1、1第七节 对数与对数函数A组 基础题组 1.函数 f(x)= 的定义域是( )ln(x+3)1-2xA.(-3,0) B.(-3,0C.(-,-3)(0,+) D.(-,-3)(-3,0)答案 A 因为 f(x)= ,所以要使函数 f(x)有意义,需使 即-30,1-2x0,2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a0,且 a1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( )A.log2x B. C.lo x D.2x-212x g12答案 A 由题意知 f(x)=logax(x0).f(2)=1,log a2=1.a=2.f(x)=log 2x.3.若 xlog23=1,则 3x+3-x
2、=( )A. B. C. D.53 52 32 23答案 B 因为 xlog23=1,所以 log23x=1,所以 3x=2,3-x= ,所以 3x+3-x=2+ = .故选 B.12 12524.定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x+1)=f(-x),当 x 时,f(x)=log 2(x+1),则 f(x)在区间 上(0,12 (1,32)是( )A.减函数且 f(x)0 B.减函数且 f(x)0 D.增函数且 f(x)0,所以 f(2)=2ln2=2ln2.因为 ln 0且 a1,函数 y=loga(2x-3)+ 的图象恒过点 P.若点 P也在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)=
3、 .2答案 x12解析 函数 y=loga(2x-3)+ 的图象恒过点 P(2, ).设幂函数为 f(x)=x ,因为点 P也在 f(x)的图象2 2上,所以 2 = ,所以 = ,故幂函数为 f(x)= .212 x127.函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 答案 (-,-1);(-1,+)解析 作出函数 y=log2x的图象,再作出其关于 y轴对称的图象即可得到函数 y=log2|x|的图象,再将y=log2|x|的图象向左平移 1个单位长度,就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-,-1)
4、,单调递增区间为(-1,+).8.已知函数 f(x)= 且关于 x的方程 f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数 a的取值范围log2x,x0,3x,x 0,是 . 答案 (1,+)解析 如图,在同一直角坐标系中作出 y=f(x)与 y=-x+a的图象,其中 a表示直线 y=-x+a在 y轴上的截距,由图可知,当 a1时,直线 y=-x+a与函数 f(x)的图象只有一个交点.9.计算:(1)lg +lg70-lg3- ;37 (lg3)2-lg9+1(2)log3 log5( -(3 - .273 412)log210 3)237log72解析 (1)原式=lg -37703 (lg3)
5、2-2lg3+1=lg10- (lg3-1)2=1-|lg3-1|=lg3.3(2)原式=log 3 log510-( )- 3323 33223 7log72= log5(10-3-2)(32log33-log33)= log55(32-1)= .1210.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a0且 a1.(1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明.解析 (1)要使函数 f(x)有意义,则 解得-10,1-x0,故所求函数 f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知 f(x)的定义域为(-1,1),且 f(-x
6、)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-loga(x+1)-loga(1-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.B组 提升题组 1.函数 f(x)=loga(ax-3)在1,3上单调递增,则实数 a的取值范围是( )A.(1,+) B.(0,1)C. D.(3,+)(0,13)答案 D 由于 a0且 a1,所以 u=ax-3为增函数,所以若函数 f(x)在1,3上为增函数,则 f(x)=logau在1,3上必为增函数,所以 a1.又 u=ax-3在1,3上恒为正,所以 a-30,即 a3.2.若函数 f(x)=lo (2x+1)在 上恒有 f(x)0,则实数 a的取值范围是 . ga2
7、-1 (-12,0)答案 (- ,-1)(1, )2 2解析 因为 x ,(-12,0)所以 2x+1(0,1),且 lo (2x+1)0,ga2-1所以 00时,f(x)=lo x.g12(1)求函数 f(x)的解析式;(2)解不等式 f(x2-1)-2.解析 (1)当 x0,则 f(-x)=lo (-x).g12因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=lo (-x),g12所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=log12x,x0,0,x=0,log12(-x),x-2可转化为 f(|x2-1|)f(4).又因为函数 f(x)在(0,+)上是减函数,所以|x 2-1|0得-10,12a-44a =1,5解得 a= .12故存在实数 a= ,使 f(x)的最小值为 0.12
