1、18.5 空间向量及其应用、空间角与距离挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 天津,172017 天津,17用向量法求空间角的正弦值、用向量法证明空间中直线与平面的平行关系空间角问题1.用向量证明空间中的平行和垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)2016 天津,17用向量法求空间角的正弦值、用向量法证明空间中直线与平面的平行关系求线面角的正弦值2.用向量求空间角与距离1.能用向量法解决直线与直线、直线与平
2、面、平面与平面的夹角的计算问题2.能用向量法解决点面、线面、面面距离问题,了解向量方法在立体几何问题中的应用2015 天津,172014 天津,17用向量法求空间角线面平行的判定、线线垂直的判定分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理以及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面2距等问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,
3、求空间角的命题趋势较强,属中档题.破考点【考点集训】考点一 用向量证明空间中的平行和垂直关系1.(2017 浙江,19,15 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD,PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点.(1)证明:CE平面 PAB;(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.解析 (1)证明:设 AD 的中点为 O,连接 OB,OP.PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形,OPAD.BC= AD=OD,且 BCOD,12四边形 BCDO 为平行四边形,又CDAD,OBAD,OPOB=O,AD平面 OPB.过点
4、 O 在平面 POB 内作 OB 的垂线 OM,交 PB 于 M,以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,OD 所在直线为 y 轴,OM 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图.3设 CD=1,则有 A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).设 P(x,0,z)(z0),由 PC=2,OP=1,得 解得 x=- ,z= ,(x-1)2+1+z2=4,x2+z2=1, 12 32即点 P ,(-12,0,32)而 E 为 PD 的中点,E .(-14,12,34)设平面 PAB 的法向量为 n=(x1,y1,z1), = , =(1,1,0),AP(-12
5、,1,32)AB -12x1+y1+ 32z1=0,x1+y1=0 x1= -y1,z1= - 3y1,取 y1=-1,得 n=(1,-1, ).3而 = ,则 n=0,而 CE平面 PAB,CE(-54,-12,34) CECE平面 PAB.(2)设平面 PBC 的法向量为 m=(x2,y2,z2), =(0,1,0), = ,BC BP(-32,0,32) 取 x2=1,得 m=(1,0, ).y2=0,-32x2+ 32z2=0, 3设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 ,则 sin=|cos|= = ,CE|CEm|CE|m| 28故直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .2
6、8方法总结 1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l)利用线面平行的判定定理:在平面 内找到一条与直线 l 平行的直线 m,从而得到 l.利用面面平行的性质:过直线 l 找到(或作出)一个平面 ,使得 ,从而得 l.向量法:(i)求出平面 的法向量 n 和直线 l 的方向向量 l,证明 nl=0,结合 l 可得l.(ii)证明直线 l 的方向向量 l 能被平面 内的两个基向量所表示,结合 l 可得 l.2.求线面角的方法.4定义法:作出线面角,解三角形即可.解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.例:求 AB 与平面 所成角 的正弦值,其中 A.只需求出点 B 到平面 的距离 d(通常由等体积
7、法求 d),由 sin= 得结论.dAB向量法:求出平面 的法向量 n,设直线 AB 与 所成角为 ,则 sin=|cos|.AB最好是画出图形,否则容易出错.考点二 空间角与距离2.(2018 课标,9,5 分)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA 1= ,则异面直线 AD1与3DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.15 56 55 22答案 C 3.已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别为 AB,BC 的中点.(1)求点 D 到平面 PEF 的距离;(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离.解析 (1)建立如
8、图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E ,F ,(1,12,0) (12,1,0) = ,PE(1,12,-1)= ,EF(-12,12,0)=(0,0,1).DP设平面 PEF 的法向量为 n=(x,y,z).则有 nPE=0,nEF=0 x+12y-z=0,-12x+12y=0 z=32x,y=x.5令 x=1,则 n= .(1,1,32)点 D 到平面 PEF 的距离为d= = = .|DPn|n| 32172 31717(2)直线 AC 到平面 PEF 的距离等于点 A 到平面 PEF 的距离. = ,平面 P
9、EF 的一个法向量为 n= ,AE(0,12,0) (1,1,32)点 A 到平面 PEF 的距离为 d1= = = .|AEn|n| 12172 1717直线 AC 到平面 PEF 的距离为 .17174.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB平面 AA1C1C,AA1=AB=AC=2,A 1AC=60.过 AA1的平面交 B1C1于点 E,交 BC 于点 F.(1)求证:A 1C平面 ABC1;(2)求证:四边形 AA1EF 为平行四边形;(3)若 = ,求二面角 B-AC1-F 的大小.BFBC23解析 (1)证明:因为 AB平面 AA1C1C,A1C平面 AA1C1C,所以 A1
10、CAB.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA 1=AC,所以平行四边形 AA1C1C 为菱形,所以 A1CAC 1.又 ABAC 1=A,AB,AC1平面 ABC1,所以 A1C平面 ABC1.(2)证明:因为 A1AB 1B,A1A平面 BB1C1C,BB1平面 BB1C1C,所以 A1A平面 BB1C1C.因为平面 AA1EF平面 BB1C1C=EF,所以 A1AEF.因为平面 ABC平面 A1B1C1,平面 AA1EF平面 ABC=AF,平面 AA1EF平面 A1B1C1=A1E,所以 A1EAF,所以四边形 AA1EF 为平行四边形.(3)在平面 AA1C1C 内,过 A 作 AzA
11、C.因为 AB平面 AA1C1C,所以 AB,AC,Az 两两垂直.6故可建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,1, ),C1(0,3, ),所以 =(-2,2,0), =(0,3,3 3 BC AC1).3因为 = ,所以 = = ,BFBC23 BF23BC(-43,43,0)所以 F ,(23,43,0)所以 = .AF(23,43,0)由(1)得平面 ABC1的一个法向量为 =(0,1,- ).A1C 3设平面 AC1F 的法向量为 n=(x,y,z),则nAC1=0,nAF=0,即 3y+ 3z=0,23x+43
12、y=0.令 y=1,则 x=-2,z=- ,3所以 n=(-2,1,- ).3所以 cos= = .A1CnA1C|n|A1C| 22由图可知二面角 B-AC1-F 的平面角是锐角,所以二面角 B-AC1-F 的大小为 45.思路分析 (1)通过证明四边形 AA1C1C 为菱形,得出 A1CAC 1,从而证得 A1C平面 ABC1;(2)由面面平行的性质定理、线面平行的性质定理分别得到两组对边互相平行,进而证明四边形 AA1EF 为平行四边形;(3)由平面的法向量和夹角公式求解.7方法总结 正确掌握线面平行和垂直的证明方法和计算空间角的基本方法是求解立体几何问题的基础和保障,务必“记牢活用.”
13、炼技法【方法集训】方法 1 空间角与距离的向量求法1.正四棱锥 S-ABCD 的八条棱长都相等,SB 的中点是 E,则异面直线 AE,SD 所成角的余弦值为 .答案 332.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 A1B1的中点,则异面直线 D1E 和 BC1间的距离为 .答案 263方法 2 用向量法求立体几何中的探索性问题3.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,E 为 AD 的中点,PAAD,BECD,BEAD,PA=AE=BE=2,CD=1.(1)求证:平面 PAD平面 PCD;(2)求二面角 C-PB-E 的余弦值;(3)在线段 PE 上是否存在点 M
14、,使得 DM平面 PBC?若存在,求出点 M 的位置;若不存在,请说明理由.解析 (1)证明:因为平面 PAD平面 ABCD,PAAD,且平面 PAD平面 ABCD=AD,所以 PA平面 ABCD.又 CD平面 ABCD,所以 PACD.又因为 BEAD,BECD,8所以 CDAD.又因为 PAAD=A,PA,AD平面 PAD,所以 CD平面 PAD.因为 CD平面 PCD,所以平面 PAD平面 PCD.(2)以 E 为原点,以 , 的方向分别为 x 轴,y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系EBEDE-xyz,则 E(0,0,0),P(0,-2,2),A(0,-2,0),B(2,0,0
15、),C(1,2,0),D(0,2,0),所以 =(2,2,-2), =(-1,2,0), =(0,-2,2).PB BC EP设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),则 即nPB=0,nBC=0, 2x+2y-2z=0,-x+2y=0. 令 y=1,则 x=2,z=3,所以 n=(2,1,3).设平面 PBE 的法向量为 m=(a,b,c),则 即mPB=0,mEP=0, 2a+2b-2c=0,-2b+2c=0.令 b=1,则 a=0,c=1,所以 m=(0,1,1).所以 cos= = = .nm|n|m|20+11+31142 277由图可知,所求二面角为锐角,所以二面角 C-PB
16、-E 的余弦值为 .2779(3)“在线段 PE 上存在点 M,使得 DM平面 PBC”等价于“在线段 PE 上存在点 M,使其满足n=0”.DM设 = ,0,1.PM PE因为 =(0,2,-2),所以 =(0,2,-2),PE PM则 M(0,2-2,2-2),所以 =(0,2-4,2-2).DM由(2)知平面 PBC 的一个法向量为 n=(2,1,3),所以 n=2-4+6-6=0,DM解得 = .12因为 = 0,1,12所以在线段 PE 上存在点 M,使得 DM平面 PBC,此时点 M 为 PE 的中点.4.如图 1,在平面五边形 ABCDE 中,ABCD,BAD=90,AB=2,C
17、D=1,ADE 是边长为 2 的正三角形,现将ADE 沿 AD 折起,得到四棱锥 E-ABCD(如图 2),且 DEAB.(1)求证:平面 ADE平面 ABCD;(2)求平面 BCE 与平面 ADE 所成锐二面角的大小;(3)在棱 AE 上是否存在点 F,使得 DF平面 BCE?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.EFEA解析 (1)证明:由已知得 ABAD,因为 ABDE,且 ADDE=D,AD,DE平面 ADE,所以 AB平面 ADE.又 AB平面 ABCD,所以平面 ADE平面 ABCD.(2)设 AD 的中点为 O,连接 EO.因为ADE 是正三角形,所以 EA=ED,所以 EO
18、AD.因为平面 ADE平面 ABCD,平面 ADE平面 ABCD=AD,EO平面 ADE,所以 EO平面 ABCD.10在平面 ABCD 内过 O 点作垂直于 AD 的直线交 CB 于点 M.以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OM 所在的直线为 y 轴,OE 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示,则 E(0,0, ),B(1,2,0),C(-1,1,0),3所以 =(1,-1, ), =(2,1,0).CE 3 CB设平面 BCE 的法向量为 m=(x,y,z),则 即mCE=0,mCB=0, x-y+ 3z=0,2x+y=0. 令 x=1,则 y=-2,z
19、=- ,3所以 m=(1,-2,- ).3易知平面 ADE 的一个法向量为 n=(0,1,0),所以 cos= =- .mn|m|n| 22所以平面 BCE 与平面 ADE 所成锐二面角的大小为 . 4(3)在棱 AE 上存在点 F,使得 DF平面 BCE,此时 = .EFEA12理由:设 BE 的中点为 G,连接 CG,FG,则 FGAB,FG= AB,12因为 ABCD,且 CD= AB,12所以 FGCD,且 FG=CD.所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DFCG.因为 CG平面 BCE,且 DF平面 BCE,所以 DF平面 BCE.过专题【五年高考】11A 组 自主命题天津卷题
20、组1.(2018 天津,17,13 分)如图,ADBC 且 AD=2BC,ADCD,EGAD 且 EG=AD,CDFG 且CD=2FG,DG平面 ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若 M 为 CF 的中点,N 为 EG 的中点,求证:MN平面 CDE;(2)求二面角 E-BC-F 的正弦值;(3)若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60,求线段 DP 的长.解析 本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.依题意,可以建立以 D 为原点,分别以 ,
21、, 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向的空间直角DADCDG坐标系(如图),可得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M ,N(1,0,2).(0,32,1)(1)证明:依题意 =(0,2,0), =(2,0,2).DC DE设 n0=(x0,y0,z0)为平面 CDE 的法向量,则 即n0DC=0,n0DE=0, 2y0=0,2x0+2z0=0,不妨令 z0=-1,可得 n0=(1,0,-1).又 = ,可得 n0=0,MN(1,-32,1) MN又因为直线 MN平面 CDE,所以 MN平面 CD
22、E.12(2)依题意,可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2).BC BE CF设 n=(x1,y1,z1)为平面 BCE 的法向量,则 即nBC=0,nBE=0, -x1=0,x1-2y1+2z1=0,不妨令 z1=1,可得 n=(0,1,1).设 m=(x2,y2,z2)为平面 BCF 的法向量,则 即mBC=0,mCF=0, -x2=0,-y2+2z2=0,不妨令 z2=1,可得 m=(0,2,1).因此有 cos= = ,于是 sin= .mn|m|n|31010 1010所以,二面角 E-BC-F 的正弦值为 .1010(3)设线段 DP 的长为 h(h0
23、,2),则点 P 的坐标为(0,0,h),可得 =(-1,-2,h).BP易知, =(0,2,0)为平面 ADGE 的一个法向量,DC故|cos|= = ,BPDC|BPDC|BP|DC| 2h2+5由题意,可得 =sin60= ,2h2+5 32解得 h= 0,2.33所以,线段 DP 的长为 .33方法归纳 利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤:(1)审清题意并建系.利用条件分析问题,建立恰当的空间直角坐标系;(2)确定相关点的坐标.结合建系过程与图形,准确地写出相关点的坐标;(3)确定直线的方向向量和平面的法向量.利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量,若已知某直线垂直某平面
24、,可直接取该直线的方向向量为该平面的法向量;(4)转化为向量运算.将空间位置关系转化为向量关系,空间角转化为向量的夹角问题去论证、求解;(5)问题还原.结合条件与图形,作出结论(注意角的范围).2.(2017 天津,17,13 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,BAC=90.点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2.13(1)求证:MN平面 BDE;(2)求二面角 C-EM-N 的正弦值;(3)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ,求线段 AH 的长.721解析 本小题主要考
25、查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.如图,以 A 为原点,分别以 , , 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依ABACAP题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明: =(0,2,0), =(2,0,-2).设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则 即DE DB nDE=0,nDB=0, 2y=0,2x-2z=0.不妨设 z=1,可得 n=(
26、1,0,1).又 =(1,2,-1),可得 n=0.MN MN因为 MN平面 BDE,所以 MN平面 BDE.(2)易知 n1=(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量.设 n2=(x,y,z)为平面 EMN 的法向量,则n2EM=0,n2MN=0.14因为 =(0,-2,-1), =(1,2,-1),所以EM MN -2y-z=0,x+2y-z=0.不妨设 y=1,可得 n2=(-4,1,-2).因此有 cos= =- ,n1n2|n1|n2| 421于是 sin= .10521所以,二面角 C-EM-N 的正弦值为 .10521(3)依题意,设 AH=h(0h4),则 H(0,0,h),
27、进而可得 =(-1,-2,h), =(-2,2,2).由已知,NH BE得|cos|= = = ,NHBE|NHBE|NH|BE| |2h-2|h2+523 721整理得 10h2-21h+8=0,解得 h= 或 h= .85 12所以,线段 AH 的长为 或 .85 12方法总结 利用空间向量法证明线面位置关系与计算空间角的步骤:(1)根据题目中的条件,充分利用垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,尽量使相关点在坐标轴上,求出相关点的坐标;(2)求出相关直线的方向向量及相关平面的法向量,根据题目的要求,选择适当的公式,将相关的坐标代入进行求解或证明;(3)检验,得出最后结论.3.(2016 天
28、津,17,13 分)如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面 ADF;(2)求二面角 O-EF-C 的正弦值;(3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH= HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.23解析 依题意,OF平面 ABCD,如图,以 O 为原点,分别以 , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴ADBAOF的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,
29、2),F(0,0,2),G(-1,0,0).15(1)证明:依题意, =(2,0,0), =(1,-1,2).AD AF设 n1=(x,y,z)为平面 ADF 的法向量,则 即n1AD=0,n1AF=0, 2x=0,x-y+2z=0.不妨设 z=1,可得 n1=(0,2,1),又 =(0,1,-2),可得 n1=0,EG EG又因为直线 EG平面 ADF,所以 EG平面 ADF.(2)易证, =(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量.OA依题意, =(1,1,0), =(-1,1,2).EF CF设 n2=(x,y,z)为平面 CEF 的法向量,则n2EF=0,n2CF=0,即 不妨设
30、x=1,可得 n2=(1,-1,1).x+y=0,-x+y+2z=0.因此有 cos= =- ,OAOAn2|OA|n2| 63于是 sin= .OA33所以,二面角 O-EF-C 的正弦值为 .33(3)由 AH= HF,得 AH= AF.23 25因为 =(1,-1,2),AF所以 = = ,AH25AF(25,-25,45)16进而有 H ,(-35,35,45)从而 = ,BH(25,85,45)因此 cos= =- .BHBHn2|BH|n2| 721所以,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 .721思路分析 (1)利用平面的法向量和直线的方向向量的数量积为 0 证明线面平
31、行.(2)求出两平面法向量夹角的余弦值,进而得二面角的正弦值.(3)求出直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值,进而得线面角的正弦值.4.(2015 天津,17,13 分)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA 1=2,AD=CD= ,且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点.5(1)求证:MN平面 ABCD;(2)求二面角 D1-AC-B1的正弦值;(3)设 E 为棱 A1B1上的点.若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,求线段 A1E 的长.13解析 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得
32、 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,所以 M ,N(1,-2,1).(1,12,1)17(1)证明:依题意,可得 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量. = .由此可MN(0,-52,0)得 n=0,MN又因为直线 MN平面 ABCD,所以 MN平面 ABCD.(2) =(1,-2,2), =(2,0,0).AD1 AC设 n1=(x,y,z)为平面 ACD1的法向量,则n1AD1=0,n1AC=0,即 不妨设
33、 z=1,可得 n1=(0,1,1).x-2y+2z=0,2x=0. 设 n2=(x,y,z)为平面 ACB1的法向量,则n2AB1=0,n2AC=0,又 =(0,1,2),得AB1 y+2z=0,2x=0. 不妨设 z=1,可得 n2=(0,-2,1).因此有 cos= =- ,n1n2|n1|n2| 1010于是 sin= .31010所以,二面角 D1-AC-B1的正弦值为 .31010(3)依题意,可设 = ,其中 0,1,则 E(0,2),从而 =(-1,+2,1).A1E A1B1 NE又 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得 cos=NENEn|NE|n|
34、= = ,1(-1)2+( +2)2+1213整理得 2+4-3=0,又因为 0,1,解得 = -2.7所以,线段 A1E 的长为 -2.7评析本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.185.(2014 天津,17,13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点.(1)证明 BEDC;(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值;(3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BFAC,求二
35、面角 F-AB-P 的余弦值.解析 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1).(1)证明:向量 =(0,1,1), =(2,0,0),故 =0.BE DC BEDC所以 BEDC.(2)向量 =(-1,2,0), =(1,0,-2).设 n=(x,y,z)为平面 PBD 的法向量,BD PB则 即nBD=0,nPB=0, -x+2y=0,x-2z=0. 不妨令 y=1,可得 n=(2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量.于是有 cos= = = .BEnB
36、E|n|BE| 262 33所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .33(3)向量 =(1,2,0), =(-2,-2,2), =(2,2,0), =(1,0,0).由点 F 在棱 PC 上,设BC CP AC AB= ,01.CF CP19故 = + = + =(1-2,2-2,2).由 BFAC,得 =0,因此,2(1-2)+2(2-2)BFBCCFBC CP BFAC=0,解得 = .即 = .设 n1=(x,y,z)为平面 FAB 的法向量,则 即34 BF(-12,12,32) n1AB=0,n1BF=0, x=0,-12x+12y+32z=0.不妨令 z=1,可得 n1
37、=(0,-3,1)为平面 FAB 的一个法向量.取平面 ABP 的法向量 n2=(0,1,0),则cos= = =- .n1n2|n1|n2| -3101 31010易知,二面角 F-AB-P 是锐角,所以其余弦值为 .31010B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 用向量证明空间中的平行和垂直关系(2018 浙江,19,15 分)如图,已知多面体 ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于平面ABC,ABC=120,A 1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB 1平面 A1B1C1;(2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值.解析 (1)证明:
38、如图,以 AC 的中点 O 为原点,分别以射线 OB,OC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下:20A(0,- ,0),B(1,0,0),A1(0,- ,4),B1(1,0,2),C1(0, ,1).3 3 3因此 =(1, ,2), =(1, ,-2), =(0,2 ,-3).AB1 3 A1B1 3 A1C1 3由 =0 得 AB1A 1B1.由 =0 得 AB1A 1C1.AB1 A1B1 AB1 A1C1又 A1B1A 1C1=A1,A1B1,A1C1平面 A1B1C1,所以 AB1平面 A1B1C1.(2)设直线 AC1与平面 ABB1所成的
39、角为 .由(1)可知 =(0,2 ,1), =(1, ,0), =(0,0,2).AC1 3 AB 3 BB1设平面 ABB1的法向量 n=(x,y,z),则 即 可取 n=(- ,1,0).nAB=0,nBB1=0, x+ 3y=0,2z=0, 3所以 sin=|cos|= = .AC1|AC1n|AC1|n| 3913因此,直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 .3913考点二 空间角与距离1.(2018 课标,20,12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的2中点.(1)证明:PO平面 ABC;(2)若点 M 在棱
40、BC 上,且二面角 M-PA-C 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.解析 (1)因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=2 .3连接 OB.因为 AB=BC= AC,22所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB= AC=2.1221由 OP2+OB2=PB2知 POOB.由 OPOB,OPAC 知 PO平面 ABC.(2)如图,以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz.OB由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 ), =(0,2,2 ).
41、3 AP 3取平面 PAC 的法向量 =(2,0,0).OB设 M(a,2-a,0)(0= .OB23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2由已知可得|cos|= .OB32所以 = .23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2 32解得 a=-4(舍去)或 a= .43所以 n= .(-833,433,-43)又 =(0,2,-2 ),所以 cos= .PC 3 PC34所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .342.(2017 课标,18,12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PA=PD=A
42、B=DC,APD=90,求二面角 A-PB-C 的余弦值.22解析 本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.(1)由已知BAP=CDP=90,得 ABAP,CDPD.由于 ABCD,故 ABPD,又 APPD=P,AP,PD平面 PAD,从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.(2)在平面 PAD 内作 PFAD,垂足为 F.由(1)可知,AB平面 PAD,故 ABPF,又 ADAB=A,可得 PF平面 ABCD.以 F 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系FA ABF-xyz.由(1)及已知可得 A ,
43、P ,B ,C .(22,0,0) (0,0,22) (22,1,0) (- 22,1,0)所以 = , =( ,0,0), = , =(0,1,0).PC(-22,1,- 22)CB 2 PA(22,0,- 22)AB设 n=(x1,y1,z1)是平面 PCB 的法向量,则即nPC=0,nCB=0, - 22x1+y1- 22z1=0,2x1=0. 可取 n=(0,-1,- ).2设 m=(x2,y2,z2)是平面 PAB 的法向量,则即mPA=0,mAB=0, 22x2- 22z2=0,y2=0. 可取 m=(1,0,1).23则 cos= =- .nm|n|m| 33易知二面角 A-PB
44、-C 为钝二面角,所以二面角 A-PB-C 的余弦值为- .33方法总结 面面垂直的证明及向量法求解二面角.(1)面面垂直的证明证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线 l,证明直线 l 垂直于另一平面.(2)利用空间向量求解几何体中的二面角的余弦值建立空间直角坐标系,找到点的坐标,求出两个半平面的法向量 n1,n2,设二面角的大小为 ,则|cos|= ,再根据二面角的范围判断二面角余弦值的正负情况.|n1n2|n1|n2|3.(2017 课标,19,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E
45、是 PD 的中点.12(1)证明:直线 CE平面 PAB;(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45,求二面角 M-AB-D 的余弦值.解析 本题考查了线面平行的证明和线面角、二面角的计算.(1)取 PA 的中点 F,连接 EF,BF.因为 E 是 PD 的中点,所以 EFAD,EF= AD.12由BAD=ABC=90得 BCAD,又 BC= AD,所以 EFBC, 四边形 BCEF 是平行四边形,CEBF,又12BF平面 PAB,CE平面 PAB,故 CE平面 PAB.(2)由已知得 BAAD,以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建
46、立如图所AB AB示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1, ), =(1,0,- ),3 PC 3=(1,0,0).AB24设 M(x,y,z)(0|=sin45, = ,BM|z|(x-1)2+y2+z2 22即(x-1) 2+y2-z2=0.又 M 在棱 PC 上,设 = ,则PM PCx=,y=1,z= - .3 3由,解得 (舍去),或x=1+ 22,y=1,z= - 62 x=1- 22,y=1,z= 62, 所以 M ,从而 = .(1-22,1,62) AM(1- 22,1,62)设 m=(x0,y0,z0)是平面 A
47、BM 的法向量,则 即mAM=0,mAB=0, (2- 2)x0+2y0+ 6z0=0,x0=0, 所以可取 m=(0,- ,2).6于是 cos= = .mn|m|n| 105易知所求二面角为锐角.因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 .105方法总结 本题涉及直线与平面所成的角和二面角,它们是高考热点和难点,解决此类题时常利用向量法,解题关键是求平面的法向量,再由向量的夹角公式求解.解题关键 由线面角为 45求点 M 的坐标是解题的关键.4.(2016 四川,18,12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= AD,E12为棱 AD 的中点,异面
48、直线 PA 与 CD 所成的角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM平面 PBE,并说明理由;25(2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.解析 (1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M平面 PAB),点 M 即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且 BC=ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CMEB.又 EB平面 PBE,CM平面 PBE,所以 CM平面 PBE.(说明:延长 AP 至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以 CD
