1、1第二节 导数与函数的单调性A 组 基础题组1.函数 f(x)=ex-ex,xR 的单调递增区间是( )A.(0, +) B.(-,0) C.(-,1) D.(1,+)答案 D 由题意知 f (x)=ex-e,令 f (x)0,解得 x1,故选 D.2.设 f (x)是函数 f(x)的导函数,y=f (x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是( )答案 C 由 f (x)的图象知,当 x(-,0)时, f (x)0, f(x)为增函数,当 x(0,2)时, f (x)0, f(x)为增函数.故选 C.3.已知函数 f(x)=x2+2cos x,若 f (x)是 f(x)的导函数,则
2、函数 y=f (x)的图象大致是( )答案 A 令 g(x)=f (x)=2x-2sin x,则 g(x)=2-2cos x,易知 g(x)0,所以函数 f (x)在 R 上单调递增.4.f(x)=x2-aln x 在(1,+)上单调递增,则实数 a 的取值范围为 ( )A.a2,a2.故选 D.5.对于实数集 R 上的可导函数 f(x),若(x 2-3x+2)f (x)0,所以 f(x)是区间1,2上的单调递增函数,所以在区间1,2上必有 f(1)f(x)f(2).6.若函数 f(x)=x2-ex-ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (-,2ln 2-2解析
3、 f(x)=x2-ex-ax,f (x)=2x-ex-a,函数 f(x)=x2-ex-ax 在 R 上存在单调递增区间,f (x)=2x-ex-a0,即 a2x-ex 有解,令 g(x)=2x-ex,则 g(x)=2-ex,令 g(x)=0,解得 x=ln 2,则当 x0,g(x)单调递增,当 xln 2 时,g(x)0),-设函数 f(x)在定义域内不单调时,a 的取值集合是 A;函数 f(x)在定义域内单调时,a 的取值集合是 B,则 A=RB.函数 f(x)在定义域内单调等价于 f (x)0 恒成立或 f (x)0 恒成立,即 aex-x0 恒成立或 aex-x0 恒成立,3等价于 a
4、恒成立或 a 恒成立. 令 g(x)= (x0),则 g(x)= , 1-由 g(x)0 得 01,所以 g(x)在(1,+)上单调递减.因为 g(1)=,且 x0 时,g(x)0,所以 g(x) .(0,1所以 B= ,|0或 1所以 A= .|00,得 x0,所以 f(x)的单调增区间为(0,+).(2)f (x)=(x-a+1)ex.令 f (x)=0,得 x=a-1.所以当 a-11,即 a2 时,在1,2上, f (x)0 恒成立, f(x)单调递增;当 a-12,即 a3 时,在1,2上, f (x)0 恒成立, f(x)单调递减;当 10, f(x)单调递增.综上,无论 a 为何
5、值,当 x1,2时, f(x)的最大值都为 f(1)或 f(2).f(1)=(1-a)e, f(2)=(2-a)e2,f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当 a = 时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(1)=(1-a)e.22-2-2-1-14当 a -2x2-1,求 a 的取值范围.22解析 (1)f (x)=-(x-a)sin x.因为 x(0,),所以 sin x0.令 f (x)=0,得 x=a.当 a0 时, f (x)0, f(x)在(0,)上单调递增;当 0 -2x2-1,22所以 即(0)-2,()-2, -2,-
6、(-)-2,所以 -2a2,即 a 的取值范围是-2,2.B 组 提升题组10.(2017 北京海淀二模)已知函数 f(x)= x3+x2-2x+1.(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 01, 所以,函数 f(x)在区间-a,a上的最大值为 maxf(-a), f(a),因为 f(-a)-f(a)=- a(a2-6)0,或由(1)可知 f(-a)f(-1)= , f(a)f(2)=,196所以 f(-a)f(a)所以 maxf(-a), f(a)=f(-a)=- + +2a+1.33226综上,当 22,此时 f(x)为减函数;令 f (x)0,解得 a2 时,令 f (x)a,此时函数 f(x)为减函数;令 f (x)0,解得 22 时,f(x)的单调递减区间为(-,2),(a,+);单调递增区间为(2,a).(2)g(x)在定义域内不是单调函数,理由如下:g(x)=f (x)=x2-(a+4)x+3a+2e-x.记 h(x)=x2-(a+4)x+3a+2,则函数 h(x)的图象为开口向上的抛物线.方程 h(x)=0 的判别式 =a2-4a+8=(a-2)2+40 恒成立,所以 h(x)有正有负,从而 g(x)有正有负.故 g(x)在定义域内不是单调函数.7
