1、1第三节 函数的奇偶性与周期性A 组 基础题组1.下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且与其在(-,0)上的单调性也相同的是( ) A.y= B.y=log2|x| C.y=1-x2D.y=x3-11x答案 C 函数 y=-3|x|为偶函数,在(-,0)上为增函数,选项 A 的函数为奇函数,不符合要求;选项 B 的函数是偶函数,但其单调性不符合要求;选项 D 的函数为非奇非偶函数,不符合要求;只有选项 C 符合要求.2.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)=log 3(x+1)+a,则 f(-8)=( )A.-3-a B.3+a C.-2 D.2答案
2、 C 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(0)=a=0,f(-8)=-f(8)=-log3(8+1)=-2.3.如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )A.y=x+f(x) B.y=xf(x) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)答案 B 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,y=x 为奇函数,所以 y=xf(x)一定为偶函数.4.已知函数 f(x)=x3+sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为( )A.3 B.0 C.-1 D.-2答案 B 设 F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然 F(x)为奇函数,又
3、 F(a)=f(a)-1=1,所以 F(-a)=f(-a)-1=-1,所以 f(-a)=0.故选 B.5.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x0,2时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)0 在-1,3上的解集为( )A.(1,3) B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3) D.(-1,0)(0,1)答案 C y=f(x)的图象如图.当 x(-1,0)时,由 xf(x)0 得 x(-1,0);当 x(0,1)时,由 xf(x)0 得 x.当 x(1,3)时,由 xf(x)0 得 x(1,3).故 x(-1,0)(1,3).26.若偶函数 y=f(x)在 R 上是周期为 6 的周期函
4、数,且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3x3),则 f(-6)= .答案 -1解析 f(x)=(x+1)(x-a)(-3x3),f(x)=x 2+(1-a)x-a(-3x3),y=f(x)为偶函数,1-a=0.a=1,f(x)=(x+1)(x-1)(-3x3).易得 f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.7.(2019 甘肃兰州模拟)已知偶函数 f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足 f(2x-1)0 且 a1).x2+1解析 (1)由 0,得-10 时,f(x)= .x1-3x(1)求当 x0,又因为当 x0 时,f(x)= ,x1-3x所以当 x0 时,f(x) ,11-3x 18 13x-118所以 3x-1- ,所以 3-x32,所以 x-2,11-3-x 18所以不等式的解集是(-,-2)(0,2).
