1、13.1 导数的概念及运算【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度导数的概念及其几何意义1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.2018 课标全国文,6导数的几何意义 奇函数2017 浙江,20 导数的四则运算 函数的取值范围导数的运算会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单的复合函数的导数.2014 大纲全国,7 导数的四则运算 导数的几何意义分析解读 1.导数是高考中的重要内容,导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.3
2、.预计 2020 年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意对切线的考查,复习时应高度重视.2破考点【考点集训】考点一 导数的概念及其几何意义1.(2018 浙江镇海中学 12 月测试,2)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln (x+a)相切,则 a 的值为( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2答案 A 2.(2017 浙江衢州质量检测(1 月),14)已知函数 f(x)=x3+2ax2+1 在 x=1 处的切线的斜率为 1,则实数 a= ,此时函数 y=f(x)在0,1上的最小值为 . 答案 -;2327考点二 导数的运算1.(2018 浙江诸暨高三上学期期末,9)已知 f(x)的导
3、函数为 f (x),若满足 xf (x)-f(x)=x2+x,且 f(1)1,则 f(x)的解析式可能是( )A.x2-xln x+xB.x2-xln x-xC.x2+xln x+xD.x2+2xln x+x答案 C 2.(2017 浙江镇海中学阶段测试(二),13)已知函数 f(x)=sin x-f cos x,若 f =0,(2) (4)则 f = . (2)答案 -1 炼技法【方法集训】方法 1 导数运算的解题方法1.(2017 浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)设 f1(x)=sin x+cos x,对任意的 nN *,定义fn+1(x)=fn(x),则 f2 017(x)等于( )
4、A.sin x-cos x B.sin x+cos x C.-sin x-cos x D.-sin x+cos x答案 B 32.(2018 浙江台州第一次调考(4 月),10)设 f (x)为函数 f(x)的导函数(xR),且 f(x)0(e 为自然对数的底数),若 x1 f 2(x1)2-12D.f 2(x1) f 2(x2)1-22答案 D 方法 2 曲线的切线方程的求法1.(2017 浙江测试卷,4)已知直线 y=ax 是曲线 y=ln x 的切线,则实数 a=( )A. B. C. D.12 12答案 C 2.(2018 浙江嵊州第一学期期末质检,20)已知函数 f(x)=( -1)
5、ln x.(1)求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程;(2)求 f(x)在区间 上的取值范围.12,2解析 (1)( -1)= ,(ln x)=,12所以 f (x)= ln x+( -1)= ,12 ln+2(1- 1)2则 f (1)=0.又 f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=0.(2)由(1)知 f (x)= .ln+2(1- 1)2因为 y=ln x 与 y=1- 都是区间(0,+)上的增函数,所以 g(x)=ln x+2 是(0,+)上1 (1- 1)的增函数.又 g(1)=0,所以当 x1 时,g(x)0,所以 f (x)0,此时 f(x)
6、递增;当 012)(2)由 f (x)= =0,解得 x=1 或 x=.(1-)(2-1-2)-2-1因为x12 (12,1)1 (1,52) 52 (52,+)f (x) - 0 + 0 -f(x) 12-12 0 12-52又 f(x)= ( -1)2e-x0,2-15所以 f(x)在区间 上的取值范围是 .12,+) 0,12-12解后反思 1.在导数大题中,求函数的导数至关重要,因此,必须熟练掌握求导公式和求导法则.2.利用导数求函数的值域的一般步骤:(1)求函数 f(x)的导函数 f (x);(2)解方程 f (x)=0;(3)用 f (x)=0 的根把函数的定义域分成若干个区间;(
7、4)判断每个区间上 f (x)的符号,得函数的单调性;(5)求函数在各个区间上的值域,再求并集.3.本题最易忽略 f(x)0 这个条件,从而得出:f(x)在 上的值域为 的错误结论.12,+) (-,12-12因此,在求函数 f(x)在区间(a,+)或(-,a)上的值域时,一定要观察 f(x)图象的趋势,或先判断 f(x)何时为正,何时为负(通常是求出函数 f(x)的零点).B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 导数的概念及其几何意义1.(2018 课标全国文,6,5 分)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
8、( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案 D 2.(2018 课标全国理,14,5 分)曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a= .答案 -33.(2017 天津文,10,5 分)已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 . 答案 14.(2016 课标全国,15,5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x0 知, f (x)与 1-x+ex-1同号.令 g(x)=1-x+ex-1,则 g(x)=-1+ex-1.所以,当 x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1
9、,+)上单调递增.故 g(1)=1 是 g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而 g(x)0,x(-,+).综上可知, f (x)0,x(-,+).故 f(x)的单调递增区间为(-,+).评析 本题考查导数的几何意义及利用导数讨论函数单调性等知识,方法常规,属中档题.4.(2017 山东理,20,13 分)已知函数 f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e=2.718 28是自然对数的底数.(1)求曲线 y=f(x)在点(, f()处的切线方程;(2)令 h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极
10、值.解析 本题考查导数的几何意义和极值.(1)由题意知, f()= 2-2,7又 f (x)=2x-2sin x,所以 f ()=2,因此曲线 y=f(x)在点(, f()处的切线方程为 y-( 2-2)=2(x-),即 y=2x- 2-2.(2)由题意得 h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为 h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2ex(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(ex-a)(x-sin x),令 m(x)=x-sin x,则 m(x)=1-cos x
11、0,所以 m(x)在 R 上单调递增.因为 m(0)=0,所以当 x0 时,m(x)0;当 x0,当 x0 时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当 x=0 时 h(x)取到极小值,极小值是 h(0)=-2a-1;(ii)当 a0 时,h(x)=2(e x-eln a)(x-sin x),由 h(x)=0 得 x1=ln a,x2=0.当 00,h(x)单调递增;当 x(ln a,0)时,e x-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当 x=ln a 时 h(x)取到极大值,极大值为 h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+
12、2,当 x=0 时 h(x)取到极小值,极小值是 h(0)=-2a-1;当 a=1 时,ln a=0,所以当 x(-,+)时,h(x)0,函数 h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;当 a1 时,ln a0,所以当 x(-,0)时,e x-eln a0,h(x)单调递增;当 x(0,ln a)时,e x-eln a0,h(x)0,h(x)单调递增.8所以当 x=0 时,h(x)取到极大值,极大值是 h(0)=-2a-1;当 x=ln a 时,h(x)取到极小值,极小值是 h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当 a0 时,h(x
13、)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数 h(x)有极小值,极小值是 h(0)=-2a-1;当 01 时,函数 h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数 h(x)有极大值,也有极小值,极大值是 h(0)=-2a-1,极小值是 h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.5.(2017 山东文,20,13 分)已知函数 f(x)= x3-ax2,aR.(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程;(2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x
14、,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析 本题考查导数的几何意义;用导数研究函数的单调性;用导数求函数的极值、最值.(1)由题意 f (x)=x2-ax,所以当 a=2 时, f(3)=0, f (x)=x 2-2x,所以 f (3)=3,因此,曲线 y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是 y=3(x-3),即 3x-y-9=0.(2)因为 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以 g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令 h(x)=x-sin x,则
15、 h(x)=1-cos x0,9所以 h(x)在 R 上单调递增.因为 h(0)=0,所以当 x0 时,h(x)0;当 x0,g(x)单调递增;当 x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当 x=a 时 g(x)取到极大值,极大值是 g(a)=- a3-sin a,当 x=0 时 g(x)取到极小值,极小值是 g(0)=-a.当 a=0 时,g(x)=x(x-sin x),当 x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以 g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当 a0 时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当 x(-,0)时,x
16、-a0, g(x)单调递增;当 x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当 x=0 时 g(x)取到极大值,极大值是 g(0)=-a;当 x=a 时 g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=- a3-sin a.综上所述:当 a0 时,函数 g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=- a3-sin a.6.(2015 安徽,18,12 分)设 nN *,xn是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标.(1)求数列x n的通项公式;(2)记 Tn
17、= ,证明:T n .2123 22-114解析 (1)y=(x 2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2.10从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1).令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1- = .1+1 +1(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn= = .2123 22-1(12)2(34)2 (2-12)2当 n=1 时,T 1=.当 n2 时,因为 = = 22-1(2-12)2(2-1)2(2)2 (2-1)2-1(2)2= = .2-22 -1所以 Tn = .(12)2 -1 14综上可得
18、对任意的 nN *,均有 Tn .14C 组 教师专用题组考点 导数的概念及其几何意义1.(2016 山东,10,5 分)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln xC.y=ex D.y=x3答案 A 2.(2014 课标,8,5 分)设曲线 y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D 3.(2018 课标全国理,13,5 分)曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程
19、为 . 答案 y=2x4.(2017 课标全国文,14,5 分)曲线 y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 . 答案 x-y+1=05.(2015 课标,16,5 分)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 答案 8116.(2015 陕西,15,5 分)设曲线 y=ex在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 . 答案 (1,1)7.(2014 广东,10,5 分)曲线 y=e-5x+2 在点(0,3)处的切线方程为 . 答案 5x+y-3=08.(2014 江苏,11,5 分)
20、在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 答案 -39.(2014 江西,13,5 分)若曲线 y=e-x上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 .答案 (-ln 2,2)【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 8 分)1.(2018 浙江镇海中学 12 月测试,1)下列求导结果正确的是( ) A.(1-x2)=1-2xB.(cos 30)=-sin 30C.ln(2x)=12D.( )=332答案 D 2.(2018 浙江嘉兴第
21、一学期期末,7)函数 y=x3-x 的图象与直线 y=ax+2 相切,则实数 a=( ) A.-1 B.1 C.2 D.4答案 C 二、解答题(共 60 分)3.(2019 届浙江嘉兴 9 月基础测试,22)已知函数 f(x)=2x3-3(m-1)x2-6mx+10m(mR).(1)若 m=0,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程;(2)若 m=1,x-1,3,求 f(x)的值域;(3)若 m0,且当 x-1,3时, f(x)0,求 m 的取值范围.解析 (1)m=0,则 f(x)=2x3+3x2, f(1)=5.12f (x)=6x2+6x, f (1)=12.所以曲线 y=f(x)
22、在 x=1 处的切线方程是 y-5=12(x-1),即 12x-y-7=0.(2)m=1,则 f(x)=2x3-6x+10, f (x)=6x2-6.令 f (x)=0,得 x1=-1,x2=1.x -1 (-1,1) 1 (1,3) 3f (x) 0 - 0 +f(x) 14 单调递减 6 单调递增 46所以 f(x)的值域是6,46.(3)f(x)=2x3-3(m-1)x2-6mx+10m,则 f (x)=6x2-6(m-1)x-6m.令 f (x)=0,得 x1=-1,x2=m.由题知 m0,所以 f(x)在(-1,m)上单调递减,在(m,+)上单调递增.因为当 x-1,3时, f(x)
23、0,所以若 00,1-2 (0,12)13当 x 时,g(x)0 恒成立,-1所以 f(x1)在 上单调递增,所以 f(x1) .(0,12) (1,2)5.(2018 浙江温州二模(3 月),20)已知函数 f(x)= ,g(x)=- x2+ax.4-32(1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与曲线 y=g(x)相切,求 a 的值;(2)若 a=1,求函数 y=f(x)+g(x)的最大值.解析 (1)f (x)= = .(4 分)22-(4-3)22(2)22-8+62 f (1)=0,又 f(1)= ,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y= .1212又曲线 y=f(x
24、)在 x=1 处的切线与曲线 y=g(x)相切,g(x)=-x+a=0,解得 x=a.g(a)=- +a2= ,22 22 = ,a= .(6 分)22 12 2(2)y=f(x)+g(x)= - x2+x,4-32y= -x+1= +(1+ )(1- )2-8+622(1- )(1+4)2 =(1- ) ,x(0,+).1+ +2(1+4)2 当 x(0,1)时,y0;当 x(1,+)时,y0, f (x)=2x-a+,令 f (x)=0,(7 分)故 2x2-ax+1=0 的两个不相等的正实数根为 x1,x2.则有 解得 a2 .(9 分)=2-80,1+2=20,12=120, 2故 f(x1+x2)=(x1+x2)2-a(x1+x2)+ln(x1+x2)=- +ln.(11 分 )24设 g(a)=- +ln (a2 ),24 2则 g(a)=- += 0.(13 分)2-22所以 g(a)在(2 ,+)上单调递减,2所以 g(a)g(2 )=-2+ln =-2+ln 2.2 2因此 f(x1+x2)的取值范围是 .(15 分)(-,-2+12ln2)
