1、1第 12讲 函数模型及其应用1.三种函数模型的性质的比较函数性质 y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+ )上的增减性单调单调单调增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳2.常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数, a0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)反比例函数模型 f(x)= +b(k,b为常数且 k0)kx指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a0且 a1, b0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且 a1, b0)幂函数模型f(x)=ax +b(
2、a,b, 为常数,a0, 0)2常用结论1.函数 f(x)= + (a0,b0,x0)在区间(0, 上单调递减,在区间 ,+ )上单调递增 .xabx ab ab2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸 .题组一 常识题1.教材改编 函数模型 y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,随着 x的增大,增长速度的大小关系是 .(填关于 y1,y2,y3的关系式) 图 2-12-12.教材改编 在如图 2-12-1所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是 . 3.教材改编 某车间分批生产某种产品,每批的生产准
3、备费用为 800元 .若每批生产 x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1元 .把平均每件产品的生产准备费用x8与仓储费用之和 S表示为 x的函数是 . 4.教材改编 已知某物体的温度 Q(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律为Q=m2t+21-t(t0,且 m0).若物体的温度总不低于 2摄氏度,则 m的取值范围是 .题组二 常错题索引:审题不清致错;忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等;分段函数模型的分界把握不到位 .5.一枚炮弹被发射后,其升空高度 h与时间 t的函数关系式为 h=130t-5t2,则该函数的定义域是 . 6.某物体一天中的
4、温度 T是关于时间 t的函数,且 T=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当 t=0时表示中午 12:00,其后 t值为正,则上午 8时该物体的温度是 . 37.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v(米 /秒)关于燃料的质量 M(千克)、火箭(除燃料外)的质量 m(千克)的函数关系式是 v=2000ln .当燃料质量是火箭质量的 (1+Mm)倍时,火箭的最大速度可达 12千米 /秒 . 8.已知 A,B两地相距 150千米,某人开汽车以 60千米 /小时的速度从 A地到达 B地,在 B地停留 1小时后再以 50千米 /小时的速度返回 A地,则汽车离开 A地的距离 S(千米)关
5、于时间t(小时)的函数表达式是 . 探究点一 一次、二次函数模型例 1 某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为 12 000元 .公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过 30人,则每人的培训费用为 850元;若公司参加培训的员工人数多于 30人,则给予优惠,每多一人,培训费减少 10元,但参加培训的员工人数最多为 70.已知该公司最多有 60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为 x,每位员工的培训费为 y元,培训机构的利润为 Q元 .(1)写出 y与 x(x0,xN *)之间的函数关系式 . (2)当公司
6、参加培训的员工有多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润 .总结反思 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中 .变式题 整改校园内一块长为 15 m,宽为 11 m的长方形草地(如图 2-12-2),将长减少 1 m,宽增加 1 m,问草地面积是增加了还是减少了?假设长减少 x m,宽增加 x m(x0),试研究以下问题:x取什么值时,草地面积减少? x取什么值时,草地面积增加?4图 2-12-2探究点二 指数、对数函数模型例 2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵 .记鲑鱼的游速为
7、v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为 x,研究中发现 v与 log3 (x100)成正比,且当 x=300时, v= .x100 12(1)求出 v关于 x的函数解析式 . (2)计算一条鲑鱼的游速是 m/s时耗氧量的单位数 .32(3)当鲑鱼的游速增加 1 m/s时,其耗氧量是原来的几倍?总结反思 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型 .(1)在两类函数模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型 .(2)在解决这两类函数模型时,一般先要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值问题 .变式题 将甲桶中的 a L水缓
8、慢注入空桶乙中, t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y=aent.假设过 5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再过 m min后甲桶中的水只有 L,a4则 m的值为 ( )A.5 B.8C.9 D.10探究点三 分段函数模型5例 3 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤 .分析显示:当 S中 x%(0y1y2 解析 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .2.10,30 解析 设矩形的另一边长为 y m,由相似三角形的性质可得 = (013 500, 当公司参加培训的员工人数为 57或 5
9、8时,培训机构可获得最大利润 21 060元 .变式题 解:原草地面积 S1=1115=165(m2),整改后草地面积为 S=1412=168(m2),SS 1, 整改后草地面积增加了 .研究:长减少 x m,宽增加 x m后,草地面积为8S2=(11+x)(15-x).S 1-S2=165-(11+x)(15-x)=x2-4x, 当 04时, x2-4x0,即 S1S2.综上所述,当 04时,草地面积减少 .例 2 思路点拨 (1)用待定系数法求解;(2)将 v= 代入解析式,解方程求 x即可;(3)设原32来的游速为 v0 m/s,耗氧量的单位数为 x0,游速增加 1 m/s后为( v0+
10、1) m/s,耗氧量的单位数为 x,分别代入解析式后,两式消去 v0,整理可得 .解:(1)设 v=klog3 (k0),x100当 x=300时, v= ,解得 k= ,12 12v 关于 x的函数解析式为 v= log3 (x100) .12 x100(2)当游速为 m/s时,由解析式得 = log3 , 32 3212 x100 log3 =3, =27,解得 x=2700,x100 x100即耗氧量的单位数为 2700.(3)设原来的游速为 v0 m/s,耗氧量的单位数为 x0,游速增加 1 m/s后为( v0+1) m/s,耗氧量的单位数为 x,则 v0= log3 ,12 x010
11、0v0+1= log3 ,12 x100- 得 1= log3 - log3 = log3 ,12 x10012 x010012 xx0 log3 =2, =32=9, 耗氧量是原来的 9倍 .xx0 xx0变式题 A 解析 5 min后甲桶和乙桶中的水量相等, 函数 y=f(t)=aent满足 f(5)=ae5n= a,12可得 n= ln .15 129设 k min后甲桶中的水只有 L,a4则 f(k)= a,即 ln k=ln ,14 15 12 14即 ln k=2ln ,解得 k=10,15 12 12故 m=10-5=5.故选 A.例 3 思路点拨 (1)求出 f(x)40时 x
12、的取值范围即可;(2)分段求出 g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义 .解:(1)由题意知,当 3040,1800x即 x2-65x+9000,解得 x45, 当 x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 .(2)当 012 000,所以旅游团人数为 60时,旅行社可获得最大利润 .例 2 配合例 2使用 衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发,从而体积变小,若它的体积 V随时间 t的变化规律是 V=V0 (e为自然对数的底数),其中 V0为初始值 .若 V= ,则 t的值e110t V03约为 .(运算结果保留整数,参考数据:lg 30 .477
13、1,lg e0 .434 3) 答案 1111解析 由题知 V0 = ,即 = =3-1,所以 - t=ln 3-1=-ln 3,所以 t=10ln 3=10 10 e110tV03 e110t13 110 lg3lg e11 .0.477 10.434 3例 3 配合例 3使用 某经销商计划销售一款新型的电子产品,经市场调研发现以下规律:当每台电子产品的利润为 x(单位:元, x0)时,销售量 q(x)(单位:百台)与 x之间的关系满足:若x不超过 25,则 q(x)= ;若 x大于或等于 225,则销售量为零;当 25 x225 时, q(x)2400x+11=a-b (a,b为实常数) .x(1)求函数 q(x)的表达式 .(2)当 x为多少时,总利润(单位:元)最大?并求出该最大值 . 解:(1)当 25 x225 时,由 得a-b25=400,a-b225=0, a=600,b=40.故 q(x)=2400x+11,0225. (2)设总利润为 f(x),则 f(x)=100q(x)x,由(1)得 f(x)=240 000xx+11,0225. 当 00,f(x)单调递增,当 100225时, f(x)=0.故当 x为 100时,总利润最大,为 2 000 000元 .
