1、1第 13讲 变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数(1)平均变化率:概念 对于函数 y=f(x), = 叫作函数 y=f(x)从 x1到 x2f(x2)-f(x1)x2-x1 y x的 变化率 几何意义函数 y=f(x)图像上两点( x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的 物理意义若函数 y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则 就是该 y x质点在 x1,x2上的 速度 (2)导数:点 x0处= ,我们称它为函数 y=f(x)在 处lim x 0 y x lim x 0f(x0+ x)-f(x0) x的导数,记为 f(x0)或 y ,即 f(x0)= = |x=x0 lim x
2、0 y xlim x 0f(x0+ x)-f(x0) x概念区间(a,b)当 x( a,b)时, f(x)= = 叫作函数在区间lim x 0 y x lim x 0(a,b)内的导数 几何意义函数 y=f(x)在点 x=x0处的导数 f(x0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线 y=f(x)在点( x0,f(x0)处的切线方程是 物理意义函数 y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在 x=x0处的导数就是质点在 x=x0时的 速度,在( a,b)内的导数就是质点在( a,b)内的 方程 2.导数的运算常用导数原函数导函数 特例或推广2常数函数C=0(C为常数)幂函数(xn)= (n
3、Z) =-(1x) 1x2三角函数(sin x)= ,(cos x)= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)= (a0,且 a1) (ex)=ex公式对数函数(logax)= (a0,且 a1) (ln x)= ,(ln|x|)=1x 1x加减f(x)g(x)=(ni=1fi(x) ni=1fi(x)乘法f(x)g(x)=Cf(x)=Cf(x)四则运算法则除法=f(x)g(x)(g(x)0)=-1g(x) g(x)g(x)2复合函数求导复合函数 y=fg(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系 yx= ,这个关系用语言表达就是“ y对
4、 x的导数等于 y对u的导数与 u对 x的导数的乘积”题组一 常识题31.教材改编 向气球中充入空气,当气球中空气的体积 V(单位:L)从 1 L增加到 2 L时,气球半径 r(单位:dm)的平均变化率约为 . 2.教材改编 已知将 1吨水净化到纯净度为 x%时所需费用(单位:元)为 c(x)= (800),再根据两函数在 x=a处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得 m的值 .(1)B (2)D 解析 (1) f (x)=2ex+3ax+b,f (x)=2ex+3a.由题意得 f(0)=2+3a=2,解得 a=0. 点(0,1)在 f(x)=2ex+3ax+b的图像上, 2+b=1,
5、解得 b=-1.a+b= 0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点( a,b)处的切线相同( a0).由题得 f(x)=2x,h(x)= -4,6x则 解得b=a2-m,b=6lna-4a,2a=6a-4, a=1,b= -4,m=5. 变式题 C 解析 f(x)= -ln(x+1)sin x-a.cosxx+1 函数 f(x)=ln(x+1)cos x-ax的图像在点(0, f(0)处的切线的倾斜角为 45, 1-a=1,a= 0,故选 C.【备选理由】 例 1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例 2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导
6、数的几何意义求切9线方程等知识;例 3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例 4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性 .例 1 配合例 1使用 设函数 f(x)=x(2017+ln x).若 f(x0)=2018,则 x0= ( )A.e B.e2C.ln 2 D.1解析 D 因为 f(x)=x(2017+ln x),所以 f(x)=2018+ln x,所以 f(x0)=2018+ln x0=2018,所以 x0=1.例 2 配合例 2使用 2018荆州中学月考 函数 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0
7、时, -x0时, f(x)=x3+2x2.f (1)=1+2=3,f(x)=3x2+4x,f (1)=7, 所求切线方程为 y-3=7(x-1),即 7x-y-4=0.例 3 配合例 4使用 2018石家庄质检 定义:如果函数 f(x)在区间 a,b上存在x1,x2(a0,g(0)=65t-t20,g(t)=2t2-65t0,t25, 解得 0), 12个零点,则实数 b的取值范围是 . 答案 0 0) 12作出函数 f(x)= 与函数 y= x+b的图像,如图所示 .3-x(x 0),x(x0) 12当 b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值 .当直线 y= x+b与 f(x)= (x0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时 b的值是另一12 x个临界值 .设切点为( m, ),m0,f (x)= (x0), = ,解得 m=1,m12 1x 12 1m12故切点为(1,1),故 b=1- = .121211结合图像可得,0 b .12
