1、19.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.直线的倾斜角、斜率与方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念2.掌握过两点的直线斜率的计算公式3.掌握确定两直线位置关系的几何要素以及求直线方程的几种形式4.了解斜截式与一次函数的关系2017 北京 ,14直线的斜率统计图的理解2.直线与直线的位置关系1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标2013 天津文,5直线与直线的位置关系直线与圆的位置关系23.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离2017 天津文,
2、12抛物线3.圆的方程1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程与一般方程3.会用待定系数法和直接法求圆的方程2016 天津文,12圆的方程点到直线距离公式分析解读 从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一 直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直
3、线 l 过定点(0,1),则“直线 l 与圆(x-2) 2+y2=4 相切”是“直线 l 的斜率为 ”的( )34A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 2.过点 M(1,2)的直线 l 将圆(x-2) 2+y2=9 分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 l 的方程是 . 答案 x-2y+3=0考点二 直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1) 2+y2=2,则圆心到直线 y=x+3 的距离为( )A.1 B. C.2 D.22 2答案 B 4.已知直线 3x+(1-a)y+1=0 与直线 x-y+2=0 平行,则 a 的值为( )A.
4、4 B.-4 C.2 D.-23答案 A 5.已知 aR,则“直线 y=ax-1 与 y=-4ax+2 垂直”是“a= ”的( )12A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 考点三 圆的方程6.若直线 x+y+a=0 是圆 x2+y2-2y=0 的一条对称轴,则 a 的值为( )A.1 B.-1 C.2 D.-2答案 B 7.(2015 课标,14,5 分)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则x216y24该圆的标准方程为 . 答案 +y2=(x-32)2 254炼技法【方法集训】方法 1 直线方程的求法1
5、.已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( )A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0答案 D 方法 2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线 3x+4y+3=0 与直线 6x+my-14=0 平行,则它们之间的距离是( )A.2 B.8 C. D.175 1710答案 A 3.已知直线 l1:ax+y-1=0,直线 l2:x-y-3=0,若直线 l1的倾斜角为 ,则 a= ;若 4l1l 2,则 a= ;若 l1l 2,则两平行直线间的距离为 . 答案 -1;1;2 2方法 3 关于对称
6、问题的求解策略4.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为( )4A.(x-1)2+y2=1 B.x 2+(y+1)2=1 C.x 2+(y-1)2=1 D.(x+1) 2+y2=1答案 C 方法 4 圆的方程的求法5.(2018 天津文,12,5 分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .答案 x 2+y2-2x=06.(2016 江苏改编,18,16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M:x2+y2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4).(1)设圆 N 与
7、x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程;(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B,C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程.解析 圆 M 的标准方程为(x-6) 2+(y-7)2=25,所以圆心 M(6,7),半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x=6 上,可设 N(6,y0).因为圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,所以 00)的直线 l 与C 交于 A,B 两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程;(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.解析 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0)
8、,设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.y=k(x-1),y2=4x =16k 2+160,故 x1+x2= .2k2+4k2所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x2+1)= .4k2+4k2由题设知 =8,4k2+4k2解得 k=-1(舍去),或 k=1,因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y0),则解得 或y0= -x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22 +16. x0=3
9、,y0=2 x0=11,y0= -6.因此所求圆的方程为(x-3) 2+(y-2)2=16 或(x-11) 2+(y+6)2=144.方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017 课标,20,12 分)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程.解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,
10、y2),l:x=my+2.由 可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.x=my+2,y2=2x又 x1= ,x2= ,故 x1x2= =4.y212 y222 (y1y2)247因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 = =-1,所以 OAOB.y1x1 y2x2-44故坐标原点 O 在圆 M 上.(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M 的坐标为(m 2+2,m),圆 M 的半径 r= .(m2+2)2+m2由于圆 M 过点 P(4,-2),因此 =0,故(x 1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,APBP即 x1
11、x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1 或 m=- .12当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 ,圆 M 的方程10为(x-3) 2+(y-1)2=10.当 m=- 时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为 ,圆 M 的半径为 ,圆 M 的方12 (94,-12) 854程为 + = .(x-94)2(y+12)28516解后反思 解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与
12、系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x 1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破 将直径所对的圆周角为 90转化为两向量数量积等于 0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015 课标,20,12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a0)交于 M,Nx24两点.(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析 (1)由题设可得 M(2 ,a),N(-2 ,
13、a)或 M(-2 ,a),N(2 ,a).a a a a又 y= ,故 y= 在 x=2 处的导数值为 ,C 在点(2 ,a)处的切线方程为 y-a= (x-2x2 x24 a a a a),a即 x-y-a=0.ay= 在 x=-2 处的导数值为- ,C 在点(-2 ,a)处的切线方程为 y-a=- (x+2 ),x24 a a a a a8即 x+y+a=0.a故所求切线方程为 x-y-a=0 和 x+y+a=0.(5 分)a a(2)存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2.将 y=kx+
14、a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而 k1+k2= + = = .y1-bx1 y2-bx2 2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2 k(a+b)a当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12 分)C 组 教师专用题组1.(2016 四川,8,5 分)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p0)上任意一点,M是线段 PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D
15、.133 23 22答案 C 2.(2015 北京,2,5 分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1) 2+(y+1)2=1 C.(x+1) 2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D 3.(2017 江苏,13,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点 P 在圆 O:x2+y2=50上.若 20,则点 P 的横坐标的取值范围是 . PAPB答案 -5 ,124.(2015 湖北文,16,5 分)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点A,B(B 在
16、A 的上方),且|AB|=2.(1)圆 C 的标准方程为 ; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 . 9答案 (1)(x-1) 2+(y- )2=2 (2)- -12 2【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.(2018 天津河西三模,4)设 aR,则“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 2.(2018 天津十二区县二模,4)已知 m 为实数,直线 l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m=
17、1”是“l 1l 2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)3.(2017 天津和平四模,12)经过圆 x2+2x+y2=0 的圆心,且与直线 x+y-2=0 垂直的直线方程是 .答案 x-y+1=04.(2017 天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 . 答案 20 65.(2017 天津一中 3 月月考,12)圆心在直线 x-2y+7=0 上的圆 C 与 x 轴交于 A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆 C 的方程为 . 答案 (x+3) 2+(y-2)2=56.(2018 天津河东一模,12)已知 A(0, ),B(1,0),点 P 为圆 x2+y2+2x=0 上的任意一点,则3PAB 面积的最大值为 . 答案 +13
