1、13.1 导数的概念及运算【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义2017 天津文,10导数的几何意义直线方程与截距2.导数的运算1.能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y=1x的导数x2.能利用基本初等函数2018 天津文,102016 天津文,10导数的运算 指数函数 2的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,了解复合函数的求导法则分析解读 本节主要是对导数概念、导数的几何意义及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为
2、基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值或最值综合考查.3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于容易题.破考点【考点集训】考点一 导数的概念与几何意义1.(2018 课标,5,5 分)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案 D 2.(
3、2017 课标文,14,5 分)曲线 y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 . 1x答案 x-y+1=0考点二 导数的运算3.(2013 江西,13,5 分)设函数 f(x)在(0,+)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f(1)= . 答案 2炼技法【方法集训】方法 1 求函数的导数的方法1.曲线 f(x)= 在点(1,f(1)处切线的倾斜角为 ,则实数 a= ( )x2+ax+1 34A.1 B.-1 C.7 D.-7答案 C 3方法 2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程2.(2015 陕西,15,5 分)设曲线 y=ex在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x0)上点 P 处的切
4、线垂1x直,则 P 的坐标为 . 答案 (1,1)3.(2016 北京,18,13 分)设函数 f(x)=xea-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间.解析 (1)因为 f(x)=xea-x+bx,所以 f(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,知 f(2)=2e+2,f (2)=e-1,即 2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.解得 a=2,b=e.(2)由(1)知 f(x)=xe2-x+ex.由 f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0 知,f(x)与 1-x+ex-
5、1同号.令 g(x)=1-x+ex-1,则 g(x)=-1+ex-1.所以,当 x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故 g(1)=1 是 g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而 g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故 f(x)的单调递增区间为(-,+).方法总结 (1)曲线在某点处的切线满足两个条件:一是过该点,二是斜率(若斜率存在)等于函数在该点处的导数值.(2)讨论函数的单调性可转化为讨论导函数的符号变化,因此常将导函数作为一个新函数来研究其值域(最值),利用所得结果确定原函数的单调性.过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组考点
6、一 导数的概念与几何意义41.(2017 天津文,10,5 分)已知 aR,设函数 f(x)=ax-lnx 的图象在点(1,f(1)处的切线为 l,则l 在 y 轴上的截距为 . 答案 12.(2017 天津文,19,14 分)设 a,bR,|a|1.已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求 f(x)的单调区间;(2)已知函数 y=g(x)和 y=ex的图象在公共点(x 0,y0)处有相同的切线.(i)求证:f(x)在 x=x0处的导数等于 0;(ii)若关于 x 的不等式 g(x)e x在区间x 0-1,x0+1上恒成立,求 b 的取值范围.解
7、析 (1)由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得 f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令 f(x)=0,解得 x=a,或 x=4-a.由|a|1,得 a0,可得 f(x)1.又因为 f(x0)=1,f(x0)=0,故 x0为 f(x)的极大值点,由(1)知 x0=a.由于|a|1,故 a+10,可得 f(x)1.根据(1)可知 f(x)f(a)=1 在a-1,a+1上恒成立.由 f(a)=1,得 b=2a3-6a2+1,-1a1,利用导数即可求出 b的取值范围.评析本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法
8、.考查用函数思想解决问题的能力.3.(2013 天津文,20,14 分)设 a-2,0,已知函数 f(x)= x3-(a+5)x, x 0,x3-a+32x2+ax, x0.(1)证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线 y=f(x)在点 Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且 x1x2x30.证明 x1+x2+x3- .13解析 (1)设函数 f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3- x2+ax(x0),a+326f 1(x)=3x2-(a+5),由 a-2,0,从而当-11时,f 2(x)0.即函数 f2(
9、x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及 f1(0)=f2(0),可知函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知 f(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间 内单调递减,(0,a+36)在区间 内单调递增.(a+36,+ )因为曲线 y=f(x)在点 Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而 x1,x2,x3互不相等,且 f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨设 x1- + ,2a+53 a+33设 t= ,则 a= ,2a+53 3t2-52因为 a-2,0,所以 t ,33,153故 x1+x
10、2+x3-t+ = (t-1)2- - ,3t2+16 12 13 137即 x1+x2+x3- .13评析本题主要考查导数的运算及其几何意义,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.考点二 导数的运算1.(2018 天津文,10,5 分)已知函数 f(x)=exlnx,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 .答案 e2.(2016 天津文,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(0)的值为 .答案 3B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2014 课标,8,5 分)设曲
11、线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 D 2.(2018 课标,13,5 分)曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x3.(2018 课标,14,5 分)曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a= . 答案 -34.(2016 课标,15,5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x1.解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ae xlnx+ ex- ex-1+ ex-1.ax bx2 bx8由题意可得 f(1)=2,f(1)=e.故 a=1
12、,b=2.(2)由(1)知,f(x)=e xlnx+ ex-1,从而 f(x)1 等价于 xlnxxe-x- .2x 2e设函数 g(x)=xlnx,则 g(x)=1+lnx.所以当 x 时,g(x)0.故 g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,从而 g(x)在(0,+)上的最小值为 g(0,1e) (1e,+ )=- .(1e) 1e设函数 h(x)=xe-x- ,则 h(x)=e-x(1-x).2e所以当 x(0,1)时,h(x)0;当 x(1,+)时,h(x)0 时,g(x)h(x),即 f(x)1.评析本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查等价转化思想及
13、逻辑推理能力.C 组 教师专用题组1.(2016 山东,10,5 分)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( )A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3答案 A 2.(2013 课标,21,12 分)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.(1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x-2 时,f(x)kg(x),求 k 的取值范围.解析 (1)由
14、已知得 f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而 f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而 a=4,b=2,c=2,d=2.9(2)由(1)知,f(x)=x 2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得 F(0)0,即 k1.令 F(x)=0,得 x1=-lnk,x2=-2.(i)若 1k0.即F(x)在(-2,x 1)上单调递减,在(x 1,+)上单调递增.故 F(x
15、)在-2,+)上的最小值为 F(x1).而 F(x1)=2x1+2- -4x1-2=-x1(x1+2)0.x21故当 x-2 时,F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立.(ii)若 k=e2,则 F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当 x-2 时,F(x)0,即 F(x)在(-2,+)上单调递增.而 F(-2)=0,故当 x-2 时,F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立.(iii)若 ke2,则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0),g(x)=bx2+2b-1.13(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,
16、b 的值;(2)当 a=1-2b 时,若函数 f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围;(3)当 a=1-2b=1 时,求函数 f(x)+g(x)在区间t,t+3上的最大值.解析 (1)由已知得 f(x)=x2-a,g(x)=2bx.因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f(1)=g(1),即 -a=b+2b-1,且 1-a=2b,13解得 a= ,b= .13 13(2)设 h(x)=f(x)+g(x),当 a=1-2b 时,h(x)= x3+ x2-ax-a,13 1-a2h(x)=x2+
17、(1-a)x-a=(x+1)(x-a),令 h(x)=0,得 x=-1 或 a(a0).当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x (-,-1) -1 (-1,a) a (a,+)h(x) + 0 - 0 +h(x) 极大值 极小值 所以函数 h(x)的单调递增区间为(-,-1),(a,+);单调递减区间为(-1,a),11因为 a0,所以 h(x)在区间(-2,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减,要使函数 h(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,则解得 00,h(0)1,h(x)在区间t,1)上单调递减,在区间1,t+3上单调递增,所以 h(x)在区间t,t+3上的
18、最大值为 h(t)与 h(t+3)中的较大者.由 h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,当-1t1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2,求实数 a 的取值范围.解析 (1)a=1 时,f(x)=x 2+x-lnx,f(x)=2x+1- = (x0),令 f(x)=0,得 x= ,1x(x+1)(2x-1)x 12x0 时,f(x)与 f(x)的变化情况如下表:x (0,12) 12 (12,+ )f(x) - 0 +f(x) 极小值 函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .(12,+ ) (0,12)(2)证明:g(x)=a 2x2-f(x)=lnx-ax,g(x)= -
19、a,x0,1xg(1)=1-a,直线 l 的斜率 kl=1-a.ll,且 l在 y 轴上的截距为 1,直线 l的方程为 y=(1-a)x+1.令 h(x)=g(x)-(1-a)x+1=lnx-x-1(x0),h(x)= -1= ,1x 1-xx当 x(0,1)时,h(x)0,当 x(1,+)时,h(x)0),无论 a 取何实数,函数 g(x)的图象恒在直线 l的下方.13(3)A(1,-a),Q(x 0,lnx0-ax0),k QA= = -a,lnx0-ax0+ax0-1 lnx0x0-1当 x01 时, -a1),则 r(x)= -(a+2),1xx1,00,r(x)在(1,+)上单调递增
20、,有 r(x)r(1)=0,不满足题意;当-20,当 x 时,r(x)r(1)=0,不满足题意;(1,1a+2)当 a-1 时,a+21,此时 r(x)0)有唯一实数解,求 m 的值.解析 (1)依题意,知 f(x)的定义域为(0,+),当 a=b= 时,f(x)=lnx- x2- x,12 14 12f(x)= - x- = ,1x12 12 -(x+2)(x-1)2x令 f(x)=0,得 x=1 或 x=-2(舍).当 00,此时 f(x)单调递增;当 x1 时,f(x)0).2x2-2mx-2mxm0,x0,设 g(x)=0,即 x2-mx-m=0 的两根分别为 x1,x2,x 1= 0,g(x)在(x 2,+)上单调递增;当 x=x2时,g(x 2)=0,g(x)取到最小值 g(x2).g(x)=0 有唯一解,g(x 2)=0.则 即g(x2)=0,g(x2)=0, x22-2mlnx2-2mx2=0,x22-mx2-m=0. 2mlnx 2+mx2-m=0.m0,2lnx 2+x2-1=0(*),设 h(x)=2lnx+x-1,x0,则 h(x)= +1,当 x0 时,h(x)0,h(x)在(0,+)上是增函数,2xh(x)=0 至多有一解.h(1)=0,方程(*)的解为 x2=1,即 =1,解得 m= .m+ m2+4m2 12
