1、1增分突破五 电磁感应与动量观点综合问题增分策略1.应用动量定理解题的基本思路(1)确定研究对象,在中学阶段用动量定理讨论的问题,其研究对象一般仅限于单个物体或能看成一个物体的系统。(2)对物体进行受力分析,可以先求每个力的冲量,再求各力冲量的矢量和合力的冲量;或先求合力,再求其冲量。(3)抓住过程的初、末状态,选好正方向,确定各动量和冲量的正负号。(4)根据动量定理列方程,如有必要还需要其他补充方程。最后代入数据求解。2.应用动量定理的注意事项(1)一般来说,用牛顿第二定律能解决的问题,用动量定理也能解决,如果题目不涉及加速度和位移,用动量定理求解更简单。动量定理不仅适用于恒力,也适用于变力
2、。为变力时,动量定理中的力 F 应理解为变力在作用时间内的平均值。(2)动量定理的表达式是矢量式,运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向,公式中的 F 是物体或系统所受的合力。3.电磁感应与动量的结合主要有两个考点(1)对与单杆模型,则是与动量定理结合。例如在光滑水平轨道上运动的单杆(不受其他力作用),由于在磁场中运动的单杆为变速运动,则运动过程所受的安培力为变力,依据动量定理 t=P,而又由于F安t=B Lt=BLq,q=N =N ,P=mv 2-mv1,由以上四式将流经杆的某一横截面积的电荷量 q、杆位移F安 I R总 BLxR总x 及速度变化结合一起。(2)对于双杆模型,
3、除受到的安培力之外,受到的其他外力之和为零时,与动量守恒结合考查较多。典例 1 如图所示,一质量为 m 的金属杆 ab,以一定的初速度 v0从一光滑平行金属轨道的底端向上滑行,轨道平面与水平面成 角,两导轨上端用一电阻相连,磁场方向垂直轨道平面向上,轨道与金属杆ab 的电阻不计并接触良好。金属杆向上滑行到某一高度 h 后又返回到底端( )A.整个过程中合外力的冲量大小为 2mv0B.上滑过程中电阻 R 上产生的焦耳热等于下滑过程中电阻 R 上产生的焦耳热2C.下滑过程中电阻 R 上产生的焦耳热小于 m -mgh12v20D.整个过程中重力的冲量大小为零答案 C解析 经过同一位置时,下滑的速度小
4、于上滑的速度,所以返回底端时的速度小于 v0,根据动量定理可知,整个过程中合外力的冲量大小小于 2mv0,故 A 错误;在同一位置,棒下滑时受到的安培力小于上滑时所受的安培力,则下滑过程安培力的平均值小于上滑过程安培力的平均值,所以上滑过程导体棒克服安培力做功大于下滑过程克服安培力做功,故上滑过程中电阻 R 产生的热量大于下滑过程中电阻 R 上产生的热量,故B 错误。对下滑过程根据动能定理得:Q= mv2-mgh,因为 vv0,所以 Q m -mgh,故 C 正确;重力的冲量12 12v20I=mgt,时间不为零,冲量不为零,故 D 错误。典例 2 如图所示,两根足够长的固定平行金属光滑导轨位
5、于同一水平面上,导轨上横放着的两根相同的导体棒 ab、cd 与导轨构成矩形回路。导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧,两棒的中间用细线绑住,它们的电阻均为 R,回路上其余部分的电阻不计,在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场。开始时,导体棒处于静止状态。剪断细线后,导体棒在运动过程中( )A.回路中有感应电动势B.两根导体棒所受安培力的方向相同C.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能守恒D.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能不守恒答案 D解析 剪断细线后,导体棒在运动过程中,由于弹簧的作用,导体棒 ab、cd 反向运动,在导体棒运动的过程中,穿过导体棒 ab、cd 与
6、导轨构成的矩形回路的磁通量增大,回路中产生感应电动势,导体棒 ab、cd中的电流方向相反,根据左手定则可知两根导体棒所受安培力的方向相反,故 A、B 错误。两根导体棒和弹簧构成的系统在运动过程中所受合外力为 0,所以系统动量守恒,但是由于产生感应电流,一部分机械能转化为内能,所以系统机械能不守恒。典例 3 如图甲所示,间距 L=0.4 m 的金属轨道竖直放置,上端接定值电阻 R1=1 ,下端接定值电阻R2=4 。其间分布着两个有界匀强磁场区域:区域内的磁场方向垂直纸面向里,其磁感应强度 B1=3 T;区域内的磁场方向竖直向下,其磁感应强度 B2=2 T。金属棒 MN 的质量 m=0.12 kg
7、,在轨道间的电阻3r=4 ,金属棒与轨道间的动摩擦因数 =0.8。现从区域的上方某一高度处静止释放金属棒,当金属棒 MN 刚离开区域后 B1便开始均匀变化。整个过程中金属棒的速度随下落位移的变化情况如图乙所示,v2-x 图像中除 ab 段外均为直线,Oa 段与 cd 段平行。金属棒在下降过程中始终保持水平且与轨道间接触良好,轨道电阻及空气阻力忽略不计,两磁场间互不影响。求:(g 取 10 m/s2)(1)金属棒在图像上 a、c 两点对应的速度大小;(2)金属棒经过区域的时间;(3)B1随时间变化的函数关系式(从金属棒离开区域后开始计时);(4)从金属棒开始下落到刚进入区域的过程中回路中产生的焦
8、耳热。答案 见解析解析 (1)金属棒在 00.2 m 内未进入区域,做自由落体运动,有 =2gx1,x1=0.2 m,解得 va=2 m/sv2a由图乙可知在 bc 阶段,金属棒速度保持不变,安培力与重力是平衡力,mg=B 1IL,I= ,B1LvcR总金属棒在区域切割磁感线,相当于电源,R 1、R 2并联后接在电源两端,电路中总电阻 R 总 =r+ =4.8 R1R2R1+R2联立得 vc=4 m/s(2)从 a 点到 c 点,根据动量定理得 mgt-B1 Lt=mvc-mvaIq= t= ,x2=2.7 m-0.2 m=2.5 mIB1Lx2R总解得 t=0.825 s(3)由图乙可知金属
9、棒进入区域后速度大小保持不变,mg=B 2I 棒 L,解得 I 棒 = A158磁场区域为等效感生电源,金属棒与 R2并联后再与 R1串联干路电流 I 总 =2I 棒 = A,R 总 =R1+ =3 154 rR2r+R2Lx2 =I 总 R 总 ,解得 =11.25 T/s B1 t B1 t4若金属棒在导轨正面,则 B1=(3+11.25t)T若金属棒在导轨背面,则 B1=(3-11.25t)T(4)Q1=mg(x1+x2)- m ,得 Q1=2.28 J12v2cx3=vct+ gt2,x3=3.15 m-2.7 m=0.45 m,得 t=0.1 s12Q2= R 总 t= 30.1 J
10、4.22 JI2总 (154)2Q=Q1+Q2=6.50 J增分专练1.如图所示,水平放置的、足够长的光滑金属轨道与光滑倾斜轨道以小圆弧平滑对接。在倾斜轨道上高h=1.8 m 处放置一金属杆 a,在平直轨道靠右端处放置另一金属杆 b,平直轨道区域有竖直向上的匀强磁扬。现由静止释放杆 a,杆 a 下滑到水平轨道后即进入磁场,此时杆 b 的速度大小为 v0=3 m/s,方向向左。已知 ma=2 kg,mb=1 kg,金属杆与轨道接触良好,g 取 10 m/s2。求:(1)杆 a 下滑到水平轨道上瞬间的速度大小。(2)杆 a、b 在水平轨道上的共同速度大小。(3)在整个过程中电路消耗的电能。答案 (
11、1)6 m/s (2)3 m/s (3)27 J解析 (1)设杆 a 下滑到水平轨道瞬间的速度为 va,杆 a 从斜轨道上下滑到水平轨道的过程中,只有重力做功,由机械能守恒定律得 magh= ma12v2a解得 va=6 m/s。(2)当 a 以 6 m/s 的速度进入匀强磁场后,a、b 两杆所受的安培力等大反向,合力为零,最终一起匀速运动。设共同的速度为 v,取水平向右为正,由动量守恒定律得mava-mbv0=(ma+mb)v解得 v=3 m/s(3)设消耗的电能为 E,由能量守恒定律得 E= ma + mb - (ma+mb)v212v2a12v2012代入数据解得 E=27 J。52.如
12、图所示,相距较远的水平轨道与倾斜轨道用导线相连,MNEF、PQGH,且组成轨道的两个金属棒间距都为 L。金属细硬杆 ab、cd 分别与轨道垂直,质量均为 m,电阻均为 R,与轨道间动摩擦因数均为 ,导轨电阻不计。水平轨道处于竖直向上、磁感应强度为 B1的匀强磁场中;倾斜轨道与水平面成 角,磁感应强度为 B2的匀强磁场平行于倾斜轨道向下。当 ab 杆在平行于水平轨道的拉力作用下做匀速运动时,cd 杆由静止开始沿倾斜轨道向下以加速度 a=g sin 运动。设 ab、cd 与轨道接触良好,重力加速度为g。求:(1)通过 cd 杆的电流大小和方向;(2)ab 杆匀速运动的速度的大小和拉力的大小;(3)
13、cd 杆由静止开始沿轨道向下运动距离 x 的过程中,整个回路产生的焦耳热。答案 (1) ,方向由 d 流向 cmgcosB2L(2) ( +)mg2mgRcosB1B2L2 B1cosB2(3)2m2g2Rcos2B22L2 2xgsin解析 (1)根据 cd 杆以加速度 a=g sin 沿轨道向下做匀加速运动,可知 cd 杆不受摩擦力的作用,即安培力和重力垂直于导轨方向的分力平衡,所以安培力垂直于导轨向上,cd 杆的电流方向为由 d 流向 c由 mg cos =B 2IL可得 I=mgcosB2L(2)cd 杆的电流方向为由 d 流向 c,可得 ab 杆的电流方向为由 a 流向 b,再根据右
14、手定则判断,得 ab 杆匀速运动的速度方向为水平向右。拉力方向水平向右,摩擦力和安培力方向水平向左。由 I=B1Lv2R得 v=2mgRcosB1B2L2ab 杆所受拉力 F=F 安 +mg=B 1IL+mg=( +)mgB1cosB2(3)对 cd 杆由运动学公式 x= at2126得运动时间为 t= =2xa 2xgsin整个回路中产生的焦耳热为 Q=I22Rt= 。2m2g2Rcos2B22L2 2xgsin3.如图所示,水平面内固定两对足够长的平行光滑导轨,左侧两导轨间的距离为 2L,右侧两导轨间的距离为 L,左、右两部分用导线连接,左、右侧的两导轨间都存在磁感应强度为 B、方向竖直向
15、下的匀强磁场。两均匀的导体棒 ab 和 cd 分别垂直放在左、右两侧的导轨上,ab 棒的质量为 2m、有效电阻为 2r,而 cd棒的质量为 m、有效电阻为 r,其他部分的电阻不计。原来两棒都处于静止状态,现给以一大小为 I0、方向平行导轨向右的冲量使 ab 棒向右运动,在达到稳定状态时,两棒均未滑出各自的轨道。求:(1)cd 棒中的最大电流 Im;(2)cd 棒的最大加速度;(3)两棒达到稳定状态时,各自的速度。答案 (1) (2) (3)见解析BLI03mr B2L2I03m2r解析 (1)ab 棒获得一冲量,所以初速度 v0=I02m分析知开始时回路中的感应电动势最大,最大值为 Em=2B
16、Lv0所以 cd 棒中最大感应电流 Im= =Em2r+rBLI03mr(2)cd 棒受到的最大安培力 Fm=BImLcd 棒的最大加速度 am= =FmmB2L2I03m2r(3)当两棒中感应电动势大小相等时系统达到稳定状态,有 2BLvab=BLvcd由 ab 棒与 cd 棒中感应电流大小总是相等,可知安培力对 ab 棒与 cd 棒的冲量大小关系为 Iab=2Icd根据动量定理对 ab 棒有 I0-Iab=2mvab根据动量定理对 cd 棒有 Icd=mvcd解得 vab= ,vcd= 。I06m I03m4.如图甲所示,两个形状相同、倾角均为 37的足够长的斜面对接在一起,左侧斜面粗糙,
17、右侧斜面光滑。一个电阻不计、质量 m=1 kg 的足够长的 U 形金属导轨 MMNN 置于左侧斜面上,导轨 MMNN 与斜面间的动摩擦因数 =0.5,质量 m=1 kg、电阻为 R 的光滑金属棒 ab 通过跨过定滑轮的轻质绝缘细线与质量为 m0的滑块相连,金属棒 ab 与导轨 MMNN 接触良好且始终垂直(金属棒 ab 始终不接触左侧斜面),左侧7斜面处于垂直斜面向下的匀强磁场中。初始状态时,托住滑块,使导轨 MMNN、金属棒 ab 及滑块组成的系统处于静止状态,某时刻释放滑块,当其达到最大速度时,导轨 MMNN 恰好要向上滑动。已知细线始终与斜面平行,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,sin 37
18、=0.6,cos 37=0.8,重力加速度 g 取 10 m/s2。甲乙(1)求滑块的质量 m0。(2)以释放滑块的时刻为计时起点,滑块的速度 v 随时间 t 的变化情况如图乙所示,若匀强磁场的磁感应强度 B=2 T,导轨 MMNN 宽度 L= m,求在滑块加速运动过程中系统产生的焦耳热。7答案 (1) kg (2)3.3 J103解析 (1)金属框将要向上运动时,由平衡知识可知mg sin 37+2mg cos 37=F 安解得 F 安 =14 N对滑块及金属棒组成的系统,由平衡条件可知:mg sin 37+F 安 =m0g sin 37解得 m0= kg103(2)达到最大速度时,安培力
19、F 安 =BIL= =14 NB2L2vR由图乙知最大速度 v=1 m/s解得 R=2 加速阶段对滑块以及金属棒 ab 组成的系统,由动量定理可知:m 0gt sin 37-mgt sin 37-B Lt=(m0+m)vI加速阶段通过金属棒 ab 的电荷量为 q= tI结合法拉第电磁感应定律以及闭合电路的欧姆定律可得 q= = R BLxR8解得 x= m41105加速阶段由能量守恒定律得 m0gx sin 37=mgx sin 37+ (m0+m)v2+Q12解得 Q=3.3 J即滑块在加速运动过程中系统产生的焦耳热为 3.3 J。5.如图所示,水平放置的平行光滑导轨,固定在桌面上,宽度为
20、L,处在磁感应强度为 B,竖直向下的匀强磁场中。桌子离开地面的高度为 H。初始时刻,质量为 m 的杆 ab 与导轨垂直且静止,距离导轨边缘为d。质量同为 m 的杆 cd 与导轨垂直,以初速度 v0进入磁场区域。最终发现两杆先后落在地面上。已知两杆的电阻均为 R,导轨电阻不计,两杆落地点之间的距离为 s。求:(1)ab 杆从磁场边缘射出时的速度大小;(2)ab 杆射出时,cd 杆运动的距离;(3)在两根杆相互作用的过程中,回路中产生的电能。答案 见解析解析 (1)设 ab、cd 杆从磁场边缘射出时的速度分别为 v1、v 2。设 ab 杆落地点的水平位移为 x,cd 杆落地点的水平位移为 x+s,
21、则有x=v1 (1 分)2Hgx+s=v2 (1 分)2Hg根据动量守恒 mv0=mv1+mv2(1 分)我们可以求出 v2= + v 1= - (1 分)v02s2 g2H v02s2 g2H(2)ab 杆运动距离为 d,对 ab 杆应用动量定理BILt=BLq=mv 1(1 分)设 cd 杆运动距离为 d+xq= = (1 分) 2R BL x2R9解得 x= (1 分)2Rmv1B2L2cd 杆运动距离为 d+x=d+ (1 分)2RmB2L2(v02-s2 g2H)(3)根据能量守恒,电路中损耗的焦耳热等于体系损失的机械能Q= m - m - m = m - (2 分)12v2012v
22、2112v2214v20mgs28H6.如图所示,MN、PQ 是固定在水平桌面上,相距 l=1.0 m 的光滑平行金属导轨,MP 两点间接有 R=0.6 的定值电阻,导轨电阻不计。质量均为 m=0.1 kg,阻值均为 r=0.3 的两导体棒 a、b 垂直于导轨放置,并与导轨良好接触。开始时两棒被约束在导轨上处于静止,相距 x0=2 m,a 棒用细丝线通过光滑滑轮与质量为 m0=0.2 kg 的重物 c 相连,重物 c 距地面高度 h=2 m。整个桌面处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度 B=1.0 T。a 棒解除约束后,在重物 c 的拉动下开始运动(运动过程中丝线始终与 b 棒没有作用),当a
23、 棒即将到达 b 棒位置前一瞬间,b 棒的约束被解除,此时 a 棒已经匀速运动,试求:(1)a 棒匀速运动时棒中的电流大小;(2)已知 a、b 两棒相碰后即粘合成一根“更粗的棒”,假设导轨足够长,试求该“粗棒”能运动的距离;(3)a 棒解除约束后整个过程中装置产生的总焦耳热。答案 (1)2 A (2)0.075 m (3)3.875 J解析 (1)由题意 m0g=BlIa可得 Ia=2 A(2)设碰前 a 棒的速度为 v,则Ia=BlvR总R 总 = +r= +0.3 =0.5 RrR+r 0.60.30.6+0.3v=1 m/sab 碰撞过程:mv=2mvv=0.5 m/s10ab 碰撞后的整体运动过程- lBt=0-2mvIq= t=IBlxR+r2得 x=0.075 m(3)发生碰撞前m0gh-Q1= (m0+m)v212得 Q1=3.85 J发生碰撞后 Q2= mv2=0.025 J12所以整个运动过程 Q=Q1+Q2=3.875 J
