1、1第六节 导数的综合应用(二)A 组 基础题组1.(2019 安徽黄山一模)已知函数 f(x)=m -2lnx(mR),g(x)=- ,若至少存在一个 x01,e,使得(x-1x) mxf(x0)0,解得 a-e2,所以此时-e 20).(1)若 k=1,求 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)有且只有一个零点,求实数 k 的值.解析 (1)k=1,f(x)=x-lnx,定义域为(0,+),则 f(x)=1- ,由 f(x)0 得 x1,由 f(x)0),lnxx2令 g(x)= (x0),则 g(x)= ,lnxx 1-lnxx2当 x=e 时,g(x)=0;当 00;当 xe 时,g
2、(x)0,要使 f(x)有且只有一个零点,则 k= .1e解法二:f(x)=kx-lnx,f(x)=k- = (x0,k0).1xkx-1x当 x= 时,f(x)=0;当 0 时,f(x)0.1kf(x)在 上单调递减,在 上单调递增,(0,1k) (1k,+ )f(x) min=f =1-ln ,f(x)有且只有一个零点,(1k) 1k1-ln =0,即 k= .1k 1e4.函数 f(x)= x3+ax2+bx+c(a,b,cR)的导函数的图象如图所示:13(1)求 a,b 的值并写出 f(x)的单调区间;(2)若函数 y=f(x)有三个零点,求 c 的取值范围.解析 (1)因为 f(x)
3、= x3+ax2+bx+c,13所以 f(x)=x2+2ax+b.由题图知 f(x)=0 的两个根为-1,2,所以 解得 a=- ,b=-2,-1+2= -2a,-12=b, 12由导函数的图象可知,当-12 时,f(x)0,3故函数 f(x)在(-,-1)和(2,+)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.(2)由(1)得 f(x)= x3- x2-2x+c,13 12函数 f(x)在(-,-1),(2,+)上是增函数,在(-1,2)上是减函数,所以函数 f(x)的极大值为 f(-1)= +c,极小值为 f(2)=c- .76 103而函数 f(x)恰有三个零点,故必有 解得- 0,c-103
4、0),ax-1ax2当 a0 恒成立,函数 f(x)在(0,+)上单调递增.当 a0 时,由 f(x)= 0,得 x ,ax-1ax2 1a由 f(x)= 0 时,函数 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.(1a,+ ) (0,1a)(2)当 x 时,函数 g(x)=(lnx-1)ex+x-m 的零点,1e,e即当 x 时,方程(lnx-1)e x+x=m 的根.1e,e令 h(x)=(lnx-1)ex+x,h(x)= ex+1.(1x+lnx-1)由(1)知当 a=1 时,f(x)=lnx+ -1 在 上单调递减,在(1,e)上单调递增,1x (1e,1)当 x 时,f(x)f(1)=0
5、.1e,e4 +lnx-10 在 x 上恒成立.1x 1e,eh(x)= ex+10+10,(1x+lnx-1)h(x)=(lnx-1)e x+x 在 x 上单调递增.1e,eh(x) min=h =-2 + ,h(x)max=h(e)=e.(1e) e1e1e当 me 时,函数 g(x)在 上没有零点;e1e1e 1e,e当-2 + me 时,函数 g(x)在 上有一个零点.e1e1e 1e,e2.(2019 河南开封定位考)已知函数 f(x)=alnx+ -bx+1.1x(1)当 a=0 时,函数 f(x)的极小值为 5,求负数 b 的值;(2)若 b=-1,F(x)=f(x)- ,且当 a-4 时,不等式 F(x)2 在区间1,4上有解,求实数 a 的取值范围.5x解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+).当 a=0 时,f(x)= -bx+1(b4 时,设 x2+ax+4=0(=a 2-160)的两根分别为 x1,x2,则 故 x10,故 F(x)在1,4上单调递增 ,M=F(4).x2+ax+4x2综上,当 a-4 时,F(x)在1,4上的最大值 M=F(4)=4-1+aln4+12,解得 a- ,1ln2所以实数 a 的取值范围是 .-1ln2,+ )
