机事件的发生存在的规律性和随
2、机事件概率的意义.2.了解等可能事件概率的意义,会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式计算事件的概率是高考的热点.二、古典概型在古典概型条件下,能用事件的概率公式解决实际问题.本节在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题的形式出现,分值约为 5 分,属于中低档题.随机事件、古典概型与随机变量的分布列、期望与方差等综合在一起考查时,一般以解答题的形式出现,分值约为 13 分,属于中档题.破考点【考点集训】考点一 事件与概率1.(2018 课标文,5,5 分)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的2 人都是女同学的概率为( )A.0
3、.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3答案 D 2.近年来共享单车在我国主要城市发展迅速.目前市场上有多种类型的共享单车,有关部门对其中三种品牌共享单车(M、Y、F)进行统计(统计对象年龄在 1555 岁),相关数据如表 1,表 2 所示.三种品牌共享单车使用人群年龄所占百分比(表 1)品牌年龄分组 M Y F15,25) 25% 20% 35%25,35) 50% 55% 25%35,45) 20% 20% 20%45,55 5% a% 20%不同性别选择共享单车种类情况统计(表 2)性别使用单车种类数(种) 男 女31 20% 50%2 35% 40%3 45% 10%(1)根据表 1
4、估算出使用 Y 品牌共享单车人群的平均年龄;(2)若从统计对象中随机选取男女各一人,试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率;(3)有一个年龄在 2535 岁之间的共享单车用户,他使用 Y 品牌共享单车出行的概率最大,使用 F 品牌共享单车出行的概率最小.试问此说法是否正确?(只需写出结论)解析 (1)a=5.由表 1 知使用 Y 品牌共享单车人群的平均年龄的估计值为2020%+3055%+4020%+505%=31.答:使用 Y 品牌共享单车人群的平均年龄约为 31 岁.(2)设事件 Ai为“男性选择 i 种共享单车”,i=1,2,3,设事件 Bi为“女性选择 i 种共享
5、单车”,i=1,2,3,设事件 E 为“男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数”.由题意知,E=A 2B1A 3B1A 3B2,因此 P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=0.58.答:男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为 0.58.(3)此说法不正确.思路分析 (1)先利用表格中的相关数据求出 a,再利用均值公式得出结果;(2)把所求事件分解成几个互斥事件,利用互斥事件概率的加法公式求概率;(3)利用概率的定义判断正误.方法点拨 求随机事件的概率时,要抓住事件之间的关系,把所求事件进行分解,利用概率的加法公式和乘法公式求概率.考点二 古典概型
6、3.(2018 课标,8,5 分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是 ( )A. B. C. D.112 114 115 118答案 C 44.某校高三年级共有学生 195 人,其中女生 105 人,男生 90 人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取 13 人进行问卷调查.设其中某项问题的选择为“同意”“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.同意 不同意 合计女学生 4男学
7、生 2(1)完成上述统计表;(2)根据上表的数据估计高三年级学生对该项问题选择“同意”的人数;(3)从被抽取的女生中随机选取 2 人进行访谈,求选取的 2 名女生中至少有一人选择“同意”的概率.解析 (1)统计表如下:同意 不同意 合计女学生 4 3 7男学生 4 2 6(2)估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数为 105+ 90=60+60=120.47 46(3)设选择“同意”的 4 名女生分别为 A1,A2,A3,A4,选择“不同意”的 3 名女生分别为B1,B2,B3.从 7 人中随机选出 2 人的情况有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A
8、4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3,共 21 种.其中 2 人都选择“不同意”的情况有 B1B2,B1B3,B2B3,共 3 种.设“2名女生中至少有一人选择同意”为事件 M,所以 P(M)=1- = .32167炼技法【方法集训】方法 1 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略1.(2014 陕西,6,5 分)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 455答案 C 2.(2016 课标,
9、18,12 分)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析 (1)设 A 表示事件:“该续保人
10、本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1,故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3 分)(2)设 B 表示事件:“该续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 P(B)=0.1+0.05=0.15.又 P(AB)=P(B),故 P(B|A)= = = = .因P(AB)P(A)P(B)P(A)0.150.55311此所求概率为 .(7 分)311(3)记续保人本年度的保费为 X 元,则 X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.2
11、0 0.20 0.10 0.05EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.(12 分)易错警示 对条件概率的定义理解不到位,或者不会运用条件概率的求解公式,导致出错.评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了考生的应用意识及数据处理能力,属中档题.方法 2 古典概型的求解方法3.(2016 江苏,7,5 分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 . 答案
12、564.(2014 江西,12,5 分)10 件产品中有 7 件正品、3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是 . 6答案 12过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2017 天津文,3,5 分)有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 C 2.(2016 天津文,2,5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲12 13不输的概率为( )A. B. C. D.56 25
13、16 13答案 A 3.(2018 天津文,15,13 分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的 7 名同学分别用 A,B,C,D,E,F,G 表示,现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”,求事件 M 发生的概率.解析 (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学,因
14、此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人,2人,2 人.(2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共 21 种.由(1),不妨设抽出的 7 名同学中,来自甲年级的是 A,B,C,来自乙年级的是 D,E,来自丙年级的是 F,G,则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共 5 种.7所以,事件 M 发生的概率 P(M)= .
15、521易错警示 解决古典概型问题时,易出现以下错误:(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.4.(2015 天津文,15,13 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的
16、结果;(ii)设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”,求事件 A 发生的概率.解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2.(2)(i)从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为A 1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共 15 种.(ii)编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为A 1,A5,A1,A6,A2,A5,A2,A6,A3,A5,A3,
17、A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共 9 种.因此,事件 A 发生的概率 P(A)= = .91535评析本题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.5.(2014 天津文,15,13 分)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).8(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不
18、同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率.解析 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为A,B,A,C,A,X,A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z,共 15 种.(2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为A,Y,A,Z,B,X,B,Z,C,X,C,Y,共 6 种.因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = .61525评析本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的
19、能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 事件与概率1.(2015 湖北,2,5 分)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( )A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石答案 B 2.(2014 课标,5,5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.18 38 58 78答案 D 考点二 古典概型1.(2017 课标文,11,5 分)从分别写有 1,2,3
20、,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25答案 D 2.(2016 课标文,5,5 分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )9A. B. C. D.815 18 115 130答案 C 3.(2015 课标,4,5 分)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从 1,2,3,4,5 中任取
21、 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.310 15 110 120答案 C 4.(2016 四川文,13,5 分)从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b,则 logab 为整数的概率是 . 答案 16C 组 教师专用题组1.(2017 山东,8,5 分)从分别标有 1,2,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次,每次抽取1 张.则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. C. D.518 49 59 79答案 C 2.(2015 广东文,7,5 分)已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5
22、 件产品中任取2 件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1答案 B 3.(2018 江苏,6,5 分)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选中 2 名女生的概率为 . 答案 3104.(2013 课标,14,5 分)从 n 个正整数 1,2,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 ,则 n= . 114答案 85.(2017 山东文,16,12 分)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3和 3 个欧洲国家B1,B2,B3中选择 2 个国家去旅游.(1)若从这 6 个国家中任选 2
23、个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率.10解析 本题考查古典概型.(1)由题意知,从 6 个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A 1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共 15 个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A 1,A2,A1,A3,A2,A3,共 3 个,则所求事件的概率 P= = .31515(2)从亚洲国家和欧洲
24、国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A 1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共 9 个.包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有:A 1,B2,A1,B3,共 2 个,则所求事件的概率为 P= .296.(2015 福建文,18,12 分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号 分组 频数1 4,5) 22
25、5,6) 83 6,7) 74 7,8 3(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解析 (1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是A 1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 个.其中
26、,至少有 1 家融合指数在7,8内的基本事件是A 1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共 9 个.所以所求的概率 P= .910(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于114.5 +5.5 +6.5 +7.5 =6.05.220 820 720 320评析本题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等.7.(2014 四川文,16,12 分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取
27、1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.解析 (1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3)
28、,(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种.设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A,则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种.所以 P(A)= = .32719因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 .19(2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B,则事件 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种.B所以 P(B)=1-P( )=1- = .B32789因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 .89【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 30 分
29、)1.(2018 天津十二区县二模,2)从大小相同的红、黄、白、紫、粉 5 个小球中任选 2 个,则取出的两个小球中没有红色球的概率为( )A. B. C. D.25 35 56 910答案 B 2.(2018 天津河北质量检测(2),4)从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个组成一个没有重复数字的两位数,则这个两位数大于 30 的概率是( )12A. B. C. D.15 25 35 45答案 C 3.(2017 天津和平一模,2)一个口袋中装有 2 个白球和 3 个黑球,这 5 个球除颜色外完全相同,从中摸出 2 个球,则这 2 个球颜色相同的概率为( )A. B. C. D.310
30、35 12 25答案 D 4.(2018 天津一中 3 月月考,3)若从集合1,2,3,5中随机选出三个元素,则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为( )A. B. C. D.14 12 34 13答案 B 5.(2017 天津河北一模,2)两个袋中各装有编号为 1,2,3,4,5 的 5 个小球,分别从每个袋中摸出一个小球,所得两球编号之和小于 5 的概率为( )A. B. C. D.15 725 625 25答案 C 6.(2017 天津十二区县一模,2)若从 2 个海滨城市和 2 个内陆城市中随机选 2 个去旅游,那么恰好选 1 个海滨城市的概率是( )A. B. C. D.13
31、23 14 12答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)7.(2017 天津河西一模,11)一个口袋内装有除颜色外完全相同的 2 个白球和 2 个黑球,从中一次随机取出 2 个球,则至少取到 1 个黑球的概率为 . 答案 568.(2017 天津红桥一模,10)经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下表:排队人数 0 1 2 3 4 5概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是 . 13答案 0.74三、解答题(共 80 分)9.(2018 天津部分区县质量检测(2),16)某区的
32、区人大代表有教师 6 人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为 A1,A2,乙校教师记为 B1,B2,丙校教师记为 C,丁校教师记为 D.现从这 6 名教师中随机选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出 1 名.(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果;(2)求教师 A1被选中的概率;(3)求宣讲团中没有乙校教师的概率.解析 (1)从 6 名教师中随机选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团,组成人员的全部可能结果有A 1,B1,C,A1,B1,D,A1,B2,C,A1,B2,D,A1,C,D,A2,B1,C,A2,B1,D,A2,B2
33、,C,A2,B2,D,A2,C,D,B1,C,D,B2,C,D,共 12 种.(2)由(1)可知 A1被选中的结果有A 1,B1,C,A1,B1,D,A1,B2,C,A1,B2,D,A1,C,D,共 5种,所以所求概率 P= .512(3)由(1)可知宣讲团中没有乙校教师的结果有A 1,C,D,A2,C,D,共 2 种,所以所求概率 P= .2121610.(2018 天津南开统练,15)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客,两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示的圆盘,指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为 15,边界忽略不计)即为中
34、奖.乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖.问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?14解析 如果顾客去甲商场,设题图中圆盘的半径为 R,则抽奖的全部结果构成的区域为圆盘的面积 R 2,阴影部分的面积为 = ,415R2360 R26则在甲商场中奖的概率 P1= = ; R26 R216如果顾客去乙商场,记 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则全部可能的结果有(a 1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a
35、2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 15 种,摸到的是 2 个红球的事件有(b 1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 3 种,则在乙商场中奖的概率 P2= =315.因为 P1P2,所以购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大.15解题分析 首先分别计算两种方案中奖的概率(记录事件发生的全部结果的个数与满足条件的事件的个数,由等可能事件的概率公式求得相应概率),然后比较概率大小,得结果.评析本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法,关键是正确列举事件的全部情
36、况.11.(2018 天津河东二模,15)小明非常喜欢葫芦娃七兄弟的人偶玩具,小明的妈妈答应小明买其中的两个,小明面对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个造型各异的玩偶举棋不定.(1)请列举出小明购买人偶的所有结果;(2)记事件 X 为“小明至少从红、橙、黄三个人偶中购买一个”,求事件 X 发生的概率.解析 (1)设红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七个玩偶分别为 A、B、C、D、E、F、G,则选择其中两个的情况为 21 种,分别为A,B、A,C、A,D、A,E、A,F、A,G、B,C、B,D、B,E、B,F、B,G、C,D、C,E、C,F、C,G、D,E、D,F、D,G、E,F、E,G、F,G.(2)事件
37、 X 为“小明至少从红、橙、黄三个人偶中购买一个”,其发生的情况为A,B、A,C、A,D、A,E、A,F、A,G、B,C、B,D、B,E、B,F、B,G、C,D、C,E、C,F、C,G,共计 15 种,故事件 X 发生的概率 P(X)= = .15215712.(2019 届天津一中 1 月月考文,16)某中学一位高三班主任对本班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行调查,得到的统计数据如表所示:积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高 18 7 2515学习积极性不高 6 19 25合计 24 26 50(1)如果随机调查这个班的一名学生,求事件 A:抽到不积极参加班级
38、工作且学习积极性不高的学生的概率;(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的 7 名学生中有两名男生,现从中抽取两名学生参加某项活动,请用字母代表不同的学生,列举出抽取的所有可能结果;(3)在(2)中,求事件 B:两名学生中恰有一名男生的概率.解析 (1)由题表可得随机调查这个班的一名学生,有 50 种情况,抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有 19 种情况,故 P(A)= .1950(2)设这 7 名学生分别为 a,b,c,d,e,A,B(大写为男生),则从中抽取两名学生的所有基本事件有 ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de
39、,dA,dB,eA,eB,AB,共 21 种.(3)事件 B 包含的基本事件有 10 种,分别为 aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,eA,eB,故 P(B)= .102113.(2018 天津部分区县期末,15)某公司需要对所生产的 A,B,C 三种产品进行检测,三种产品数量(单位:件)如下表所示:产品 A B C数量(件) 180 270 90采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取 6 件.(1)求分别抽取三种产品的件数;(2)将抽取的 6 件产品按种类 A,B,C 编号,分别记为 Ai,Bi,Ci,i=1,2,3,现从这 6 件产品中随机抽取 2 件.(i)用所给编号列出所有可
40、能的结果;(ii)求这两件产品来自不同种类的概率.解析 (1)设 C 产品抽取了 x 件,则 A 产品抽取了 2x 件,B 产品抽取了 3x 件,则有 x+2x+3x=6,解得 x=1,所以 A,B,C 三种产品分别抽取了 2 件,3 件,1 件.(2)(i)A 产品编号为 A1,A2;B 产品编号为 B1,B2,B3;C 产品编号为 C1.则从这 6 件产品中随机抽取 2 件的所有结果如下:A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B2,B3,B2,C1,B3,C1,共 15 个.16(ii
41、)根据题意,可知(i)中基本事件的出现是等可能的,其中两件产品来自不同种类的有A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1,B1,C1,B2,C1,B3,C1,共 11 个.因此这两件产品来自不同种类的概率 P= .111514.(2019 届天津耀华中学第一次月考文,16)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,求 nm+2 的概率.解析 (1)
42、从袋中随机取两个球,可能的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和4,共 6 个,从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件有 1 和 2,1 和 3,共 2 个,因此所求事件的概率 P= = .2613(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n,其所有可能的情况(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个,其中满足条件 nm+2 的情况为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个,所以满足条件 nm+2 的事件的概率为 .316故满足条件 nm+2 的事件的概率为 1- = .3161316
