1、19.5 抛物线及其性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.抛物线及其标准方程1.了解抛物线的定义,并会利用定义解题2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2017 课标,16抛物线的定义梯形的中位线2.抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用2017 天津文,12抛物线的准线直线与圆的位置关系3.抛物线中弦的相关问题1.理解并掌握抛物线中与焦点弦有关的性质与结论2.能解决抛物线中与弦有关的问题2018 课标,16
2、求焦点弦所在直线的斜率直线与抛物线的位置关系分析解读 从高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着力于数学思想方法的考查.破考点【考点集训】2考点一 抛物线及其标准方程1.(2016 四川文,3,5 分)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( )A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)答案 D 2.(201
3、4 安徽,3,5 分)抛物线 y= x2的准线方程是( )14A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2答案 A 3.(2016 浙江,9,4 分)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 .答案 9考点二 抛物线的几何性质4.(2017 课标文,12,5 分)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M3在 x 轴的上方),l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为( )A. B.2 C.2 D.35 2 3 3答案 C 5.(2014 上海文,3,4 分)若抛物线 y2
4、=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则该抛物线的x29y25准线方程为 . 答案 x=-2考点三 抛物线中弦的相关问题6.(2014 课标文,10,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于 A,B 两点,则|AB|=( )A. B.6 C.12 D.7303 3答案 C 7.(2017 课标,10,5 分)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16 B.14 C.12 D.1
5、0答案 A 炼技法【方法集训】3方法 1 求抛物线标准方程的方法1.已知抛物线 C 的开口向下,其焦点是双曲线 -x2=1 的一个焦点,则 C 的标准方程为( )y23A.y2=8x B.x 2=-8y C.y 2= x D.x 2=- y2 2答案 B 2.已知抛物线 C 的焦点为 F(0,1),则抛物线 C 的标准方程为 . 答案 x 2=4y方法 2 解决直线与抛物线位置关系问题的方法3.(2017 课标文,20,12 分)设 A,B 为曲线 C:y= 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB 的斜率;(2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线
6、AB 平行,且 AMBM,求直线 AB 的方程.解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x 2,y1= ,y2= ,x1+x2=4,x214 x224于是直线 AB 的斜率 k= = =1.y1-y2x1-x2x1+x24(2)由 y= ,得 y= ,x24 x2设 M(x3,y3),由题设知 =1,x32解得 x3=2,于是 M(2,1).设直线 AB 的方程为 y=x+m,故线段 AB 的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将 y=x+m 代入 y= 得 x2-4x-4m=0.x24当 =16(m+1)0,即 m-1 时,x 1,2=22 .m+1从而|AB
7、|= |x1-x2|=4 .2 2(m+1)由题设知|AB|=2|MN|,即 4 =2(m+1),解得 m=7.2(m+1)所以直线 AB 的方程为 y=x+7.过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组4(2017 天津文,12,5 分)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC=120,则圆的方程为 . 答案 (x+1) 2+(y- )2=13B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 抛物线及其标准方程1.(2016 课标文,5,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k0)
8、与 C 交于点kxP,PFx 轴,则 k=( )A. B.1 C. D.212 32答案 D 2.(2017 课标,16,5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 答案 6考点二 抛物线的几何性质1.(2016 课标,10,5 分)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 2.(2015 陕西文,3,5 分)已知抛物线 y2=2px
9、(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 3.(2018 北京文,10,5 分)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴.若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4,则抛物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0)考点三 抛物线中弦的相关问题1.(2018 课标,16,5 分)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点.若AMB=90,则 k= . 答案 252.(2014 湖南文,14,5 分)平面上一机器人在行进中始终保持与点
10、 F(1,0)的距离和到直线x=-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 .答案 (-,-1)(1,+)3.(2016 浙江,19,15 分)如图,设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求 p 的值;(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.解析 (1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离,由抛物线的定义得
11、=1,即 p=2.p2(2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t0,t1.因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1(s0),由 消去 x 得 y2-4sy-4=0,y2=4x,x=sy+1故 y1y2=-4,所以,B .(1t2,-2t)又直线 AB 的斜率为 ,故直线 FN 的斜率为- .2tt2-1 t2-12t从而得直线 FN:y=- (x-1),直线 BN:y=- .t2-12t 2t所以 N .(t2+3t2-1,-2t)设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得= ,于是 m= .2tt2-m 2t+2tt2-t2+3t
12、2-1 2t2t2-1所以 m2.经检验,m2 满足题意.综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).6思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设 A 点坐标及直线AF 的方程,与抛物线方程联立可得 B 点坐标,进而得直线 FN 的方程与直线 BN 的方程,联立可得 N 点坐标,最后利用 A,M,N 三点共线可得 kAN=kAM,最终求出结果.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.C 组 教师专用题组考点一 抛物线及其标准方程1.(2015 浙江,5,5 分)如图,设抛物线
13、y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是( )A. B. C. D.|BF|-1|AF|-1 |BF|2-1|AF|2-1 |BF|+1|AF|+1 |BF|2+1|AF|2+1答案 A 2.(2014 湖南,15,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则 = . ba答案 1+ 23.(2012 北京,12,5 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,
14、其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60,则OAF 的面积为 .答案 3考点二 抛物线的几何性质(2014 辽宁文,8,5 分)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( )7A.- B.-1 C.- D.-43 34 12答案 C 考点三 抛物线中弦的相关问题1.(2014 四川文,10,5 分)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 O 为坐标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( )OAOBA.2 B.3 C. D.1728 10答案 B 2
15、.(2014 浙江,22,14 分)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点M 为 AB 的中点, =3 .PFFM(1)若| |=3,求点 M 的坐标;PF(2)求ABP 面积的最大值.解析 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1.设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y 0+1,得到 y0=2,所以 P(2 ,2)或 P(-2 ,2).2 2由 =3 ,分别得 M 或 M .PFFM (-223,23) (223,23)(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由
16、得 x2-4kx-y=kx+m,x2=4y4m=0,于是 =16k 2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k 2+m).由 =3 ,得(-x 0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),PFFM所以 由 =4y0得 k2=- m+ .x0= -6k,y0=4-6k2-3m,x20 15 415由 0,k 20,得- f ,(-13,19) (19,1) (1,43) (19)256243(43)所以,当 m= 时,f(m)取到最大值 ,此时 k= .19 256243 5515所以,ABP 面积的最大值为 .2565135【三年模拟】一、选择
17、题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2018 天津实验中学热身训练,7)抛物线 C1:y= x2(p0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右12p x23焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线,则 p=( )A. B. C. D.338 38 233 433答案 D 2.(2018 天津耀华中学二模,5)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p0)x2a2y2b2的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )A. B.2 C. D.23 3 5 5答案
18、 D 3.(2018 天津红桥二模,7)点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p0)与双曲线 C2: - =1(a0,b0)的一x2a2y2b2条渐近线的一个交点,若点 A 到抛物线 C1的焦点的距离为 p,则双曲线 C2的离心率等于( )A. B. C. D.5 6 3 2答案 A 4.(2017 天津红桥一模,6)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,x24y25抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上,且|AK|= |AF|,则点 A 的横坐标为( )2A.2 B.4 C.3 D.22 3答案 C 95.(2017 天津河东一模,7)
19、过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线 AB,CD 与抛物线交于 A,B,C,D 四点,且 ABCD,则 + 的最大值等于( )FAFBFCFDA.-4 B.-8 C.4 D.-16答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)6.(2018 天津南开中学第三次月考,13)已知 M 为抛物线 y2=2px(p0)上的一点,若以 M 为圆心经过原点的圆与 x 轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则 p 的值为 . 答案 47.(2017 天津河北二模,11)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px(p0)的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为 . 答案
20、 -348.(2017 天津河西二模,13)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A、B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 答案 549.(2017 天津河西一模,14)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2 ,则直线 l 的斜率等于 . 3答案 2210.(2017 天津十二区县一模,13)设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l.过焦点的直线分别交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作 l 的垂线,垂足为 C,D.若|AF|=2|BF|,且三角形 CDF的面积为 ,则 p 的值为 . 2答案 233
