1、1第二节 函数的单调性与最值课时作业练1.(2019 江苏淮阴中学模拟)已知函数 f(x)定义在实数集 R 上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x1 时, f(x)=3x-1,则 f , f , f 从小到大的关系为 . (13) (32) (23)答案 f 1,即|x|0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+)上先增后减再增,如图(2)所示.所以要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+)上单调递增,只需 a0.即“a0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)上单调递增”的充要条件.8.(2017 连云港第一学期期中)已
2、知函数 f(x)=- .x2x+1(1)判断函数 f(x)在 上的单调性,并证明;(-12,+ )(2)设 g(x)=tx+ ,当 x 时,g(x)0 恒成立,求实数 t 的取值范围.x22x+1 (12,3解析 (1)函数 f(x)=- 在 上是减函数.证明如下:任取 x1,x2 ,且 x10,2x1+10,2x2+10,12f(x 1)f(x2),函数 f(x)在 上为减函数.(-12,+ )(2)当 x 时,g(x)0 恒成立,即 tx+ 0,t- 在 x 上恒成立,则 tf(x)在 x 上恒成立.(12,3 x22x+1 x2x+1 (12,3 (12,3由(1)知, f(x)在 x
3、上为减函数,f(x)0 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a2 时,求函数 f(x)在 上的最小值.-12,1解析 (1)f(x)= x(x-a),x 0,-x(x-a),x0,所以函数 f(x)在区间 上递减,在区间 上递增,在区间(-,0)上递增.(0,a2) (a2,+ )综上可知,函数 f(x)的增区间为(-,0), ,减区间为 .(a2,+ ) (0,a2)(2)由 a2 得 1.a2又函数 f(x)在 上递增,在(0,1上递减,且 f =- - , f(1)=1-a.-12,0 (-12) 14a2当 f f(1),即 a 时, f(x) min=f(1)=1-a;(-12
4、) 52当 f 0 时, f(x)在2,3上为增函数,故 所以 解得f(3)=5,f(2)=2, 9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2, a=1,b=0.当 af(1-2a),则 a 的取值范围是 . 答案 a134.(2019 江苏盐城中学高三模拟)命题 p:= ,命题 q:tan = ,则 p 是 q 条件.(填“充分不必要” 3 3“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 若 = ,则 tan = ;反之,若 tan = ,则 = +k,kZ,所以 p 是 q 充分不必要条件. 3 3 3 35.已知函数 f(x)= ,x2,6,则此函数的最大值为
5、 2x-1答案 26.函数 y=2x- 的值域为 . x-1答案 158,+ )解析 由题意知 x-10,即 x1,故函数的定义域为1,+).设 t= ,则 t0,x=t 2+1,x-1y=2(t 2+1)-t=2t2-t+2=2 + .(t-14)2158t0,所以根据函数图象可得 y ,故函数的值域为 .158 158,+ )7.若函数 y=ax2+(2a+1)x 在(-,2上是增函数,则实数 a 的最大值与最小值的和为 . 答案 -16解析 当 a=0 时,函数 y=x 在(-,2上是增函数,所以 a=0 符合题意;若 a0,则由题意得 解得- a0,综上,实数 a 的取值范围是 .故
6、 a 的最大值与最小值a0,-2a+12a 2, 16 -16,0的和为- .1658.(2019 江苏泰州高三模拟)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标为(1,-9),且图象在 x 轴上截得的线段长为 6.(1)求 f(2);(2)若 f(x)在区间(m,m+3)上单调,求 m 的范围.解析 (1)由题意得 f(x)=a(x-1)2-9 的图象过(4,0)点,a=1,f(x)=x 2-2x-8,f(2)=4-4-8=-8.(2)若 f(x)在区间(m,m+3)上单调递增,则 m1;若 f(x)在区间(m,m+3)上单调递减,则 m+31,即 m-2.综上,若 f(x)在区间(m,m+3)上单调,则 m 的取值范围是(-,-21,+).
