1、1第五节 二次函数与幂函数A 组 基础题组1.下图是y=x a;y=x b;y=x c在第一象限的图象,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.c10-2a,a+10,10-2a0, 9.已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.(1)求 f(x)的解析式;(2)当 x-1,1时,函数 y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象的上方,求实数 m 的取值范围.解析 (1)设 f(x)=ax2+bx+1(a0),由 f(x+1)-f(x)=2x,得 2ax+a+b=2x.所以,2a=2 且 a+b=0,解得 a=1,b=-1.因此 f(x)的解析式为 f(
2、x)=x2-x+1.(2)因为当 x-1,1时,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,所以在-1,1上,x 2-x+12x+m 恒成立,3即 x2-3x+1m 在区间-1,1上恒成立.令 g(x)=x2-3x+1= - ,(x-32)254因为 g(x)在-1,1上的最小值为 g(1)=-1,所以 m0,则-x0),f(x)= x2-2x(x0),x2+2x(x 0).B 组 提升题组1.下图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1.给出下列四个结论:b 24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即 b24ac,正确.
3、图象的对称轴为 x=-1,即- =-1,2a-b=0,错误.b2a4结合图象,当 x=-1 时,y0,即 a-b+c0,错误.由图象的对称轴为 x=-1 知,b=2a.又函数图象开口向下,所以 a1,即 a0),记 f(x)在-1,1上的最小值为 g(a).(1)求 g(a)的表达式;(2)若对 x-1,1,恒有 f(x)g(a)+m 成立,求实数 m 的取值范围.解析 (1)f(x)= x2-3x+3a,x0,-1x1,01 时,f(x)在-1,1上递减,则 g(a)=f(1)=3a-2.综上可得 g(a)=a2,01.(2)令 h(x)=f(x)-g(a),01 时,g(a)=3a-2,h(x)=x 2-3x+2h(-1)=6.综上可得,h(x)=f(x)-g(a)在 a0,-1x1 上的最大值为 6,即有 h(x)m 恒成立,即 m6.所以 m 的取值范围是6,+).
