1、1第一节 导数的概念及运算课时作业练1.(2019 南京高三模拟)如图,直线 l 经过点(0,1),且与曲线 y=f(x)相切于点(a,3),若 f (a)= ,则实数 a 的值23是 . 答案 3解析 由题意知,(a,3)为切点,所以该切线的斜率为 f (a)= ,又 k= ,所以 = ,解得 a=3.23 3-1a 2a232.(2018 南通调研)若曲线 y=xln x 在 x=1 处与 x=t 处的切线互相垂直,则正数 t 的值为 . 答案 e -2解析 因为 y=xln x,所以 y =ln x+1,所以有(ln 1+1)(ln t+1)=-1,所以 ln t=-2,t=e-2.3.
2、(2019 南京师大附中模拟)若直线 y=2x+b 是曲线 y=ex-2 的一条切线,则实数 b= . 答案 -2ln 2解析 设切点坐标为(x 0, -2),则 解得 x0=ln 2,b=-2ln 2.ex0 ex0-2=2x0+b,ex0=2, 4.(2017 兴化第一中学高三月考)设函数 f(x)=g(x)x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率为 . 答案 8解析 由题意可得 g(1)=3,g(1)=2,又 f (x)=g(x)x2+g(x)2x,所以f (1)=g(1)+g(1)2=2+6=8,即曲
3、线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率为 8.5.(2018 江苏丹阳高级中学期中)已知函数 f(x)=x3.设曲线 y=f(x)在点 P(x1, f(x1)处的切线与该曲线交于另一点 Q(x2, f(x2),记 f (x)为 f(x)的导函数,则 的值为 . f (x1)f (x2)答案 14解析 f (x)=3x 2,曲线 y=f(x)在点 P(x1, f(x1)处的切线方程为 y- =3 (x-x1),与 y=x3联立得 x3-3 x+2 =x31 x21 x21 x31(x+2x1)=0,则 x2=-2x1,则 f (x 2)=3 =12 ,则 = = .(x-x1)2 x
4、22 x21f (x1)f (x2)3x213x221426.(2018 江苏无锡第一次月考)已知函数 f(x)= x2+4ln x,若存在满足 1x 03 的实数 x0,使得曲线 y=f(x)在点12(x0, f(x0)处的切线与直线 x+my-10=0 垂直,则实数 m 的取值范围是 . 答案 4,5解析 由 f(x)= x2+4ln x 得 f (x)=x+ ,则当 1x 03 时,k=f (x 0)=x0+ .由切线与直线 x+my-10=0 垂直,得12 4x 4x0m=x0+ 4,5.4x07.已知函数 f(x)= x3-x2+ax-1 的图象上存在两条斜率为 3 的切线,且切点的
5、横坐标都大于零,则实数 a 的取值范23围是 . 答案 (3,72)解析 f (x)=2x 2-2x+a,由函数 f(x)= x3-x2+ax-1 的图象上存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于23零,可得 f (x)=2x2-2x+a=3 在 x(0,+)上有两个不相等的实数根,设这两个实数根分别为 x1,x2,则即 解得 30,x1+x20,x1x20, 4-42(a-3)0,10,a-30, 728.(2018 江苏南通高考数学冲刺小练)已知函数 f(x)=x3对应的曲线在点(a k, f(ak)(kN *)处的切线与 x 轴的交点为(a k+1,0),且 a1=1,则 = .
6、 f(3a1)+f(3a2)+f(3a10)1-(23)10答案 3解析 f (x)=3x 2,则曲线在点(a k, f(ak)(kN *)处的切线方程为 y- =3 (x-ak),令 y=0,得 ak+1= ak,则数列a3k a2k23ak是等比数列,则 ak= ,(23)k-1则 =f(3a1)+f(3a2)+f(3a10)1-(23)10 a1+a2+a101-(23)10= =3.1-(23)101-(23)10(1-23)9.(2018 江苏如东高级中学期中)已知 a,b 为正实数,直线 y=x-a 与曲线 y=ln(x+b)相切,则 的取值范围是 .a22+b答案 (0,12)解
7、析 由题意知 y= =1,则 x=1-b,则切点坐标是(1-b,0),代入直线 y=x-a 得 a+b=1,则 = ,a(0,1),1x+b a22+b a23-a令 f(a)= ,a(0,1),则 f (a)= 0,则 f(a)在(0,1)上单调递增,所以 .a23-a a(6-a)(3-a)2 a22+b (0,12)10.已知函数 f(x)=x3-3x 及曲线 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l.(1)求与曲线 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线 l 的方程;3(2)求与曲线 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线 l 的方程.解析 (1)f (x)=3x 2-
8、3,f (1)=0,以 P 为切点的切线方程为 y=-2.(2)设切点为 Q(x0, -3x0),则切线的斜率是 3 -3,x30 x20切线 l 的方程为 y-( -3x0)=(3 -3)(x-x0),x30 x20即 y=(3 -3)x-2 .直线 l 过点 P,-2=3 -3-2 ,x20 x30 x20 x30即 2 -3 +1=0,解得 x0=- 或 x0=1(舍),x30 x2012切点异于 P 并过点 P 的直线 l 的方程是 y=- x+ .94 1411.已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(xR)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C 上任意一点的切线的斜率的取值范围
9、;(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的交点的横坐标的取值范围.解析 (1)由题意得 f (x)=x2-4x+3,则 f (x)=(x-2)2-1-1,即过曲线 C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k(k0),由(2)中的条件及(1)中的结论可知, k -1,-1k -1,又 k0,所以-1k0,故函数 h(x)在(3,+)上单调递增.若使函数 h(x)的图象在(0,+)内与 x 轴有两个不同的交点,则需 -90,h(3)= -9-my,则-xy2.在命题pq;pq;p(q);(p)q 中,真命题的序号
10、是 . 答案 解析 由不等式的性质可知命题 p 是真命题,所以p 是假命题;10,-12m -2 14 0,1456.已知函数 f(x)= 若 f(f(-2)f(x),则实数 x 的取值范围是 . (12)x,x1,图象与 x 轴恰有两个交点,则实数 c 的取值范围是 . 答案 c-2 或-132,轴恰有两个交点,即 y=f(x)与 y=c 的图象恰有两个公共点,作出函数 y=f(x)的图象如图,由图象可知实数 c 的取值范围是 c-2 或-14. (1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内?6(2)该厂年产多少百台时,可使利润最大?解析 设利润为 L(x)万元.由题意得,C(x)=2+x,从而L(x)=R(x)-C(x)=3x-0.5x2-2.5,0 x 4,5.5-x,x4. (1)要使该厂不亏本,只需 L(x)0,当 0x4 时,L(x)03x-0.5x 2-2.501x4,当 x4 时,L(x)05.5-x044 时,L(x)1.52.综上,当年产 3 百台时,可使利润最大.
