1、1第九节 函数模型及其应用课时作业练1.(2018 扬州中学期初检测)甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达 B 地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,甲、乙两人行进的函数关系的图象应该分别是 . 答案 ;解析 由甲先骑自行车到中点后改为跑步,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的图象的斜率大于后半程图象的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的图象的斜率小于后半
2、程图象的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,所以甲前半程的图象的斜率大于乙后半程图象的斜率,所以甲是,乙是.2.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,t min 后剩余的细沙量(单位:cm 3)为y=ae-bt,经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案 16解析 当 t=8 时,y=ae -8b= a,e -8b= ,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,ae -bt= a,则 e-bt= =(e-8b)3=e-24b,则12 12 18 18t=24,所以再经过 16 min,容器中的沙子只有
3、开始时的八分之一.3.某城市客运公司确定客票价格的方法:若行程不超过 100 km,则票价是 0.5 元/km,若超过 100 km,则超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价,那么客运票价 y(元)与行驶千米数 x(km)之间的函数关系式是 . 答案 y= 0.5x,01004.用长度为 24 的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 .答案 3解析 设隔墙的长度为 x,矩形的面积为 S,则 S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,当 x=3 时,S 取得最大值.5.某产品计划每年成本降低 p%,若三年后成本为 a
4、元,则现在成本为 . 答案 元a(1-p%)32解析 设现在成本为 x 元,则根据题意有(1-p%) 3x=a,所以 x= .a(1-p%)36.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为 m. 答案 20解析 由题图可知矩形上方的三角形与大三角形相似,设矩形中与长为 x m 的边相邻的边的长为 y m,则 =x40,所以 y=40-x,又有 xy =400,当且仅当 x=y 时等号成立,则 x=40-x,即 x=20,故矩形的面积最大时40-y40 (x+y2)2x 的值为 20.7.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销
5、.根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与年广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= - (x0).则当年广告费投入 万元时,该公司的年利512(x2+8x)润最大. 答案 4解析 L= - = - (x0).当 - =0,即 x=4 时,L 取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4 万512(x2+8x)43212( x- 4x)2 x 4x元时,该公司的年利润最大.8.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 x 为 8 万元时,奖励 1 万元.销售额 x 为64 万元时,奖励 4 万元.若公司拟定的奖励模型为 y=alog4x+b.某业务员要得到 8 万元奖励,则他的
6、销售额应为 万元. 答案 1 024解析 依题意得 alog48+b=1,alog464+b=4,即 解得 a=2,b=-2.32a+b=1,3a+b=4.y=2log 4x-2,当 y=8,即 2log4x-2=8 时,解得 x=1 024.9.(2019 江苏泰州模拟)某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中的酒精含量 f(x)(毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式 f(x)= 酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定:驾驶员血液5x-2,0 x 1,35(13)x,x1.中酒精含量不得超过 0.02 毫克/毫升,则此驾驶员至少要经过 个小时才能开车(不足 1 小时的部分算 1
7、小时,结果精确到 1 小时). 3答案 4解析 当 0x1 时,-2x-2-1,5 -25 x-25 -1,而 5-20.02,当 0x1 时, f(x)0.02;当 x1 时,由 0.02 得 ,35 (13)x (13)x 130解得 x1+ 3.1.1lg3故此驾驶员至少要经过 4 个小时才能开车.10.某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?解析 设矩形温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m.800x所以蔬菜种
8、植面积 y=(x-4) =808-2 (40,15 15故 f(x)的最大值为 88(万元),答:当甲城市投资 128 万元,乙城市投资 112 万元时,总收益最大,且最大收益为 88 万元.12.(2017 江苏南通、徐州高三第一次学情调研)在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量 h(x)(单位:千套)与销售价格 x(单位:元/套)满足关系式 h(x)=f(x)+g(x)(30,所以函数 F(x)在 上单调递增;(3,133) (3,133)5当 x 时,F(x)3(x-m)”是“命题 q:x2+3x-43(x-m)得 xm+3 或 x1解析 关于 x
9、 的方程 x2-(m+3)x+m+3=0 有两个不相等的正实数根,即 x10,x20,且 x1x 2,=(m+3) 2-4(m+3)0,且 x1+x2=m+30,x1x2=m+30,解得 m1,故实数 m 的取值范围是 m1.6.若函数 y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (-,-1 (53,+ )解析 由题意知(a 2-1)x2+(a+1)x+10 对任意 xR 恒成立,当 a2-1=0 时,经检验,a=-1 符合题意,a=1 不符合题意,舍去;当 a2-10 时, 解得 a ,综上,实数 a 的取值范围是(-,-1a2-10,(a+
10、1)2-4(a2-1)0, f(0)=0-201-2 x0.当 x0 时, f(2)=0=f(4),所以函数 f(x)的零点个数为 3.8.(2018 江苏徐州铜山中学期中)已知函数 f(x)=ex-e-x+1(e 为自然对数的底数),若 f(2x-1)+f(4-x2)2,则实数x 的取值范围是 . 答案 (-1,3)解析 令 g(x)=f(x)-1,则 g(-x)=f(-x)-1=e-x-ex=-g(x),则 g(x)是奇函数,且在 R 上递增.不等式 f(2x-1)+f(4-x2)2g(2x-1)-g(4-x2)g(2x-1)g(x2-4),则 2x-1x2-4,即 x2-2x-30 在 xR 上恒成立.当 a0 时,a0 且 =16a 2-24a0,0a ,32当 a=0 时, f(x)=log 26,显然 f(x)的定义域为 R 成立,综上,a 的取值范围是 .0,32)7
