1、18.4 直线、平面垂直的判定与性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017 天津文,17直线与平面垂直的判定与性质的应用异面直线的夹角、线面角2018 天津文,17平面与平面垂直的性质的应用异面直线的夹角、线面角直线、平面垂直的判定与性质1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2013 天津文,17直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定与性质的应用线面平行的判定、线面角分析解读 从天津高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质
2、是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中直线、平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化,属中档题.破考点【考点集训】考点 直线、平面垂直的判定与性质1.(2013 北京文,8,5 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 为对角线 BD1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( )2A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个答案 B 2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA底面 ABCD,PA=AC
3、.过点 A 的平面与棱PB,PC,PD 分别交于点 E,F,G(E,F,G 三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面 PAB平面 PBC;(2)若 PC平面 AEFG,求 的值;PFPC(3)直线 AE 是否能与平面 PCD 平行?请说明你的理由.解析 (1)证明:因为 PA平面 ABCD,所以 PABC.因为四边形 ABCD 为正方形,所以 ABBC,因为 ABPA=A,所以 BC平面 PAB.因为 BC平面 PBC,所以平面 PAB平面 PBC.(2)连接 AF.因为 PC平面 AEFG,所以 PCAF.又因为 PA=AC,3所以 F 是 PC 的中点,所以 = .PFPC12(3)直线
4、AE 与平面 PCD 不可能平行.理由如下:假设 AE平面 PCD.因为 ABCD,AB平面 PCD,CD平面 PCD,所以 AB平面 PCD.而 AE,AB平面 PAB,且 ABAE=A,所以平面 PAB平面 PCD,这显然与平面 PAB 与平面 PCD 交于点 P 相矛盾,所以假设不成立,即直线 AE 与平面 PCD 不可能平行.思路分析 (1)根据面面垂直的判定定理易证.(2)根据线面垂直的性质及等腰三角形的性质可求 .PFPC(3)反证法:假设 AE平面 PCD,易证 AB平面 PCD,进而推出平面 PAB平面 PCD,与已知相矛盾,从而证得结论.解后反思 本题考查了空间中的垂直与平行
5、关系,熟练掌握相关定理是解题的关键.3.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PBC 是等腰三角形,且 PB=PC=3.四边形 ABCD 是直角梯形,ABDC,ADDC,AB=5,AD=4,DC=3.(1)求证:AB平面 PDC;(2)当平面 PBC平面 ABCD 时,求四棱锥 P-ABCD 的体积;(3)请在图中所给的五个点 P,A,B,C,D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线 BC 垂直,并给出证明.解析 (1)证明:因为 ABDC,且 AB平面 PDC,DC平面 PDC,所以 AB平面 PDC.(2)取 BC 的中点 F,连接 PF.因为 PB=PC,所以 PFBC,4因为平面 PB
6、C平面 ABCD,平面 PBC平面 ABCD=BC,所以 PF平面 ABCD.在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CHAB 于点 H.因为 ABDC,且 ADDC,AD=4,DC=3,AB=5,所以 CHAD,所以四边形 ADCH 为平行四边形,所以 AD=CH,DC=AH,所以 BC= =2 ,且 S 梯形 ABCD= (3+5)4=16.BH2+HC2 512又因为 PB=3,BF= ,所以 PF=2.5所以 VP-ABCD= S 梯形 ABCDPF= 162= .13 13 323(3)PABC.证明如下:连接 AF,AC.在直角梯形 ABCD 中,因为 ABDC,且 ADDC,AD=
7、4,CD=3,所以 AC=5.因为 AB=5,点 F 为 BC 的中点,所以 AFBC.又因为 BCPF,AFPF=F,所以 BC平面 PAF.又因为 PA平面 PAF,所以 PABC.炼技法【方法集训】方法 1 证明线面垂直的方法1.(2014 浙江,6,5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面( )A.若 mn,n ,则 m B.若 m ,则 m C.若 m,n,n,则 m D.若 mn,n,则 m答案 C 52.如图,在三棱锥 D-ABC 中,已知BCD 是正三角形,AB平面 BCD,AB=BC=a,E 为 BC 的中点,F 在棱 AC 上,且 AF=3FC.(1)求三棱
8、锥 D-ABC 的体积;(2)求证:AC平面 DEF;(3)若 M 为 DB 的中点,N 在棱 AC 上,且 CN= CA,求证:MN平面 DEF.38解析 (1)因为BCD 是正三角形,且 AB=BC=a,所以 SBCD = a2.34又 AB平面 BCD,所以 VD-ABC=VA-BCD= SBCD AB= a2a= a3.13 13 34 312(2)证明:在底面 ABC 中,取 AC 的中点 H,连接 BH,因为 AB=BC,所以 BHAC.因为 AF=3FC,所以 F 为 CH 的中点.又因为 E 为 BC 的中点,所以 EFBH,则 EFAC,因为 AB平面 BCD,AB平面 AB
9、C,所以平面 ABC平面 BCD.因为BCD 是正三角形,E 为 BC 的中点.所以 DEBC,则 DE平面 ABC.因为 AC平面 ABC,所以 DEAC.又 DEEF=E,且 DE,EF平面 DEF,所以 AC平面 DEF.6(3)证明:当 CN= CA 时,连接 CM 交 DE 于 O,连接 OF.38因为 E 为 BC 的中点,M 为 DB 的中点,所以 O 为BCD 的重心,则 CO= CM.23因为 AF=3FC,CN= CA.38所以 CF= CN,23所以 = = ,所以 MNOF.COCMCFCN23又 OF平面 DEF,MN平面 DEF,所以 MN平面 DEF.思路分析 (
10、1)由 VD-ABC=VA-BCD求解即可;(2)在底面 ABC 中,取 AC 的中点 H,连接 BH,由题意证明 EFAC,利用面面垂直的性质定理证明 DE平面 ABC,则可得 DEAC,即可证得结论;(3)连接 CM,OF,设 CMDE=O,易证 CO= CM,CF= CN,则 MNOF,从而证得结论.23 23方法点睛 本题主要考查空间几何体的体积,直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质以及直线与平面平行的判定,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.方法 2 证明面面垂直的方法3.(2016 北京文,18,14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC平面 ABCD,ABDC
11、,DCAC.(1)求证:DC平面 PAC;(2)求证:平面 PAB平面 PAC;(3)设点 E 为 AB 的中点.在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA平面 CEF?说明理由.解析 (1)证明:因为 PC平面 ABCD,DC平面 ABCD,所以 PCDC.(2 分)7又因为 DCAC,ACPC=C,AC,PC平面 PAC,所以 DC平面 PAC.(4 分)(2)证明:因为 ABDC,DCAC,所以 ABAC.(6 分)因为 PC平面 ABCD,AB平面 ABCD,所以 PCAB.(7 分)又 ACPC=C,AC,PC平面 PAC,所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB,所以平面 PAB
12、平面 PAC.(9 分)(3)棱 PB 上存在点 F,使得 PA平面 CEF.(10 分)理由如下:如图,取 PB 的中点 F,连接 EF,CE,CF.又因为 E 为 AB 的中点,所以 EFPA.(13 分)又因为 PA平面 CEF,EF平面 CEF,所以 PA平面 CEF.(14 分)思路分析 (1)证出 PCDC,从而证得 DC平面 PAC.(2)先证 ABAC,PCAB,从而证出 AB平面 PAC,进而由面面垂直的判定定理可证得结论.(3)此问为探究性问题,求解时可构造平面 CEF,使得 PA 平行于平面 CEF 内的一条直线,由于点 E 为 AB 的中点,所以可取 PB 的中点,构造
13、中位线.4.已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA平面 ABCD,PA=AB=2,E,F 分别是 PB,PD的中点.(1)求证:PB平面 FAC;(2)求三棱锥 P-EAD 的体积;8(3)求证:平面 EAD平面 FAC.解析 (1)证明:连接 BD,与 AC 交于点 O,连接 OF,在PBD 中,O,F 分别是 BD,PD 的中点,所以 OFPB,又因为 OF平面 FAC,PB平面 FAC,所以 PB平面 FAC.(2)解法一:因为 PA平面 ABCD,AB,AD平面 ABCD,所以 PAAB,PAAD,又因为 ABAD,PAAB=A,PA,AB平面 PAB,所以 A
14、D平面 PAB,即 AD 为三棱锥 D-PAE 的高,在 RtPAB 中,PA=AB=2,E 为 PB 的中点,所以 SPAE =1,又底面 ABCD 为正方形,所以 AD=AB=2,所以 VP-EAD=VD-PAE= SPAE AD= .13 23解法二:因为 PA平面 ABCD,所以 PA 为四棱锥 P-ABCD 的高.因为 PA=AB=2,底面 ABCD 是正方形,所以 VP-ABD= SABD PA= 222= ,13 13 12 43因为 E 为 PB 的中点,所以 SPAE =SABE ,所以 VD-PAE=VD-ABE= VD-PAB,12所以 VP-EAD= VP-ABD= .
15、12 239(3)证明:因为 AD平面 PAB,PB平面 PAB,所以 ADPB,在等腰直角PAB 中,AEPB,又 AEAD=A,AE,AD平面 EAD,所以 PB平面 EAD,又 OFPB,所以 OF平面 EAD,又 OF平面 FAC,所以平面 EAD平面 FAC.方法 3 翻折问题的处理方法5.(2015 浙江,8,5 分)如图,已知ABC,D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将ACD 翻折成ACD,所成二面角 A-CD-B 的平面角为 ,则 ( )A.ADB B.ADB C.ACB D.ACB答案 B 6.如图所示,已知直角ABC,其中ABC=90,D,E 分别是 AB,AC 边上的中
16、点,现沿 DE 将ADE 翻折,使得 A 与平面 ABC 外一点 P 重合,得到如图所示的几何体.(1)证明:平面 PBD平面 BCED;(2)记平面 PDE 与平面 PBC 的交线为 l,探究:直线 l 与 BC 是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.解析 (1)证明:D,E 分别为边 AB,AC 的中点,DEBC,ABC=90,ABBC,BDDE,PDDE,PDBD=D,PD,BD平面 PBD,10DE平面 PBD,DE平面 BCED,平面 PBD平面 BCED.(2)平行.证明如下:DEBC,DE平面 PDE,BC平面 PDE,BC平面 PDE,BC平面 PBC,平面 PD
17、E平面 PBC=l,lBC.过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2018 天津文,17,13 分)如图,在四面体 ABCD 中,ABC 是等边三角形,平面 ABC平面ABD,点 M 为棱 AB 的中点,AB=2,AD=2 ,BAD=90.3(1)求证:ADBC;(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值;(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.解析 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.(1)证明:由平面 ABC平面 ABD,平面 ABC平面 ABD=AB,ADAB,可得 AD
18、平面 ABC,故ADBC.(2)取棱 AC 的中点 N,连接 MN,ND.又因为 M 为棱 AB 的中点,故 MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角.在 RtDAM 中,AM=1,故 DM= = .AD2+AM2 13因为 AD平面 ABC,故 ADAC.在 RtDAN 中,AN=1,故 DN= = .AD2+AN2 1311在等腰三角形 DMN 中,MN=1,可得 cosDMN= = .12MNDM1326所以,异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 .1326(3)连接 CM.因为ABC 为等边三角形,M 为边 AB 的中点,故 CMAB,CM= .3又因
19、为平面 ABC平面 ABD,而 CM平面 ABC,故 CM平面 ABD.所以,CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角.在 RtCAD 中,CD= =4.AC2+AD2在 RtCMD 中,sinCDM= = .CMCD34所以,直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 .342.(2017 天津文,17,13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值;(2)求证:PD平面 PBC;(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.解析 本题主要考查两条异面直线所
20、成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查学生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.(1)如图,由 ADBC,知DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角.因为 AD平面 PDC,所以 ADPD.在 RtPDA 中,由题意得 AP= = ,故 cosDAP= = .所以,异面AD2+PD2 5ADAP55直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .55(2)证明:因为 AD平面 PDC,直线 PD平面 PDC,所以 ADPD.又因为 BCAD,所以 PDBC,又 PDPB,BCPB=B,BC,PB平面 PBC,12所以 PD平面 PBC.(3)如图,过点 D 作
21、 AB 的平行线交 BC 于点 F,连接 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC所成的角.因为 PD平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影,所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角.由于 ADBC,DFAB,故 BF=AD=1,由已知,得 CF=BC-BF=2.又 ADDC,故 BCDC,在 RtDCF 中,DF= =2 ,CD2+CF2 5在 RtDPF 中,可得 sinDFP= = .PDDF55所以,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .55方法点拨 1.求异面直线所成角的步骤:(1)作:通过作平行线得到相交直线;(2)
22、证:证明所作角为异面直线所成的角(或其补角);(3)求:解三角形,求出所作的角.如果求得的角是锐角或直角,则它就是所求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角为所求的角.2.求直线与平面所成角的方法:(1)定义法:关键是找出斜线在平面内的射影;(2)公式法:sin= (其中 为直线与平面所成角,h 为斜线上一点到平面的距离,l 为该点到斜足的距hl离).3.(2013 天津文,17,13 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 A1A底面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1的中点.(1)证明:EF平面 A1CD;(2)证明:平面 A1CD平面 A1ABB1;
23、(3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.13解析 (1)证明:如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACA 1C1,且 AC=A1C1,连接 ED,在ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= AC 且 DEAC,又因为 F 为 A1C1的中点,可得 A1F=DE,12且 A1FDE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EFDA 1.又 EF平面 A1CD,DA1平面 A1CD,所以 EF平面 A1CD.(2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 是 AB 的中点,故 CDAB,又由于侧棱 A1A底面ABC,CD平面 ABC,所以 AA1CD,又
24、 A1AAB=A,因此 CD平面 A1ABB1,而 CD平面 A1CD,所以平面 A1CD平面 A1ABB1.(3)在平面 A1ABB1内,过点 B 作 BGA 1D 交直线 A1D 于点 G,连接 CG.由于平面 A1CD平面 A1ABB1,而直线 A1D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1的交线,故 BG平面 A1CD.由此得BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角.设棱长为 a,可得 A1D= ,由A 1ADBGD,易得 BG= .5a2 5a5在 RtBGC 中,sinBCG= = .BGBC55所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 .55B 组 统一命题、省
25、(区、市)卷题组考点 直线、平面垂直的判定与性质1.(2018 课标文,19,12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC2的中点.(1)证明:PO平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC=2MB,求点 C 到平面 POM 的距离.14解析 (1)证明:因为 AP=PC=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=2 .3连接 OB,因为 AB=BC= AC,22所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB= AC=2.12由 OP2+OB2=PB2知,OPOB.由 OPOB,OPAC 且 OBAC=O 知
26、 OP平面 ABC.(2)作 CHOM,垂足为 H.由(1)可得 OPCH,又 OMOP=O,所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.由题设可知 OC= AC=2,CM= BC= ,ACB=45.12 23 423所以 OM= ,CH= = .253 OCMCsinOCMOM 455所以点 C 到平面 POM 的距离为 .455解题关键 认真分析三棱锥各侧面和底面三角形的特殊性,利用线面垂直的判定方法及等积法是解题的关键.2.(2017 山东,18,12 分)由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形 ABCD
27、 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A 1E平面 ABCD.(1)证明:A 1O平面 B1CD1;(2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM平面 B1CD1.15证明 本题考查线面平行与面面垂直.(1)取 B1D1的中点 O1,连接 CO1,A1O1,由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以 A1O1OC,A 1O1=OC,因此四边形 A1OCO1为平行四边形,所以 A1OO 1C.又 O1C平面 B1CD1,A1O平面 B1CD1,所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 ACBD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点,所以 EMBD,又 A1
28、E平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 A1EBD,因为 B1D1BD,所以 EMB 1D1,A1EB 1D1,又 A1E,EM平面 A1EM,A1EEM=E,所以 B1D1平面 A1EM,又 B1D1平面 B1CD1,所以平面 A1EM平面 B1CD1.方法总结 证明面面垂直的方法:1.面面垂直的定义;2.面面垂直的判定定理(a,a ).易错警示 ab,a/b.3.(2017 江苏,15,14 分)如图,在三棱锥 A-BCD 中,ABAD,BCBD,平面 ABD平面 BCD,点E,F(E 与 A,D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EFAD.求证:(1)EF平面 ABC;(2)AD
29、AC.16证明 (1)在平面 ABD 内,因为 ABAD,EFAD,所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=BD,BC平面 BCD,BCBD,所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD,所以 BCAD.又 ABAD,BCAB=B,AB平面 ABC,BC平面 ABC,所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC,所以 ADAC.方法总结 立体几何中证明线线垂直的一般思路:(1)利用两平行直线垂直于同一条直线(ab,acbc);(2)线面垂直的性质(a,b ab).4.(2014 湖北
30、,20,13 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线 BC1平面 EFPQ;(2)直线 AC1平面 PQMN.证明 (1)连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1是正方体,知 AD1BC 1,因为 F,P 分别是 AD,DD1的中点,所以 FPAD 1.从而 BC1FP.又 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.17(2)连接 AC,BD,则 ACBD.由 CC1平面 ABCD,BD平面 ABCD,可得 CC1BD.又 ACCC 1=C,所
31、以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1,所以 BDAC 1.因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1的中点,所以 MNBD,从而 MNAC 1.同理可证 PNAC 1.又 PNMN=N,PN,MN平面 PQMN,所以直线 AC1平面 PQMN.评析本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质,考查学生的空间想象能力.5.(2014 重庆,20,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= . 3 12(1)证明:BC平面 POM;(2)若 MPAP,求四棱锥 P-ABMO 的体积.解析 (1)
32、证明:连接 OB,因为 ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,所以 AOOB.因为BAD= ,所以 OB=ABsinOAB=2sin =1, 3 6又因为 BM= ,且OBM= ,所以在OBM 中,OM 2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=1 2+ -12 3 (12)221 cos = .所以 OB2=OM2+BM2,故 OMBM.12 334又 PO底面 ABCD,所以 POBC.从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM,PO 都垂直,所以 BC平面 POM.(2)由(1)可得,OA=ABcosOAB=2cos = . 6 3设 PO=a,由 PO底面 ABCD 知,POA
33、为直角三角形,18故 PA2=PO2+OA2=a2+3.又POM 也是直角三角形,故 PM2=PO2+OM2=a2+ .34连接 AM,在ABM 中,AM 2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=2 2+ -22 cos = .(12)2 12 23 214由于 MPAP,故APM 为直角三角形,则 PA2+PM2=AM2,即 a2+3+a2+ = ,得 a= 或 a=- (舍去),即 PO= .34214 32 32 32所以 S 四边形 ABMO=SAOB +SOMB = AOOB+ BMOM= 1+ = .12 12 12 3 12 12 32 538所以 VP-ABMO= S 四边
34、形 ABMOPO= = .13 13 538 32 516评析本题考查线面垂直的证明以及空间几何体体积的计算,在证明直线与平面垂直时,打破以往单纯的几何逻辑推理,将余弦定理、勾股定理巧妙融合,体现了知识的交汇性.C 组 教师专用题组(2015 福建,20,12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O所在的平面,且 PO=OB=1.(1)若 D 为线段 AC 的中点,求证:AC平面 PDO;(2)求三棱锥 P-ABC 体积的最大值;(3)若 BC= ,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值.2解析 (1)证明:在AOC 中,因为
35、OA=OC,D 为 AC 的中点,所以 ACDO.又 PO 垂直于圆 O 所在的平面,所以 POAC.因为 DOPO=O,DO,PO平面 PDO,所以 AC平面 PDO.(2)因为点 C 在圆 O 上,所以当 COAB 时,C 到 AB 的距离最大,且最大值为 1.又 AB=2,所以ABC 面积的最大值为 21=1.1219又因为三棱锥 P-ABC 的高 PO=1,故三棱锥 P-ABC 体积的最大值为 11= .13 13(3)解法一:在POB 中,PO=OB=1,POB=90,所以 PB= = .同理,PC= ,所以 PB=PC=BC.12+12 2 2在三棱锥 P-ABC 中,将侧面 BC
36、P 绕 PB 所在的直线旋转至平面 BCP,使之与平面 ABP 共面.当 O,E,C共线时,CE+OE 取得最小值.又因为 OP=OB,CP=CB,所以 OC垂直平分 PB,即 E 为 PB 的中点.从而 OC=OE+EC= + = ,22 62 2+ 62亦即 CE+OE 的最小值为 .2+ 62解法二:在POB 中,PO=OB=1,POB=90,所以OPB=45,PB= = .同理,PC= .12+12 2 2所以 PB=PC=BC,所以CPB=60.在三棱锥 P-ABC 中,将侧面 BCP 绕 PB 所在的直线旋转至平面 BCP,使之与平面 ABP 共面,如图所示.当 O,E,C共线时,
37、CE+OE 取得最小值.所以,在OCP 中,由余弦定理,得OC2=1+2-21 cos(45+60)2=1+2-2 =2+ .2(22 12- 22 32) 3从而 OC= = .2+ 32+ 62所以 CE+OE 的最小值为 .2+ 62评析本题主要考查直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,以及数形结合思想、转化与化归思想.【三年模拟】解答题(共 90 分)201.(2019 届天津七校联考期中,19)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,ACB=90,侧面 PAB为等边三角形,侧棱 PC=2 .2(1)求证:PCAB;(2
38、)求证:平面 PAB平面 ABC;(3)求二面角 B-AP-C 的余弦值.解析 (1)证明:设 AB 的中点为 D,连接 PD,CD,因为 AP=BP,所以 PDAB,又 AC=BC,所以 CDAB.因为 PDCD=D,所以 AB平面 PCD,因为 PC平面 PCD,所以 PCAB.(2)证明:因为ACB=90,AC=BC=2,所以 AD=BD=CD= ,AB=2 ,2 2又PAB 为正三角形,且 PDAB,所以 PD= .6因为 PC=2 ,所以 PC2=CD2+PD2,2所以CDP=90,由(1)知CDP 是二面角 P-AB-C 的平面角,所以平面 PAB平面 ABC.(3)由(2)知 C
39、D平面 PAB,过 D 作 DEPA 于 E,连接 CE,则 CEPA,所以DEC 是二面角 B-AP-C 的平面角,易求得 DE= ,在 RtCDE 中,6221因为 CD= ,DE= ,所以 EC= ,262 142所以 cosDEC= ,217即二面角 B-AP-C 的余弦值为 .2172.(2019 届天津耀华中学月考,17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面 PAD底面 ABCD,E 为 AD 的中点,M 是棱 PC 的中点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= .12 3(1)求证:PE平面 ABCD;(2)求直线 BM
40、与平面 ABCD 所成角的正切值;(3)求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值.解析 (1)证明:PA=PD,E 为 AD 的中点,PEAD.又平面 PAD平面 ABCD,且平面 PAD平面 ABCD=AD,PE平面 PAD,PE平面 ABCD.(2)连接 EC,取 EC 的中点 H,连接 MH,HB.M 是 PC 的中点,H 是 EC 的中点,MHPE.由(1)知 PE平面 ABCD,MH平面 ABCD,BH 是 BM 在平面 ABCD 内的射影,MBH 即为 BM与平面 ABCD 所成的角.连接 BE.ADBC,BC= AD,E 为 AD 的中点,ADC=90,12四边形 BCDE 为矩形
41、,易知 EC=2,HB= EC=1,MH= PE= ,12 12 32在MHB 中,tanMBH= = ,MHHB32直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .3222(3)由(2)知 CDBE,直线 BM 与 CD 所成角即为直线 BM 与 BE 所成角(MBE 或其补角),连接 ME,在 RtMHE 中,ME= ,72在 RtMHB 中,BM= ,又 BE=CD= ,72 3在MEB 中,cosMBE= = = .BM2+BE2-ME22BMBE 74+3-742723 217直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为 .2173.(2018 天津十二区县二模,17)如图,在四棱锥 P
42、-ABCD 中,PACD,PAD=ABC=90,ABCD,DC=CB= AB=1,PA=2.12(1)求异面直线 AB 与 PD 所成角的余弦值;(2)证明:平面 PAD平面 PBD;(3)求直线 DC 与平面 PBD 所成角的正弦值.解析 (1)取 AB 的中点 E,连接 DE、AC,ABCD,PDC(或其补角)是异面直线 AB 与 PD 所成的角,PACD,PAAD,CDAD=D,PA平面 ABCD,易得 CDEB, 四边形 EBCD 是平行四边形,又EBC=90,DC=CB,四边形 EBCD 是正方形,23DEAB,DA=DB= ,PD= ,AC= ,2 6 5在 RtPAC 中,PC=
43、3,cosPDC= =- .6+1-926 66异面直线 AB 与 PD 所成角的余弦值为 .66(2)证明:由(1)知 BD= ,AD= ,AB=2,2 2由勾股定理的逆定理得 BDAD,又BDPA,PAAD=A,BD平面 PAD,又BD平面 PBD,平面 PAD平面 PBD.(3)ABCD,直线 DC 与平面 PBD 所成角即为 AB 与平面 PBD 所成角,过点 A 作 AHPD,垂足为 H,连接 BH,由(2)知平面 PAD平面 PBD,又平面 PAD平面 PBD=PD,AH平面 PAD,AH平面 PBD,BH 为斜线 AB 在平面 PBD 内的射影,ABH 是直线 AB 与平面 PB
44、D 所成角,在 RtPAD 中,PAAD=PDAH,AH= ,233故在 RtABH 中,sinABH= = ,AHAB33直线 DC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .334.(2018 天津和平一模,17)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PB平面 ABC,ACBC,PB=2,AB=2 ,D2为 PB 的中点,E 为 AD 的中点,点 F 在线段 PC 上,且 PF=3FC.(1)求证:ACCD;(2)求证:EF平面 ABC;(3)若 BC= ,求二面角 C-AD-B 的度数.224解析 (1)证明:PB平面 ABC,AC平面 ABC,PBAC,又ACBC,BCPB=B,AC平面 PBC,
45、CD平面 PBC,ACCD.(2)证明:取 AB 的中点 M,在线段 BC 上取点 N 使 BN=3NC,连接 EM,MN,FN,EM 是ABD 的中位线,EMPB,EM= DB= PB,12 14BN=3NC,PF=3FC,FNPB,FN= PB,14EMFN,EM=FN,四边形 EMNF 是平行四边形,EFMN,EF平面 ABC,MN平面 ABC,EF平面 ABC.(3)过 C 作 CHAB,过 H 作 HKAD,垂足分别为 H,K.PB平面 ABC,PB平面 PAB,平面 PAB平面 ABC,平面 PAB平面 ABC=AB,CH平面 PAB,AD平面 PAB,ADCH,又HKAD,CHH
46、K=H,AD平面 CHK,CK平面 CHK,CKAD,25CKH 即为二面角 C-AD-B 的平面角,易求得 CH= ,KH= ,62 22tanCKH= = CKH=60,CHKH 3所以二面角 C-AD-B 的度数为 60.5.(2018 天津河东一模,17)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,三角形 ABC 为正三角形,边长为2,ADDC,AD=1,PO 垂直平面 ABCD 于 O,O 为 AC 的中点.(1)证明:PABO;(2)证明:DO平面 PAB;(3)若 PD= ,求直线 PD 与平面 PAC 所成角的正切值.6解析 (1)证明:ABC 为正三角形,O 为 AC 的中点,BO
47、AC,PO平面 ABCD,BO平面 ABCD,BOPO,又ACPO=O,BO平面 PAC,PA平面 PAC,PABO.(2)证明:ADDC,AD=1,AC=2,CD= ,ACD=30,BCCD,3ODA=OAD=60,BAC=60,DOAB,AB平面 PAB,DO平面 PAB,DO平面 PAB.(3)过 D 作 DFAC,垂足为 F,连接 PF,PO平面 ABCD,PODF,26ACPO=O,DF平面 PAC,则 PF 为 PD 在平面 PAC 内的射影,DPF 即为直线 PD 与平面 PAC 所成角的平面角,在ACD 中,DFAC=ADDC,DF= ,PF= ,tanDPF= ,32 212 77直线 PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 .776.(2018 天津南开一模,17)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC底
