1、18.2 空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2013 天津 ,17证明异面直线垂直求二面角的正弦值2012 天津 ,17求异面直线所成角的正切值证面面垂直、求线面角的正弦值空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2008 天津 ,5直线、平面位置关系的判定充分条件分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面
2、;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为 5 分,属于中档题.破考点【考点集训】考点 空间点、线、面的位置关系1. 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m,n,且 Am,A,则 m,n 的位置关系不可能是( )A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行答案 D 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线 BA1是异面直线的条数为( )2A.4 B.5 C.6 D.7答案 C 3.如图,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中
3、点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有( )A. B. C. D.答案 C 4.已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点 E 是 PB 的中点,则异面直线 AE 与 PD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.13 23 33 23答案 C 5.在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=2,直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60,E 为 PC 的中点,则异面直线 PA 与 BE 所成角的大小为 . 答案 45炼技法【方法集训】方法 1 点、线、面位置关系的判断方法1.(2014 辽宁,4,5 分)已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面.下列说法正确的是( )A.若
4、 m,n,则 mn B.若 m,n,则 mn C.若 m,mn,则 n D.若 m,mn,则 n答案 B 2.如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足AEEB=CFFB=21,CGGD=31,过 E、F、G 的平面交 AD 于 H,连接 EH.(1)求 AHHD;(2)求证:EH、FG、BD 三线共点.3解析 (1) = =2,EFAC,又 EF平面 ACD,AC平面 ACD,EF平面 ACD,AEEBCFFB又EF面 EFGH,面 EFGH面 ACD=GH,EFGH.而 EFAC,ACGH, = =3.AHHDCGGDAHHD=31.(2)证明:E
5、FGH,且 = , = ,EFGH,EFAC13GHAC14四边形 EFGH 为梯形,直线 EH,FG 必相交.设 EHFG=P,则 PEH,而 EH面 ABD,P面 ABD,同理,P面 BCD,而面 ABD面 BCD=BD,PBD.EH、FG、BD 三线共点.3.如图所示,已知 l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为 A,B,C,D,E,F.求证:四条直线 l1,l2,l3,l4共面.证明 证法一:A、C、E 不共线,它们确定一个平面 ,又 Al 1,Cl 1,l 1,同理,l 2,又 Bl 1,Dl 2,B,D,l 3,同理,l 4,故 l1,l2,l3,l4四条直
6、线共面.证法二:点 A、C、E 不共线,它们确定一个平面 ,又Al 1,Cl 1,4l 1,同理,l 2,又F、D、E 不共线,它们确定一个平面 .又 Dl 3,Fl 3,El 4,Fl 4,l 3,l 4.而不共线的三点 B、C、D 可确定一个平面,又 B、C、D 既在 内又在 内,故平面 与平面 重合.l 1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面 ,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面 与 使得四条直线在 内或在 内,然后再证明 与 重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法 2 异面直线所
7、成角的求法4.已知 P 是ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 MN=BC=4,PA=4 ,则异面3直线 PA 与 MN 所成角的大小是( )A.30 B.45 C.60 D.90答案 A 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 BC 的中点,F 为 B1C1的中点,则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切值为( )A. B. C. D.52 23 255 53答案 C 过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2008 天津,5,5 分)设 a,b 是两条直线, 是两个平面,则 ab 的一个充分条件是( )A.a,b, B.a,b, C.a,b
8、, D.a,b,答案 C 52.(2013 天津,17,13 分)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA 1=AB=2,E 为棱 AA1的中点.(1)证明 B1C1CE;(2)求二面角 B1-CE-C1的正弦值;(3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 ,求线段 AM 的长.26解析 解法一:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)证明:易得 =(1
9、,0,-1), =(-1,1,-1),B1C1 CE于是 =0,所以 B1C1CE.B1C1 CE(2) =(1,-2,-1).B1C设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z),则 即 消去 x,得 y+2z=0,mB1C=0,mCE=0, x-2y-z=0,-x+y-z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m=(-3,-2,1).由(1)知 B1C1CE,又 CC1B 1C1,可得 B1C1平面 CEC1,故 =(1,0,-1)为平面 CEC1的一个法向量.B1C1于是 cos= = =- ,B1C1mB1C1|m|B1C1| -4142 2776从而 sin= .B1C1217所以二
10、面角 B1-CE-C1的正弦值为 .217(3) =(0,1,0), =(1,1,1).设 = =(,),01,有 = + =(,+1,).AE EC1 EM EC1 AMAEEM可取 =(0,0,2)为平面 ADD1A1的一个法向量.AB设 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角,则 sin=|cos|=AMAB|AMAB|AM|AB|= = .2 2+( +1)2+ 22 3 2+2 +1于是 = ,3 2+2 +1 26解得 = ,所以 AM= .13 2解法二:(1)证明:因为侧棱 CC1底面 A1B1C1D1,B1C1平面 A1B1C1D1,所以 CC1B 1C1.经计算可得 B
11、1E= ,B1C1= ,EC1= ,从而 B1E2=B1 +E ,所以在B 1EC1中,B 1C1C 1E,又 CC1,C1E5 2 3 C21 C21平面 CC1E,CC1C 1E=C1,所以 B1C1平面 CC1E,又 CE平面 CC1E,故 B1C1CE.(2)过 B1作 B1GCE 于点 G,连接 C1G.由(1)知 B1C1CE,故 CE平面 B1C1G,得 CEC 1G,所以B 1GC1为二面角 B1-CE-C1的平面角.在CC 1E 中,由 CE=C1E= ,CC1=2,可3得 C1G= .在 RtB 1C1G 中,B 1G= ,所以 sinB 1GC1= ,即二面角 B1-CE
12、-C1的正弦值为263 423 217.217(3)连接 D1E,过点 M 作 MHED 1于点 H,可得 MH平面 ADD1A1,连接 AH,AM,则MAH 为直线 AM与平面 ADD1A1所成的角.设 AM=x,从而在 RtAHM 中,有 MH= x,AH= x.在 RtC 1D1E 中,26 346C1D1=1,ED1= ,得 EH= MH= x.在AEH 中,AEH=135,AE=1,由 AH2=AE2+EH2-2 2132AEEHcos135,得 x2=1+ x2+ x,整理得 5x2-2 x-6=0,解得 x= .所以线段 AM 的长1718 19 23 2 2为 .27评析本题主
13、要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.(2012 天津,17,13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,ADPD,BC=1,PC=2 ,PD=CD=2.3(1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值;(2)证明平面 PDC平面 ABCD;(3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.解析 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD=BC 且 ADBC,故PAD(或其补角)为异面直线 PA 与 BC
14、所成的角.又因为 ADPD,所以 tanPAD= =2.PDAD所以,异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2.(2)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 ADCD,又由于 ADPD,CDPD=D,因此 AD平面 PDC,而 AD平面 ABCD,所以平面 PDC平面 ABCD.(3)在平面 PDC 内,过点 P 作 PECD 交直线 CD 于点 E,连接 EB.由于平面 PDC平面 ABCD,而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线,故 PE平面 ABCD.由此得PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.在PDC 中,PD=CD=2,PC=2 ,故PCD=30.3在
15、 RtPEC 中,PE=PCsin30= .3由 ADBC,AD平面 PDC,得 BC平面 PDC,因此 BCPC.在 RtPCB 中,PB= = .PC2+BC2 13在 RtPEB 中,sinPBE= = .PEPB39138所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .3913评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018 课标文,9,5 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱 CC1的中点,则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值为(
16、)A. B. C. D.22 32 52 72答案 C 2.(2016 浙江文,2,5 分)已知互相垂直的平面 , 交于直线 l.若直线 m,n 满足m,n,则( )A.ml B.mn C.nl D.mn答案 C 3.(2015 浙江文,4,5 分)设 , 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且l,m .( )A.若 l,则 B.若 ,则 lm C.若 l,则 D.若 ,则 lm答案 A 4.(2015 广东文,6,5 分)若直线 l1和 l2是异面直线,l 1在平面 内,l 2在平面 内,l 是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是( )A.l 与 l1,l2都不相交B.l 与 l
17、1,l2都相交 C.l 至多与 l1,l2中的一条相交D.l 至少与 l1,l2中的一条相交答案 D 5.(2014 广东文,9,5 分)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足l1l 2,l2l 3,l3l 4,则下列结论一定正确的是( )A.l1l 4B.l1l 4 C.l 1与 l4既不垂直也不平行9D.l1与 l4的位置关系不确定答案 D 6.(2015 四川文,18,12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论
18、;(3)证明:直线 DF平面 BEG.解析 (1)点 F,G,H 的位置如图所示.(2)平面 BEG平面 ACH.证明如下:因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BCFG,BC=FG,又 FGEH,FG=EH,所以 BCEH,BC=EH,故 BCHE 为平行四边形.所以 BECH.又 CH平面 ACH,BE平面 ACH,所以 BE平面 ACH.同理,BG平面 ACH.又 BEBG=B,所以平面 BEG平面 ACH.(3)证明:连接 FH.因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH平面 EFGH,因为 EG平面 EFGH,所以 DHEG.又 EGFH,DHFH=H,所以 EG平面 BFH
19、D.又 DF平面 BFHD,所以 DFEG.同理,DFBG.又 EGBG=G,10所以 DF平面 BEG.评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.7.(2014 课标文,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E为 PD 的中点.(1)证明:PB平面 AEC;(2)设 AP=1,AD= ,三棱锥 P-ABD 的体积 V= ,求 A 到平面 PBC 的距离.334解析 (1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中
20、点.又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB.EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.(2)V= PASABD = PAABAD= AB.13 16 36由 V= ,可得 AB= .34 32作 AHPB 交 PB 于 H.由题设知 BC平面 PAB,所以 BCAH,又 BCBP=B,故 AH平面 PBC.又 AH= = ,PAABPB31313所以 A 到平面 PBC 的距离为 .31313评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.C 组 教师专用题组11(2014 陕西文,17,12 分)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行
21、于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.(1)求四面体 ABCD 的体积;(2)证明:四边形 EFGH 是矩形.解析 (1)由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,AD平面 BDC,四面体 ABCD 的体积 V= 221= .13 12 23(2)证明:BC平面 EFGH,平面 EFGH平面 BDC=FG,平面 EFGH平面 ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理,EFAD,HGAD,EFHG,四边形 EFGH 是平行四边形.又AD平面 BDC,ADBC,EFFG,四边形 EFGH 是矩形.【三年
22、模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.(2019 届天津七校联考期中,4)已知 m,n 是两条不同的直线, 是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若 ,则 B.若 mn,m,n,则 C.若 mn,m,n,则 D.若 mn,m,则 n答案 C 122.(2018 天津杨村一中热身训练,4)已知命题 p:“直线 l 垂直于平面 内的无数条直线”的充要条件是“l”;命题 q:若平面 平面 ,直线 a,则“a”是“a 平行于”的充分不必要条件,则正确命题是( )A.pq B.(p)q C.(p)(q) D.p(q)答案 B 3.(2018 天津南开中学第三次月考,5)若 m、n
23、 是两条不同的直线,、 是三个不同的平面,则下列命题中真命题是( )A.若 m,m,则 B.若 =m,=n,mn,则 C.若 m,则 mD.若 ,则 答案 A 4.(2019 届天津七校联考期中,8)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为线段 A1B 上的动点,则下列结论正确的有( )三棱锥 M-DCC1的体积为定值;DC 1D 1M;AMD 1的最大值为 90;AM+MD 1的最小值为 2.A. B. C. D.答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 5 分)5.(2019 届天津新华中学期中,10)已知 m,n 是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是
24、. 若 , 垂直于同一平面,则 与 平行若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行若 , ,则在 内 与 平行的直线不平行 不存在 若 m,n ,则 m 与 n 垂直于同一平面不平行 不可能 答案 三、解答题(共 75 分)136.(2017 天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC=BC= AA1,D 是棱12AA1的中点,DC 1BD.(1)证明:DC 1BC;(2)求二面角 A1-BD-C1的大小.解析 (1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于 D 为 AA1的中点,故 DC=DC1.又 AC= AA1,所以 D +DC2=C ,所以 DC
25、1DC.而12 C21 C21DC1BD,DCBD=D,所以 DC1平面 BCD.又 BC平面 BCD,故 DC1BC.(2)由(1)知 BCDC 1,且 BCCC 1,且 DC1CC 1=C1,则 BC平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1两两相互垂直.以 C 为坐标原点, 为 x 轴的正方向, 为 y 轴的正方向, 为 z 轴的正方向,| |为单位长,建CA CB CC1 CA立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2),则 =(0,0,-1), =(1,-1,1), =(-1,0,1).A1D BD DC1
26、设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,则 即 令 x=1,则 y=1,因此可取 n=(1,1,0).nBD=0,nA1D=0, x-y+z=0,z=0, 14同理,设 m=(a,b,c)是平面 C1BD 的法向量,则 即 令 a=1,则mBD=0,mDC1=0, a-b+c=0,-a+c=0,c=1,b=2,故可取 m=(1,2,1).从而 cos= = .nm|n|m| 32又易知二面角 A1-BD-C1为锐二面角,故二面角 A1-BD-C1的大小为 30.7.(2017 天津南开一模,17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA=PB
27、,PAPB,F 为 CP 上的点,且 BF平面 PAC.(1)求证:平面 PAB平面 ABCD;(2)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值;(3)在棱 PD 上是否存在一点 G,使 GF平面 PAB?若存在,求 PG 的长;若不存在,说明理由.解析 (1)证明:BF平面 PAC,PA平面 PAC,BFPA,又 PAPB,PBBF=B,PA平面 PBC,又 BC平面 PBC,PABC,又底面 ABCD 是正方形,ABBC,又 PAAB=A,BC平面 PAB,BC平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD.(2)作 PEAB,垂足为 E,连接 EC,由(1)知平面 PAB平面 ABCD,
28、又平面 PAB平面ABCD=AB,PE平面 ABCD,则PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成角.PA=PB,PAPB,AB=2,PE=1,PB= ,2在 RtPBC 中,由勾股定理得 PC= ,6在 RtPEC 中,sinPCE= = ,PEPC66直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .6615(3)作 FGCD,交 PD 于 G,FGCD,ABCD,FGAB.又FG平面 PAB,AB平面 PAB,FG平面 PAB,BF平面 PAC,PC平面 PAC,BFPC.在 RtPBC 中,易得 BF= .23 3在 RtPBF 中,由勾股定理可得 PF= .63又PC=PD,PG=
29、 ,63即棱 PD 上存在一点 G,使 GF平面 PAB,且 PG= .63解题分析 本题考查线面、面面垂直的判定定理,考查线面角,考查线面平行,属于中档题.8.(2017 天津南开二模,17)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,BB 1平面 ABC,BAC=90,AC=AB=AA1,E 是 BC 的中点.(1)求证:AEB 1C;(2)求异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小;(3)若 G 为 C1C 的中点,求二面角 C-AG-E 的正切值.解析 (1)证明:BB 1平面 ABC,AE平面 ABC,AEBB 1,由 AB=AC,E 为 BC 的中点得 AEBC,BCBB 1=B,AE
30、平面 BB1C1C,16又 B1C平面 BB1C1C,AEB 1C.(2)取 B1C1的中点 E1,连接 A1E1,E1C,则 AEA 1E1,E 1A1C 或其补角是异面直线 AE 与 A1C 所成的角.设 AC=AB=AA1=2,则由BAC=90,可得 A1E1=AE= ,A1C=2 ,E1C1=EC= BC= ,2 212 2E 1C= = ,E1C21+C1C2 6在E 1A1C 中,由余弦定理的推论得 cosE 1A1C= = ,2+8-6222212异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小为 . 3(3)设 P 是 AC 的中点,过点 P 作 PQAG 于 Q,连接 EP,EQ,则
31、 EPAB,EPAC,又平面 ABC平面 ACC1A1,且平面 ACC1A1平面 ABC=AC,EP平面 ABC,EP平面 ACC1A1,而 PQAG,由三垂线定理得 EQAG.PQE 是二面角 C-AG-E 的平面角,设 EP=1,则 AP=1, = ,PQ= ,得 tanPQE= = .PQCGAPAG 15 PEPQ5所以二面角 C-AG-E 的正切值是 .5解题分析 本题是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查了异面直线的夹角,线线垂直的判定,二面角等知识点,难度适中,熟练掌握线面垂直,线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角与二面角的定义,是解答本题的关键.9.(2018 天津实验
32、中学热身训练,17)如图,在侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB= ,AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1的交点.2(1)证明:EFA 1D1;(2)证明:BA 1平面 B1C1EF;17(3)求 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值.解析 (1)证明:因为 C1B1A 1D1,C1B1平面 ADD1A1,A1D1平面 ADD1A1,所以 C1B1平面 A1D1DA.又因为平面 B1C1EF平面 A1D1DA=EF,所以 C1B1EF,所以 A1D1EF.(2)证明:因为 BB1平面 A1B
33、1C1D1,B1C1平面 A1B1C1D1,所以 BB1B 1C1.又因为 B1C1B 1A1,BB1B 1A1=B1,所以 B1C1平面 ABB1A1,又 BA1平面 ABB1A1,所以 B1C1BA 1.在矩形 ABB1A1中,F 是 AA1的中点,所以 tanA 1B1F=tanAA 1B= ,即A 1B1F=AA 1B,22故 BA1B 1F,又 B1FB 1C1=B1,所以 BA1平面 B1C1EF.(3)设 BA1与 B1F 的交点为 H,连接 C1H.由(2)知 BA1平面 B1C1EF,所以BC 1H 是 BC1与平面 B1C1EF 所成的角.在矩形 AA1B1B 中,AB=
34、,AA1=2,易得 BH= .246在 RtBHC 1中,BC 1=2 ,BH= ,所以 sinBC 1H= = .546 BHBC1 3015所以 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 .301510.(2018 天津河西二模,17)如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,ACD=90,AB=1,AD=2,四边形 ABEF 为正方形,平面 ABEF平面 ABCD,P 为 DF 的中点,ANCF,垂足为 N.18(1)求证:AN平面 CDF;(2)求异面直线 BF 与 PC 所成角的正切值;(3)求三棱锥 B-CEF 的体积.解析 (1)证明:四边形 ABEF 为正方形,A
35、BAF,四边形 ABCD 为平行四边形,ACD=90,CDAC,ABCD,CDAF,AFAC=A,CD平面 ACF,AN平面 AFC,CDAN,ANCF,CFCD=C,AN平面 CDF.(2)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 AP、PO.四边形 ABCD 为平行四边形,ACD=90,AB=1,AD=2,AC= = = ,AO=CO= ,AD2-CD2 4-1 332平面 ABEF平面 ABCD,AF平面 ABCD,又 AD平面 ABCD,AFAD,四边形 ABEF 为正方形,AB=1,AF=AB=1,P 为 DF 的中点,AP= FD.12由(1)知 CD平面 ACF,CDCF,又 P 为
36、 DF 的中点,CP= FD,12AP=CP= FD= = = ,12 12 AF2+AD212 1+4 52P 为 DF 的中点,O 是 BD 的中点,BFPO,CPO 或其补角是异面直线 BF 与 PC 所成的角,sinCPO= = = ,COPC3252 15519cosCPO= ,tanCPO= ,105 62异面直线 BF 与 PC 所成角的正切值为 .62(3)由(1)知 CDAB,且ACD=90,CAB=90,即 ABAC,由(2)知 AF平面 ABCD,AFAC,又 AFAB=A,AC平面 ABF,又由(2)知 CA= ,3三棱锥 B-CEF 的体积 VB-CEF=VC-BEF
37、= SBEF CA= 11 = .13 13 12 3 3611.(2017 天津耀华中学一模,17)如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中,E,F,P 分别为AB,AC,BC 上的点,且满足 AE=FC=CP=1.将AEF 沿 EF 折起到A 1EF 的位置,使平面 A1EF平面 EFB,连接 A1B,A1P,Q 为 A1B 上一点,连接 PQ,CQ.(如图 2)(1)若 Q 为 A1B 中点,求证:PQ平面 A1EF;(2)求证:A 1EEP;(3)求 CQ 与平面 A1BE 所成角的正切值.解析 (1)证明:取 A1E 的中点 M,连接 QM,MF,在A 1BE 中,Q、M 分别
38、为 A1B、A 1E 的中点,QMBE,且 QM= BE.12在题图 1 中, = = ,CFFACPPB12PFBE,且 PF= BE,12QMPF 且 QM=PF,20四边形 PQMF 为平行四边形.PQFM.又FM平面 A1EF,且 PQ平面 A1EF,PQ平面 A1EF.(2)证明:如图,取 BE 中点 D,连接 DF,AE=CF=1,DE=1,AF=AD=2.又A=60,ADF 是正三角形.AE=ED=1,EFAD,在题图 2 中有 A1EEF.平面 A1EF平面 EFB,平面 A1EF平面 EFB=EF,A 1E平面 EFB,又 EP平面 EFB,A 1EEP.(3)作 CNBE
39、于 N,连接 QN,则 CNEF.EFA 1E,EFBE,A 1EBE=E,EF平面 A1BE.因此,CN平面 A1BE,即 QN 是 CQ 在平面 A1BE 内的射影.CQN 为 CQ 与平面 A1BE 所成的角.由计算可得 CN= ,BQ= A1B= ,cosA 1BE= .332 12 52 25QN 2=BQ2+BN2-2BQBNcosA 1BE= .12QN= .2221tanCQN= = = .CNQN33222362即 CQ 与平面 A1BE 所成角的正切值为 .362解题分析 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,考查线面角的求法,正确找出 CQ 与平面 A1BE 所成的角是解答该题的关键.
