1、13.2 导数与函数单调性教师专用真题精编(2018 天津,20,14 分)已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a1.(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线 y=f(x)在点(x 1, f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x2)处的切线平行,证明 x1+g(x2)=- ;2lnlnalna(3)证明当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线 ,也是曲线 y=g(x)的切线.e1e解析 本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.
2、考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)由已知,h(x)=a x-xln a,有 h(x)=axln a-ln a.令 h(x)=0,解得 x=0.由 a1,可知当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如表:x (-,0) 0 (0,+)h(x) - 0 +h(x) 极小值 所以函数 h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+).(2)证明:由 f (x)=axln a,可得曲线 y=f(x)在点(x 1, f(x1) 处的切线斜率为 ln a.ax1由 g(x)= ,可得曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x2)处的切线斜率为 .1xlna 1x2lna因为
3、这两条切线平行,故有 ln a= ,ax1 1x2lna即 x2 (ln a)2=1.ax1两边取以 a 为底的对数,得 logax2+x1+2logaln a=0,所以 x1+g(x2)=- .2lnlnalna(3)证明:曲线 y=f(x)在点(x 1, )处的切线 l1:y- = ln a(x-x1).ax1 ax1ax1曲线 y=g(x)在点(x 2,logax2)处的切线 l2:y-logax2= (x-x2).1x2lna要证明当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线 ,也是曲线 y=g(x)的切线,只需证明当 a 时,e1e e1e2存在 x1(-,+),x
4、2(0,+),使得 l1与 l2重合.即只需证明当 a 时,e1e方程组 有解.ax1lna= 1x2lna,ax1-x1ax1lna=logax2- 1lna, 由得 x2= ,代入,1ax1(lna)2得 -x1 ln a+x1+ + =0.ax1 ax1 1lna2lnlnalna因此,只需证明当 a 时,关于 x1的方程存在实数解.e1e设函数 u(x)=ax-xaxln a+x+ + ,1lna2lnlnalna即要证明当 a 时,函数 y=u(x)存在零点.e1eu(x)=1-(ln a)2xax,可知 x(-,0)时,u(x)0;x(0,+)时,u(x)单调递减,又 u(0)=1
5、0,u=1- 0,使得 u(x0)=0,(1(lna)2) a1(lna)2即 1-(ln a)2x0 =0.ax0由此可得 u(x)在(-,x 0)上单调递增,在(x 0,+)上单调递减.u(x)在 x=x0处取得极大值 u(x0).因为 a ,故 ln ln a-1,所以 u(x0)= -x0 ln a+x0+ + = +x0+ 0.e1e ax0 ax0 1lna2lnlnalna 1x0(lna)2 2lnlnalna 2+2lnlnalna下面证明存在实数 t,使得 u(t) 时,有1lnau(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+ + =-(ln a)2x2+x+1+ + ,1lna2lnlnalna 1lna2lnlnalna所以存在实数 t,使得 u(t)0.因此,当 a 时,存在 x1(-,+),使得 u(x1)=0.e1e所以,当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线, 也是曲线 y=g(x)的切线.e1e
