1、12.8 函数模型及其综合应用挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,11函数模型及其综合应用解二元一次方程组函数模型及其综合应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2014 浙江,17函数模型及其综合应用三角函数模型分析解读 1.函数模型及其综合应用是对考生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,
2、属中等难度题(例:2017 浙江 17 题).3.预计函数模型及其综合应用在 2020 年高考中出现的可能性很大,应高度重视.破考点【考点集训】考点 函数模型及其综合应用1.(2018 河南商丘模拟,12)已知函数 f(x)=-x3+1+a 与 g(x)=3ln (1,是自然 对 数的底数 )x 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( ) A.0,e3-4 B.0,13+2C. D.e3-4,+)13+2,3-4答案 A 22.(2017 江西九江七校联考,20)某店销售进价为 2 元/件的产品 A,该店产品 A 每日的销售量y(单位:千件)与销售价格 x(单位:元/件)
3、满足关系式 y= +4(x-6)2,其中 20,函数 f(x)单调递增;在 上, f (x)0.f(x)|x|恒成立,则 a 的取值范围是 . 答案 18,264.(2015 四川,13,5 分)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时,在 22 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 的保鲜时间是 小时. 答案 245.(2014 湖北,14,5 分)设 f(x)是定义在(0,+)上的函数,且 f(x)0,对任意 a0,b0,若经过点(a, f(a),
4、(b,-f(b)的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b).例如,当 f(x)=1(x0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算+2术平均数.(1)当 f(x)= (x0)时,M f(a,b)为 a,b 的几何平均数; (2)当 f(x)= (x0)时,M f(a,b)为 a,b 的调和平均数 . 2+(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 (1) (2)x6.(2018 江苏,17,14 分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN
5、 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为 .(1)用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积,并确定 sin 的取值范围;(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43.求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析 本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的
6、能力.(1)设 PO 的延长线交 MN 于 H,则 PHMN,所以 OH=10 米.7过 O 作 OEBC 于 E,则 OEMN,所以COE=,故 OE=40cos 米,EC=40sin 米,则矩形 ABCD 的面积为 240cos (40sin +10)=800(4sin cos +cos )平方米,CDP 的面积为240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米.过 N 作 GNMN,分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K,则 GK=KN=10 米.令GOK= 0,则 sin 0=, 0 .(0,6)当 时,才能作出满足条件的矩形 ABCD,0,2)
7、所以 sin 的取值范围是 .14,1)答:矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos +cos )平方米,CDP 的面积为 1 600(cos -sin cos )平方米,sin 的取值范围是 .14,1)(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43,所以设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k0).则年总产值为 4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), .0,2)设 f()=sin cos +cos , .0,2)则 f ()=cos 2-sin 2-sin
8、 =-(2sin 2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1),令 f ()=0,得 =,当 时, f ()0,所以 f()为增函数;(0,6)当 时, f ()0,g(t)是增函数.2从而,当 t=10 时,函数 g(t)有极小值,也是最小值,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 .2 3答:当 t=10 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 千米.2 3评析 本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.【三年模拟】一、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 16 分)1.(2019 届镇海中学
9、期中考试,17)设函数 f(x)= 若存在互不相等的 4 个实数|12-4|+1,1,(-2)2+,1,x1,x2,x3,x4,使得 = = = =7,则 a 的取值范围为 . (1)1(2)2(3)3(4)4答案 (6,18)2.(2018 浙江重点中学 12 月联考,11)我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天才到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 答案 1923.(2018 浙江宁波高三上学期期末,17)
10、如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC=1,AD=CD= ,DAB=DCB=90,点 P 为 AD 的中点,M,N 分别在线段 BD,BC 上,则 PM+2MN 的最小值为 . 22答案 14.(2018 浙江嵊州高三质检,17)已知函数 f(x)=x2+(a-4)x+1+|x2-ax+1|的最小值为,则实数a 的值为 . 答案 二、解答题(共 20 分)115.(2018 浙江杭州高三 5 月模拟考试,18)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一,给人以美的享受.如图为一花窗中的一部分,呈长方形,长 30 cm,宽 26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和
11、六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为 x cm 和 y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为 L cm.(1)试用 x,y 表示 L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于 2 cm,每个菱形的面积为 130 cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计卯榫及其他损耗)?解析 (1)水平方向每根支条长为 m= =(15-x)cm,竖直方向每根支条长为 n= =30-22 26-2cm,菱形的一条边长为 = cm.(13-2) (2)2+(2)2 2+22所以 L=2(15-x)+4 +8(13-2) 2+22=82+4 -2(x+y).2+
12、2(2)由题意得 xy=130,即 y= ,260由 得 x13.15-2,13-22, 13011所以 L=82+4 -2 .2+(260)2 (+260)令 t=x+ ,求导得 t(x)=1- .260 2602当 x13 时,t(x)0,所以 L=82+4 -2t 在 t(22-520-1) 33,37211 2-520上为增函数,33,37211故当 t=33,即 x=13,y=20 时,L 有最小值 16+4 .569所以做这样一个窗芯至少需要(16+4 )cm 长的条形木料.5696.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数 f(x)=|x2-2mx-n|(m,nR).(
13、1)当 n=3m2时,讨论函数 f(x)的单调性;(2)记函数 f(x)在区间-1,1上的最大值为 M,若 Mk 对任意的 m,n 恒成立,试求 k 的最大值.解析 (1)当 n=3m2时, f(x)=|x 2-2mx-3m2|=|(x+m)(x-3m)|,函数 y=x2-2mx-3m2的对称轴为直线 x=m.故当 m0 时,函数 f(x)在区间(-,-m上为减函数,在区间-m,m上为增函数,在区间m,3m上为减函数,在区间3m,+)上为增函数.当 m=0 时,函数 f(x)=x2在区间(-,0上为减函数,在区间0,+)上为增函数.当 m1 时,g(x)在区间-1,1上是单调函数,则 f(x)
14、在区间-1,1上的最大值在两端点处取得,故 M 应是 f(-1)和 f(1)中较大的一个.2Mf(1)+f(-1)=|1-2m-n|+|1+2m-n|(1-2m-n)-(1+2m-n)|=4|m|4,M2.当|m|1 时,g(x)在区间-1,m上是减函数,在区间m,1上是增函数,此时,M=maxf(-1), f(m), f(1).由 g(-1)-g(1)=(1+2m-n)-(1-2m-n)=4m,g(1)-g(m)=(m1)20.(i)若-1m0,g(m)g(-1)g(1),|g(-1)|max|g(m)|,|g(1)|.则 M=max|g(1)|,|g(m)| (|g(1)|+|g(m)|)|g(1)-g(m)|= (m-1) 2.(ii)若 0.13故当|m|1 时,M.综合(i)(ii)知,对于任意的 m,n,都有 M.而当 m=0,n=时, f(x)= 在区间-1,1上的最大值为 M=,|2-12|故 Mk 对任意的 m,n 恒成立的 k 的最大值为.
