1、19.2 直线、圆的位置关系挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 天津,12 参数方程2017 天津,11 极坐标2014 天津,13 极坐标2012 天津,8点到直线的距离直线、圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系2.能用直线与圆的位置关系解决弦长问题3.会求圆的切线方程及与圆有关的最值问题4.能根据给定两圆的方程判断两圆的位置关系5.会求两圆相交弦所在直线的方程及弦长6.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2012 天津文,12直线、圆的位置关系基本不等式分析解读 从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考
2、考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为 5 分,主要考查:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点【考点集训】2考点 直线、圆的位置关系1.(2015 重庆,8,5 分)已知直线 l:x+ay-1=0(aR)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=(
3、)A.2 B.4 C.6 D.22 10答案 C 2.若直线 y=kx+4+2k 与曲线 y= 有两个交点,则 k 的取值范围是( )4-x2A.1,+) B. C. D.(-,-1-1,-34) (34,1答案 B 3.(2014 安徽,6,5 分)过点 P(- ,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角3的取值范围是( )A. B. C. D.(0, 6 (0, 3 0, 6 0, 3答案 D 炼技法【方法集训】方法 1 与圆有关的最值问题的求解方法1.已知 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k0)上一点,PA 是圆 C:x2+y2-2y=0 的一条切线,
4、A 是切点,若 PA 长度的最小值为 2,则 k 的值为( )A.3 B. C.2 D.2212 2答案 D 2.(2015 江苏,10,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1) 2+y2=2方法 2 求解与圆有关的切线和弦长问题的方法3.(2015 安徽文,8,5 分)直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切,则 b 的值是( )A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.2 或 12答案 D 4.(2014 浙江文,5,5 分)已
5、知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数a 的值是( )3A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案 B 过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2018 天津,12,5 分)已知圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 C,直线 (t 为参数)与x= -1+ 22t,y=3- 22t 该圆相交于 A,B 两点,则ABC 的面积为 . 答案 122.(2017 天津,11,5 分)在极坐标系中,直线 4cos +1=0 与圆 =2sin 的公共点( - 6)的个数为 . 答案 23.(2014 天津,13,5 分)在以 O 为极点的极坐标系中
6、,圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于A,B 两点.若AOB 是等边三角形,则 a 的值为 . 答案 34.(2012 天津,12,5 分)设 m,nR,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则AOB 面积的最小值为 .答案 3B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018 课标,6,5 分)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2) 2+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是( )A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 2
7、 2 2 2答案 A 2.(2018 课标文,15,5 分)直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点,则|AB|= .4答案 2 23.(2016 课标,16,5 分)已知直线 l:mx+y+3m- =0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B3分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=2 ,则|CD|= . 3答案 44.(2016 课标文,15,5 分)已知直线 l:x- y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分3别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.则|CD|= . 答案 45.(2015
8、 湖南文,13,5 分)若直线 3x-4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r0)相交于 A,B 两点,且AOB=120(O 为坐标原点),则 r= . 答案 26.(2014 重庆文,14,5 分)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B两点,且 ACBC,则实数 a 的值为 . 答案 0 或 67.(2014 课标,16,5 分)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45,则x0的取值范围是 . 答案 -1,18.(2015 课标文,20,12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆
9、 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N 两点.(1)求 k 的取值范围;(2)若 =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.OMON解析 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1.因为 l 与 C 交于两点,所以 0,解得 t2b0)过点(0, ),且离心率 e= .x2a2y2b2 2 22(1)求椭圆 E 的方程;7(2)设直线 l:x=my-1(mR)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆(-94,0)的位置关系,并说明理由.解析 (1)由已知得 解得b= 2,ca= 22,a2=b2+c2. a=2,b= 2,c= 2.所以椭圆 E 的
10、方程为 + =1.x24y22(2)解法一:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 H(x0,y0).由 得(m 2+2)y2-2my-3=0,x=my-1,x24+y22=1所以 y1+y2= ,y1y2=- ,从而 y0= .2mm2+2 3m2+2 mm2+2所以|GH| 2= + = + =(m2+1) + my0+ .(x0+94)2y20(my0+54)2y20 y2052 2516= =|AB|24 (x1-x2)2+(y1-y2)24 (1+m2)(y1-y2)24= =(1+m2)( -y1y2),(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24 y20故|GH|
11、 2- = my0+(1+m2)y1y2+ = - + = 0,所以|GH| .|AB|24 52 2516 5m22(m2+2)3(1+m2)m2+2 251617m2+216(m2+2) |AB|2故点 G 在以 AB 为直径的圆外.(-94,0)解法二:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , = .由 得GA(x1+94,y1)GB(x2+94,y2) x=my-1,x24+y22=1(m2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2= ,y1y2=- ,2mm2+2 3m2+28从而 = +y1y2= +y1y2=(m2+1)y1y2+ m(y1+y2)+ =GAGB(x
12、1+94)(x2+94) (my1+54)(my2+54) 54 2516+ + = 0,-3(m2+1)m2+2 52m2m2+2251617m2+216(m2+2)所以 cos0.又 , 不共线,所以AGB 为锐角.GAGB GAGB故点 G 在以 AB 为直径的圆外.(-94,0)评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.(2017 天津河东二模,4)若 a,bR,直线 l:y=ax+b,圆 C:x2+y2=1.命题 p:直线 l 与
13、圆 C 相交;命题 q:a ,则 p 是 q 的( )b2-1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 2.(2017 天津河西一模,6)已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与圆 x2+y2-4y+3=0 相切,则此双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. D.12 3 2答案 B 3.(2018 天津南开中学第三次月考,7)已知圆 C:x2+(y-2)2=1 与双曲线 - =1(a0,b0)的渐x2a2y2b2近线相切,且和圆 x2+y2=b2外切,则双曲线方程为( )A.x2-3y2=1 B.3x 2-y2=1 C.x 2-
14、=1 D. -y2=1y23 x23答案 B 4.(2018 天津一中 5 月月考,5)已知圆 C:x2+y2+2x+2 y+1=0 与双曲线 - =1(a0,b0)的3y2a2x2b2一条渐近线相切,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.263 233 43 7答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)95.(2018 天津部分区县期末,13)以点(0,b)为圆心的圆与直线 y=2x+1 相切于点(1,3),则该圆的方程为 . 答案 x 2+ =(y-72)2546.(2018 天津和平第一次质量检查,10)若直线 l:x+ y+1=0 与圆 x2+y2-2ax=0(a0)
15、相切,3则 a 的值为 . 答案 17.(2018 天津部分区县质量检查(2),11)已知直线 k(x+1)+y+2=0 恒过点 C,且以 C 为圆心,5为半径的圆与直线 3x+4y+1=0 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为 . 答案 2 218.(2018 天津南开中学第四次月考,13)已知圆 C:(x-m)2+(y-n)2=9 的圆心在第一象限,直线l:x+2y+2=0 被圆 C 所截得的弦长为 4,则 的最小值为 . m+2nmn答案 839.(2017 天津十二区县二模,12)已知两圆 x2+y2=10 和(x-1) 2+(y-a)2=20 相交于 A、B 两个不同的点,且直线 AB 与直线 3x-y+1=0 垂直,则实数 a= . 答案 3
