1、1增分突破四 电磁感应与动力学和能量观点综合问题增分策略1.电磁感应与力学问题联系的桥梁是磁场对感应电流的安培力。解答电磁感应中的力学问题,在分析方法上,要始终抓住导体的受力(特别是安培力)特点及其变化规律,明确导体的运动过程以及运动过程中状态的变化,准确把握运动状态的临界点。解决电磁感应中的力、电问题的关键有以下几点(1)电学对象电源:E=BLv 或 E=n 分析电路的结构利用电路的规律如 E=I(R+r)或 U=E-Ir。 t(2)力学对象受力分析:F 安 =BILF 合 =ma。过程分析:F 合 =mavEIF 安 。(3)临界点:运动状态的临界点。2.从能量观点解决电磁感应问题与解决力
2、学问题时的分析方法相似,只是多了一个安培力做功、多了一个电能参与能量转化,因此需要明确安培力做功及电能转化的特点。电磁感应中焦耳热的三种求法:(1)根据定义式 Q=I2Rt 计算;(2)利用克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热计算;(3)利用能量守恒定律计算。典例 1 将一斜面固定在水平面上,斜面的倾角为 =30,其上表面绝缘且斜面的顶端固定一挡板,在斜面上加一垂直斜面向上的匀强磁场,磁场区域的宽度为 H=0.4 m,如图甲所示,磁场边界与挡板平行,且上边界到斜面顶端的距离为 x=0.55 m。将一通电导线围成的矩形导线框 abcd 置于斜面的底端,已知导线框的质量为 m=0.1 kg、导线
3、框的电阻为 R=0.25 、ab 的长度为 L=0.5 m。从 t=0 时刻开始在导线框上加一恒定的拉力 F,拉力的方向平行于斜面向上,使导线框由静止开始运动,当导线框的下边与磁场的上边界重合时,将恒力 F 撤走,最终导线框与斜面顶端的挡板发生碰撞,碰后导线框以等大的速度反弹,导线框沿斜面向下运动。已知导线框向上运动的 v-t 图像如图乙所示,导线框与斜面间的动摩擦因数为= ,整个运动过程中导线框没有发生转动,且始终没有离开斜面,g=10 m/s 2。33(1)求在导线框上施加的恒力 F 以及磁感应强度的大小;2(2)若导线框沿斜面向下运动通过磁场时,其速度 v 与位移 s 的关系为 v=v0
4、- s,其中 v0是导线框 ab 边B2L2mR刚进入磁场时的速度大小,s 为导线框 ab 边进入磁场区域后对磁场上边界的位移大小,求整个过程中导线框中产生的热量 Q。答案 (1)1.5 N 0.50 T (2)0.45 J解析 (1)由 v-t 图像可知,在 00.4 s 时间内导线框做匀加速直线运动,进入磁场时的速度为 v1=2.0 m/s,所以在 00.4 s 时间内的加速度 a= =5.0 m/s2 v t由牛顿第二定律有 F-mg sin -mg cos =ma解得 F=1.5 N由 v-t 图像可知,导线框进入磁场区域后以速度 v1做匀速直线运动,通过导线框的电流 I= =ERBL
5、v1R导线框所受安培力 F 安 =BIL对于导线框匀速运动的过程,由力的平衡条件有F=mg sin +mg cos +B2L2v1R解得 B=0.50 T。(2)导线框进入磁场区域后做匀速直线运动,并以速度 v1匀速穿出磁场,说明导线框的宽度等于磁场的宽度 H。导线框 ab 边离开磁场后做匀减速直线运动,到达挡板时的位移为 x0=x-H=0.15 m设导线框与挡板碰撞前的速度大小为 v2,由动能定理,有-mg(x-H) sin -mg(x-H) cos = m - m12v2212v21解得:v 2= =1.0 m/sv21-2g(x-H)(sin + cos )导线框碰挡板后速度大小仍为 v
6、2,且 mg sin =mg cos =0.50 Nab 边进入磁场后做减速运动,设导线框全部离开磁场区域时的速度为 v3,由 v=v0- s 得 v3=v2- =-1.0 m/sB2L2mR 2B2L2HmR因 v3 s=1 s,故 D 正确。v0+v2 0+22 xv115.如图所示,PM、QN 是两根 光滑圆弧导轨,圆弧半径为 d、间距为 L,最低点 M、N 在同一水平高度,导轨14电阻不计,在其上端连有一阻值为 R 的电阻,整个装置处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。现有一根长度稍大于 L、质量为 m、阻值为 R 的金属棒,从导轨的顶端 PQ 处由静止开始下滑,到达底端 MN
7、 时对导轨的压力为 2mg,求:(1)金属棒到达导轨底端 MN 时电阻 R 两端的电压;(2)金属棒从导轨顶端 PQ 下滑到底端 MN 过程中,电阻 R 产生的热量;(3)金属棒从导轨顶端 PQ 下滑到底端 MN 过程中,通过电阻 R 的电荷量。答案 (1) BL (2) (3)12 gd mgd4 BLd2R解析 (1)在导轨的底端 MN 处,金属棒对导轨的压力 FN=2mg,轨道对金属棒的支持力大小为 FN=FN=2mg,则有 FN-mg=mv2d解得 v= gd金属棒切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv金属棒到达底端时电阻两端的电压 U= = BLE212 gd(2)金属棒下滑过程中,
8、由能量守恒定律得 mgd=Q+ mv212解得 Q= mgd12电阻 R 上产生的热量 QR= Q=12 mgd4(3)由 q=ItI=E2RE= = tBLd t9联立解得 q=BLd2R6.如图甲所示,绝缘水平面上有一间距 L=1 m 的金属“U”形导轨,导轨右侧接一 R=3 的电阻。在“U”形导轨中间虚线范围内存在垂直导轨向下的匀强磁场,磁场的宽度 d=1 m,磁感应强度 B=0.5 T。现有一质量为 m=0.1 kg,电阻 r=2 、长为 L=1 m 的导体棒 MN 以一定的初速度从导轨的左端开始向右运动,穿过磁场的过程中,线圈中的感应电流 i 随时间 t 变化的图像如图乙所示。已知导
9、体棒与导轨之间的动摩擦因数 =0.3,导轨电阻不计,则导体棒 MN 穿过磁场的过程中,求:(1)MN 刚进入磁场时的速度大小;(2)电阻 R 产生的焦耳热;(3)导体棒通过磁场的时间。答案 (1)5 m/s (2)0.3 J (3)0.5 s解析 (1)MN 刚进入磁场时,根据闭合电路欧姆定律得i0= (1 分)ER根据法拉第电磁感应定律得 E=BLv0(1 分)联立解得 v0= =5 m/s(1 分)i0(R+r)BL(2)导体棒通过磁场过程,由动能定理得-mgd-W 安 = mv2- m (1 分)12 12v20而 v= =3 m/s(1 分)i1(R+r)BLQR= W 安 (1 分)
10、RR+r联立解得:Q R=0.3 J(1 分)(3)导体棒通过磁场过程,由动量定理得-mgt-BILt=mv-mv 0(1 分)t= (1 分)-I BLdR+r联立解得 t=0.5 s(1 分)7.间距为 L=2 m 的足够长的金属直角导轨如图所示放置,它们各有一边在同一水平面内,另一边垂直于水平面。质量均为 m=0.1 kg 的金属细杆 ab、cd 与导轨垂直放置形成闭合回路。细杆与导轨之间的动10摩擦因数均为 =0.5,导轨的电阻不计,细杆 ab、cd 的电阻分别为 R1=0.6 ,R 2=0.4 。整个装置处于磁感应强度大小为 B=0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)。
11、当 ab 杆水平在平行于水平导轨的拉力 F 作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时,cd 杆也同时从静止开始沿导轨向下运动,且 t=0时,F=1.5 N。g=10 m/s 2。(1)求 ab 杆的加速度 a。(2)求当 cd 杆达到最大速度时 ab 杆的速度大小。(3)若从 t=0 到 cd 杆达到最大速度的过程中拉力 F 做的功为 5.2 J,求该过程中 ab 杆所产生的焦耳热。答案 (1)10 m/s 2 (2)2 m/s (3)2.94 J解析 (1)由题意可知,在 t=0 时,F=1.5 N对 ab 杆进行受力分析,由牛顿第二定律得 F-mg=ma代入数据解得 a=10 m/s2。(2)从
12、 d 向 c 看,对 cd 杆进行受力分析,如图所示,当 cd 杆速度最大时,ab 杆的速度大小为 v,有Ff=mg=F N,FN=F 安 ,F 安 =BIL,I=BLvR1+R2联立以上各式,解得 v=2 m/s(3)整个过程中,ab 杆发生的位移x= = m=0.2 mv22a 22210对 ab 杆应用动能定理,有WF-mgx-W 安 = mv212代入数据解得 W 安 =4.9 J根据功能关系得 Q 总 =W 安所以 ab 杆上产生的热量Qab= Q 总 =2.94 J。R1R1+R2118.如图所示,MN、PQ 为光滑平行的水平金属导轨,电阻 R=3.0 ,置于竖直向下的有界匀强磁场
13、中,OO为磁场边界,磁感应强度 B=1.0 T,导轨间距 L=1.0 m,质量 m=1.0 kg 的导体棒垂直置于导轨上且与导轨接触良好,导体棒接入电路的电阻为 r=1.0 。t=0 时刻,导体棒在水平拉力 F0作用下从 OO左侧某处由静止开始以加速度 a0=1.0 m/s2做匀加速运动,t 0=2.0 s 时刻进入磁场继续运动,导体棒始终与导轨垂直。(1)求 0t0时间内导体棒受到拉力的大小 F0及 t0时刻进入磁场时回路的电功率 P0;(2)求导体棒 t0时刻进入磁场瞬间的加速度 a;若此后导体棒在磁场中以加速度 a 做匀加速运动至t1=4.0 s 时刻,求 t0t1时间内通过电阻 R 的
14、电荷量 q;(3)在(2)情况下,已知 t0t1时间内拉力做功 W=5.7 J,求此过程回路中产生的焦耳热 Q。答案 (1)1.0 N 1.0 W (2)0.5 m/s 2 1.25 C (3)3.2 J解析 (1)由导体棒在进入磁场前运动的加速度 a0,可得F0=ma0=1.0 N导体棒在 t0时刻速度 v0=a0t0=2 m/s导体棒在 t0时刻产生的电动势 E=BLv0电功率 P0= = =1.0 W。E2R+r(BLv0)2R+r(2)回路在 t0时刻产生的感应电流 I=ER+r导体棒在 t0时刻受到的安培力 F 安 =BIL根据牛顿第二定律有 F0-F 安 =ma代入数据解得 a=0
15、.5 m/s2导体棒在 t0t1时间内的位移x=v0(t1-t0)+ a(t1-t0)2=5 m12则在 t0t1时间内通过导体棒的电荷量q= = = =1.25 C。 R+rB SR+r BLxR+r(3)t1时刻导体棒的速度 v=v0+a(t1-t0)由动能定理有 W+W 安 = mv2- m12 12v2012Q=-W 安 =W- m(v2- )=3.2 J。12 v029.如图,足够长的金属导轨 MN、PQ 平行放置,间距为 L,与水平面成 角,导轨与定值电阻 R1和 R2相连,且 R1=R2=R,R1支路串联开关 S,原来 S 闭合。匀强磁场垂直导轨平面向上,有一质量为 m、有效电阻
16、也为R 的导体棒 ab 与导轨垂直放置,它与导轨始终接触良好,受到的摩擦力为 Ff= mg sin 。现将导体棒 ab14从静止释放,沿导轨下滑,当导体棒运动达到稳定状态时速率为 v,已知重力加速度为 g,导轨电阻不计,求:(1)匀强磁场的磁感应强度 B 的大小;(2)如果导体棒 ab 从静止释放沿导轨下滑 x 距离后达到稳定状态,这一过程回路中产生的电热是多少?(3)导体棒 ab 达到稳定状态后,断开开关 S,将做怎样的运动?若从这时开始导体棒 ab 下滑一段距离后,通过导体棒 ab 横截面的电荷量为 q,求这段距离是多少?答案 (1) (2) mgx sin - mv232L mgRsin
17、2v 34 12(3)4q3 2vRmgsin解析 (1)回路中的总电阻为 R 总 = R32当导体棒 ab 以速度 v 匀速下滑时棒中的感应电动势为 E=BLv此时棒中的感应电流为 I=ER总mg sin =BIL+F f解得 B=32L mgRsin2v(2)导体棒 ab 减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和,故有 mg sin x= mv2+Q+Ffx12解得 Q= mg sin x- mv234 12(3)S 断开后,导体棒先做加速度减小的加速运动,最后做匀速直线运动回路中的总电阻为:R 总 =2R设这一过程经历的时间为 t,这一过程回路中的平均感应电
18、动势为 ,通过导体棒 ab 的平均感应电流为E,导体棒 ab 下滑的距离为 s,则 = = , = =I E tBLs tI ER总 BLs2R t13得 q= t=IBLs2R解得 s=4q3 2vRmgsin10.两平行且电阻不计的金属导轨相距 L=1 m,金属导轨由水平和倾斜两部分(均足够长)良好对接,倾斜部分与水平方向的夹角为 37,整个装置处在竖直向上、磁感应强度 B=2 T 的匀强磁场中。长度也为 1 m 的金属棒 ab 和 cd 垂直导轨跨搁,且与导轨良好接触,质量均为 0.2 kg,电阻分别为 R1=2 ,R 2=4 。ab 置于导轨的水平部分,与导轨的动摩擦因数为 =0.5,
19、cd 置于导轨的倾斜部分,导轨倾斜部分光滑。从 t=0 时刻起,ab 棒在水平且垂直于 ab 棒的外力 F1的作用下由静止开始向右做匀加速直线运动,金属棒 cd 在力 F2的作用下保持静止,F 2平行于倾斜导轨平面且垂直于金属杆 cd。当 t1=4 s 时,ab 棒消耗的电功率为 2.88 W。已知 sin 37=0.6,cos 37=0.8,重力加速度 g=10 m/s2。求:(1)ab 棒做匀加速直线运动的加速度大小;(2)求 t2=8 s 时作用在 cd 棒上的力 F2的大小;(3)改变 F1的作用规律,使 ab 棒运动的位移 x 与速度 v 满足 x=2v(m),要求 cd 仍然要保持
20、静止状态。求ab 棒从静止开始运动 x=4 m 的过程中,作用在 ab 棒上的力 F1所做的功(结果可用分数表示)。答案 (1)0.9 m/s 2 (2)2.64 N (3) J10615解析 (1)当 t1=4 s 时,ab 消耗的电功率为 2.88 W,有 Pab= R1I21代入数据解得 I1=1.2 A回路中的电动势 E1=I1(R1+R2)由法拉第电磁感应定律知 E1=BLv1导体棒 ab 做匀加速直线运动,v 1=at1由得,a=0.9 m/s 2(2)当 t2=8 s 时,导体棒 ab 的速度 v2=at2回路中的电流 I2= = =2.4 AE2R1+R2 BLv2R1+R2导
21、体棒 cd 所受安培力 F2 安 =BI2L=4.8 N设导体棒 cd 所受的力 F2沿斜面向下,有 F2+mg sin =F 2 安 cos 14由得 F2=2.64 N,故假设成立,所以 F2的方向沿斜面向下。(3)设 ab 棒的速度为 v 时,回路中的电流为 I= =ER1+R2 BLvR1+R2此时金属棒 ab 所受安培力大小为 F 安 =BIL由题意知 ab 棒运动的位移 x 与速度 v 的关系:x=2v(m)联立 ,并代入数据得 F 安 = (N)x3ab 棒从静止开始运动 x=4 m 的过程中,克服安培力所做的功为W 克安 = x= x J= JF安0+x32 83对金属棒 ab,由动能定理有:W 拉 -W 克安 -mgx= mv212由 得 W 拉 = J10615
