1、19.3 椭圆及其性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.椭圆的定义和标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017 北京,19椭圆的标准方程三角形的面积2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2012 天津文,19椭圆的几何性质直线和椭圆的方程2018 天津文,19三角形的面积3.直线与椭圆的位置关系1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆的位置关系解答相
2、应问题2014 天津,18直线与椭圆的位置关系圆的方程分析解读 从高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合椭圆定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为 5 分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往2往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想.破考点【考点集训】考点一 椭圆的定义和标准方程1.“m
3、n0”是“曲线 mx2+ny2=1 为焦点在 x 轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 D 考点二 椭圆的几何性质2.(2017 浙江,2,4 分)椭圆 + =1 的离心率是( )x29y24A. B. C. D.133 53 23 59答案 B 3.(2018 课标文,11,5 分)已知 F1,F2是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点.若 PF1PF 2,且PF 2F1=60,则 C 的离心率为( )A.1- B.2- C. D. -132 3 3-12 3答案 D 考点三 直线与椭圆的位置关系4.(2014
4、辽宁,20,12 分)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图).(1)求点 P 的坐标;(2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 交于 A,B 两点.若PAB 的面积为 2,3求 C 的标准方程.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y0)(x00,y00),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0),x0y0 x0y0即 x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S= = ,由 +12 4x0 4y0 8x0y0 x203=42x 0y0知当且仅当 x0=y
5、0= 时 x0y0有最大值,即 S 有最小值,因此点 P 的坐标为( ,y20 2 2).2(2)设 C 的标准方程为 + =1(ab0),点 A(x1,y1),B(x2,y2).由点 P 在 C 上知 + =1,并由x2a2y2b2 2a22b2x2a2+y2b2=1,y=x+ 3得 b2x2+4 x+6-2b2=0,3又 x1,x2是方程的根,因此x1+x2= -43b2,x1x2=6-2b2b2, 由 y1=x1+ ,y2=x2+ ,得|AB|= |x1-x2|= .3 3 2 248-24b2+8b4b2由点 P 到直线 l 的距离为 及 SPAB = |AB|=2 得 b4-9b2+
6、18=0,解得 b2=6 或 3,32 12 32因此 b2=6,a2=3(舍)或 b2=3,a2=6,从而所求 C 的方程为 + =1.x26y23炼技法【方法集训】方法 1 求椭圆标准方程的方法1.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 ,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足5|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆 C 的方程为( )A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1x225y25 x230y210 x236y216 x245y225答案 C 方法 2 椭圆的离心率(取值范围)的求法2.已知椭圆 C1: + =1(ab0)和圆 C2:x2+y
7、2=b2,若在椭圆 C1上存在点 P,使得过点 P 的圆 C2x2a2y2b2的两条切线互相垂直,则椭圆 C1的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.12,1) 22,32 22,1) 32,1)4答案 C 3.(2013 福建文,15,4 分)椭圆 : + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若x2a2y2b2直线 y= (x+c)与椭圆 的一个交点 M 满足MF 1F2=2MF 2F1,则该椭圆的离心率等于 .3答案 -13方法 3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法4.(2014 安徽文,14,5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+ =1(0b0)相交
8、于 A,B12 x2a2y2b2两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 答案 22过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2018 天津文,19,14 分)设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离心x2a2y2b2率为 ,|AB|= .53 13(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为(-x 1,-y1).由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组 消去 y,可得 x
9、2= .由方程组2x+3y=6,y=kx, 63k+2消去 y,可得 x1= .x29+y24=1,y=kx, 69k2+4由 x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方,整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=- 或 k=- .9k2+489 12当 k=- 时,x 2=-9b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶x2a2y2b2点为 B.已知|AB|= |F1F2|.32(1)求椭圆的离心率;(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l与该圆相切.求直线 l 的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c
10、,0).由|AB|= |F1F2|,可得 a2+b2=3c2,又 b2=a2-c2,32则 = .c2a212所以椭圆的离心率 e= .22(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为 + =1.x22c2y2c2设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),有 =(x0+c,y0), =(c,c).F1P F1B由已知,有 =0,即(x 0+c)c+y0c=0.F1P F1B又 c0,故有6x0+y0+c=0.又因为点 P 在椭圆上,故 + =1.x202c2y20c2由和可得 3 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,x20故 x0=- c,代入得 y0= ,4
11、3 c3即点 P 的坐标为 .(-4c3,c3)设圆的圆心为 T(x1,y1),则 x1= =- c,y1= = c,进而圆的半径 r=-43c+02 23 c3+c2 23= c.(x1-0)2+(y1-c)2 53设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,可得 =r,即|kx1-y1|k2+1= c,|k(-2c3)-2c3|k2+1 53整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4 .15所以直线 l 的斜率为 4+ 或 4- .15 153.(2012 天津文,19,14 分)已知椭圆 + =1(ab0),点 P 在椭圆上.x2a2y2b2 (55a
12、,22a)(1)求椭圆的离心率;(2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率的值.解析 (1)因为点 P 在椭圆上,(55a,22a)故 + =1,可得 = .a25a2a22b2 b2a258于是 e2= =1- = ,a2-b2a2 b2a238所以椭圆的离心率 e= .64(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx.设点 Q 的坐标为(x 0,y0).由条件得 y0=kx0,x20a2+y20b2=1.消去 y0并整理得 = .x20a2b2k2a2+b27由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及 y0=kx0
13、,得(x 0+a)2+k2 =a2.x20整理得(1+k 2) +2ax0=0,而 x00,x20故 x0= ,-2a1+k2代入,整理得(1+k 2)2=4k2 +4.a2b2由(1)知 = ,故(1+k 2)2= k2+4,a2b285 325即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5.所以直线 OQ 的斜率 k= .5评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,以及数形结合的思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2015
14、广东文,8,5 分)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m=( )x225y2m2A.2 B.3 C.4 D.9答案 B 2.(2017 北京,19,14 分)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交BN 于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45.解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆 C 的方程为 + =1(ab0).x
15、2a2y2b2由题意得 a=2,ca= 32,解得 c= .3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.x248(2)证明:设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM= ,故直线 DE 的斜率 kDE=- .nm+2 m+2n所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m).m+2n直线 BN 的方程为 y= (x-2).n2-m联立 y= -m+2n(x-m),y= n2-m(x-2),解得点 E 的纵坐标 yE=- .n(4-m2)4-m2+n2由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n
16、.45又 SBDE = |BD|yE|= |BD|n|,12 25SBDN = |BD|n|,12所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.易错警示 在设直线方程时,若设方程为 y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为 0 的情况.3.(2014 四川文,20,13 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点为 F(-2,0),离心率为 .x2a2y2b2 63(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q.当四边形 OPTQ是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.解析
17、 (1)由已知可得, = ,c=2,所以 a= .ca 63 6又由 a2=b2+c2,解得 b= ,2所以椭圆 C 的标准方程是 + =1.x26y22(2)设 T 点的坐标为(-3,m),则直线 TF 的斜率 kTF= =-m.m-0-3-(-2)当 m0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,直线 PQ 的方程是 x=my-2.当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-1m2,也符合 x=my-2 的形式.9设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得 消去 x,得x=my-2,x26+y22=1.(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式 =1
18、6m 2+8(m2+3)0,所以 y1+y2= ,y1y2= ,4mm2+3 -2m2+3x1+x2=m(y1+y2)-4= .-12m2+3因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以 = ,即(x 1,y1)=(-3-x2,m-y2).OPQT所以 解得 m=1.x1+x2= -12m2+3= -3,y1+y2= 4mm2+3=m, 此时,S 四边形 OPTQ=2SOPQ =2 |OF|y1-y2|12=2 =2 .(4mm2+3)2-4-2m2+3 3评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力.考查数形结合、转化与化归、分类与整
19、合等数学思想.考点二 椭圆的几何性质1.(2018 课标文,4,5 分)已知椭圆 C: + =1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( )x2a2y24A. B. C. D.13 12 22 223答案 C 2.(2018 课标,12,5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点x2a2y2b2P 在过 A 且斜率为 的直线上,PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C 的离心率为( )36A. B. C. D.23 12 13 14答案 D 3.(2017 课标,10,5 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点
20、分别为 A1,A2,且以线段x2a2y2b2A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.63 33 23 1310答案 A 考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2015 安徽,20,13 分)设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为x2a2y2b2(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 .510(1)求 E 的离心率 e;(2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点.证明:MNAB.解析 (1)由题设条件知,点
21、 M 的坐标为 ,(23a,13b)又 kOM= ,从而 = .510 b2a 510进而 a= b,c= =2b.故 e= = .5 a2-b2ca255(2)证明:由 N 是 AC 的中点知,点 N 的坐标为 ,可得 = .(a2,-b2) NM(a6,5b6)又 =(-a,b),从而有 =- a2+ b2= (5b2-a2).AB ABNM16 56 16由(1)的计算结果可知 a2=5b2,所以 =0,故 MNAB.ABNM评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.2.(2014 北京文,19,14 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4.(1)求椭圆 C 的离心率;(
22、2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB,求线段 AB 长度的最小值.解析 (1)由题意,知椭圆 C 的标准方程为 + =1.x24y22所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2.因此 a=2,c= .2故椭圆 C 的离心率 e= = .ca 22(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y0),其中 x00.因为 OAOB,所以 =0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- .OAOB2y0x0又 +2 =4,x20 y20所以|AB| 2=(x0-t)2+(y0-2)2= +(y0-2)2(x0+2y0x0)211= +
23、+ +4x20y204y20x20= + + +4x204-x202 2(4-x20)x20= + +4(0b0)的左,右焦点,M 是 C 上一点x2a2y2b2且 MF2与 x 轴垂直.直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率;34(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F 1N|,求 a,b.解析 (1)根据 c= 及题设知 M ,2b2=3ac.a2-b2 (c,b2a)将 b2=a2-c2代入 2b2=3ac,解得 = 或 =-2(舍去).ca12 ca故 C 的离心率为 .12(2)由题意,知原点 O 为 F1F2
24、的中点,MF 2y 轴,所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段MF1的中点,故 =4,即 b2=4a,b2a由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F1N|.设 N(x1,y1),由题意知 y1b0)的离心率x2a2y2b2为 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.22(1)求椭圆的标准方程;(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若PC=2AB,求直线 AB 的方程.解析 (1)由题意,得 = 且 c+ =3,ca 22 a2c解得 a= ,c=1,则 b=1,2所以椭圆的标准方程为 +y2=1.
25、x22(2)当 ABx 轴时,AB= ,又 CP=3,不合题意.2当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2= ,C 的坐2k22(1+k2)1+2k2标为 ,且 AB= = = .(2k21+2k2, -k1+2k2) (x2-x1)2+(y2-y1)2 (1+k2)(x2-x1)222(1+k2)1+2k2若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.从而 k0,故直线 PC 的方程为 y+ =-
26、,k1+2k2 1k(x- 2k21+2k2)则 P 点的坐标为 ,(-2,5k2+2k(1+2k2)从而 PC= .2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)因为 PC=2AB,所以 = ,2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2) 42(1+k2)1+2k2解得 k=1.此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1.13评析本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想.C 组 教师专用题组1.(2017 课标,12,5 分)设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足x23y2mAMB=120,则 m 的
27、取值范围是( )A.(0,19,+) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0,34,+)3答案 A 2.(2015 课标,5,5 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线12C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( )A.3 B.6 C.9 D.12答案 B 3.(2015 浙江,15,4 分)椭圆 + =1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭x2a2y2b2 bc圆上,则椭圆的离心率是 . 答案 224.(2015 陕西,20,12 分)已知椭圆 E: + =1(ab0)的
28、半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0),x2a2y2b2(0,b)的直线的距离为 c.12(1)求椭圆 E 的离心率;(2)如图,AB 是圆 M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭圆 E 的方程.52解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0,则原点 O 到该直线的距离 d= = ,bcb2+c2bca由 d= c,得 a=2b=2 ,12 a2-c2解得离心率 = .ca 3214(2)解法一:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.依题意得,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|=
29、.10易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,8k(2k+1)1+4k2x1x2= .4(2k+1)2-4b21+4k2由 x1+x2=-4,得- =-4,解得 k= .8k(2k+1)1+4k2 12从而 x1x2=8-2b2.于是|AB|= |x1-x2|= = .1+(12)2 52 (x1+x2)2-4x1x2 10(b2-2)由|AB|= ,得 = ,解得 b2=3.10 10(b2-2) 10故椭圆 E 的方程为 + =1
30、.x212y23解法二:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.依题意得,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= .10设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 +4 =4b2, +4 =4b2,x21 y21 x22 y22两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x 1-x2)+8(y1-y2)=0,易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1x 2,所以 AB 的斜率 kAB= = .y1-y2x1-x212因此直线 AB 的方程为 y= (x+2)+1,12代入得 x2+4x+8-2b2=0.所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|
31、AB|= |x1-x2|= = .1+(12)2 52 (x1+x2)2-4x1x2 10(b2-2)由|AB|= ,得 = ,解得 b2=3.10 10(b2-2) 10故椭圆 E 的方程为 + =1.x212y2315评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)1.(2019 届天津耀华中学第二次月考,7)已知椭圆 + =1 的左右焦点分别为 F1,F2,点 A 在椭x2a2y2b2圆上,
32、 =0, =c2,则椭圆的离心率 e 等于( )AF1 F1F2 AF1 AF2A. B. C. D.33 3-12 5-12 22答案 C 2.(2018 天津河西一模,6)已知三个实数 2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 + =1 的离x2my22心率为( )A. B. C. 或 D. 或22 3 22 3 22 62答案 C 3.(2018 天津南开中学第三次月考,8)已知点 F1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的焦点,点x2a2y2b2B 是短轴端点,直线 BF2与椭圆 C 相交于另一点 D.若F 1BD 是等腰三角形,则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.
33、13 33 22 63答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 5 分)4.(2018 天津一中 5 月月考,13)已知点 P(x,y)在椭圆 + =1 上运动,则 + 的最小值是 .x232y23 1x2 21+y2答案 95三、解答题(共 40 分)5.(2019 届天津南开中学统练,19)已知椭圆 C: + =1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3x2a2y2b2,P4 中恰有三点在椭圆 C 上.(-1,32) (1,32)(1)求 C 的方程;16(2)设直线 l 不经过点 P2且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l
34、 过定点.解析 本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.(1)由于 P3,P4两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4两点.又由 + + 知,C 不经过点 P1,所以点 P2在 C 上.1a21b21a234b2因此 解得1b2=1,1a2+ 34b2=1, a2=4,b2=1.故 C 的方程为 +y2=1.x24(2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2.如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t0,且|t|0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= .8km4k2+1 4m2-44
35、k2+1而 k1+k2= +y1-1x1 y2-1x2= +kx1+m-1x1 kx2+m-1x2= ,2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2由于 k1+k2=-1,故(2k+1)x 1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1) +(m-1) =0.4m2-44k2+1 -8km4k2+1解得 k=- .m+12当且仅当 m-1 时,0,于是 l:y=- x+m,m+12即 y+1=- (x-2),m+1217所以 l 过定点(2,-1).6.(2018 天津河东一模,19)已知点(0,-1)是中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点,椭圆的离心率为 ,左右焦点分别为
36、 F1和 F2.22(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 M 是线段 OF2(不包括端点)上的一点,过点 F2且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于P、Q 两点,若MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形,求点 M 到直线 l 的距离的取值范围.解析 (1)由题意可设椭圆方程为 + =1(ab0),x2a2y2b2由点(0,-1)是椭圆 C 的一个顶点,可得 b=1,由 e= = ,a2-b2=c2,ca 22解得 a= ,c=1,2故椭圆 C 的方程为 +y2=1.x22(2)设点 M(m,0),0b0)的右焦点为( ,0),且经过点x2a2y2b2 3,点 M 是 y 轴上的一点,过点
37、M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点.(-1,32)(1)求椭圆 C 的方程;(2)若 =2 ,且直线 l 与圆 O:x2+y2= 相切于点 N,求|MN|的长.AMMB425解析 (1)由题意知a2-b2=c2=3,(-1)2a2 +(32)2b2 =1,解得 a2=4,b2=1,故椭圆 C 的方程为 +y2=1.x24(2)显然直线 l 的斜率存在,设 M(0,m),直线 l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 与圆 O:x2+y2= 相切,425 = ,|m|1+k225即 m2= (k2+1),425由 消去 y,得(1+4k 2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,x24+y2=1,y=kx+m,0 恒成立,x 1+x2=- ,x1x2= ,8km1+4k2 4(m2-1)4k2+1由 =2 ,得 x1=-2x2,AMMB解得 x1=- ,x2= ,16km1+4k2 8km1+4k2x 1x2=- = ,128k2m2(1+4k2)24(m2-1)1+4k2化简得- =m2-1,32k2m21+4k2把代入可得 48k4+16k2-7=0,19解得 k2= ,m2= ,14 15在 RtOMN 中,可得|MN|= = ,15-42515故|MN|的长为 .15
