1、1第 14 讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数单调递增在区间( a,b)上,若 f(x)0,则 f(x)在这个区间上单调 导数到单调性单调递减在区间( a,b)上,若 f(x)f(2x-1)的解集为 . 1x7.函数 f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 . 8.讨论函数 y=ax3-x 在 R 上的单调性时, a 应分 、 、 三种情况讨论 . 探究点一 函数单调性的判断或证明例 1 2018商丘二模 已知函数 f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中 m 为常数,且 m- .讨论函数e2f(x)的单调性 .总结反思 用导数法判断和证明函数 f(x)在区间( a,b)内的单调
2、性的一般步骤:(1)求 f(x).(2)确认 f(x)在区间( a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号) .(3)得出结论: f(x)0 时,函数 f(x)为增函数; f(x)0,若 13ln x+1 的解集为 . 第 14 讲 导数与函数的单调性考试说明 1 .了解函数单调性和导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性;3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) .【课前双基巩固】6知识聚焦递增 递减 0 0 充分对点演练1.(0,+ ) 解析 由 f(x)=ex-10,解得 x0,故其单调递增区间是(0, + ).2. 解析 设 f(x)=x-ln x,x(1
3、, + ),则 f(x)=1- 0,所以函数 f(x)在(1, + )上是1x增函数,所以 f(x)=x-ln x10,所以 xln x.3.(- ,0) 解析 y= 3ax2,函数在区间( - ,+ )上是减函数,y 0 在( - ,+ )上恒成立,即 3ax20 恒成立,a 0 . 当 a=0 时, y=-1,不是减函数,a0,所以函数 f(x)=ln x- 在(0, + )上为增函(12,23) 1x1x2 1x数,所以只需满足 1-x2x-10,解得 0,得 x0,可得 0,得 2-x1,解得 x0 a=0 a0,a=0,a0, ex+1+2m0. 当 x0 时, f(x)0;当 xx
4、2.e27则当 x0 时, f(x)0;当 ln(-2m)-10.故 f(x)在区间( - ,ln(-2m)-1),(0,+ )上单调递增,在区间(ln( -2m)-1,0)上单调递减 .综上所述,当 m0 时, f(x)在( - ,0)上单调递减,在(0, + )上单调递增;当 - 1),则 g(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线 x=- ,13所以 g(x)在(1, + )上单调递增,所以 g(x)312+21+a=5+a.因为 a -5,所以 g(x)0 在(1, + )上恒成立,所以 g(x)在(1, + )上为增函数,可得 g(x)g(1)=20,即 f(x)0,所以 f(
5、x)在区间(1, + )上为增函数 .例 2 思路点拨 (1)求出 f(1)及 f(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程 .(2)在定义域内,令 f(x)0,求得 x 的取值范围,可得函数 f(x)的单调递增区间;令 f(x)0,得 x ;由 g(x)0,即 f(x)0,所以函数 f(x)的单调递增区间为(0, + ).变式题 (1)A (2)(0,1) 解析 (1) f(x)= -4+x= ,由 f(x)0,得 03,f (x)的单调递增区间为(0,1),(3, + ).(2)函数 f(x)的定义域是(0, + ),f(x)=1- + = .3x22x(x+3)(x-1)x2令 f(x)0
6、 可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可 .解:(1) f(x)的定义域为(0, + ),当 a=3 时, f(x)=x2+ln x-3x,f (x)=2x+ -3= ,1x 2x2-3x+1x由 f(x)0,得 01,12 函数 f(x)的单调递增区间为 ,(1,+ ).(0,12)(2)由题意得 f(x)=2x+ -a.1xf (x)在(0,1)上是增函数,f (x)=2x+ -a0 在(0,1)上恒成立,1x即 a2 x+ 在(0,1)上恒成立 .1x 2x+ 2 ,当且仅当 2x= ,即 x= 时,等号成立,1x 2 1x 22a 2
7、 ,29故实数 a 的取值范围为( - ,2 .2变式题 (1)A (2)C 解析 (1) f (x)=2x+sin xcos x+acos x,f (x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3.设 t=sin x,-1 t1,则 g(t)=-2t2-at+3, f (x)在( - ,+ )上单调递增,g (t)0 在 -1,1上恒成立 . 二次函数 g(t)的图像开口向下, 可得 -1 a1,即 a 的取值范围是 -1,1,故选 A.g(1) 0,g(-1) 0,(2)函数 f(x)=x+aln x 的定义域为(0, + ),f(x)=1+ .当 a0 时, f(
8、x)0,函数 f(x)ax=x+aln x 是增函数 .当 a0,得 x-a,所以函数 f(x)=x+aln x 在(0, -a)上单调递减,在( -a,+ )上单调递增 .因为 f(x)=x+aln x 不是单调函数,所以实数 a 的取值范围是( - ,0),故选 C.例 4 思路点拨 (1)构造函数 g(x)= ,通过 g(x)的符号判断函数 g(x)的单调性,利用f(x)ex单调性得出 x 的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,再通过讨论导数的符号得到函数 f(x)的单调性,最后将 4a,log3a,3 转化到同一个单调区间上比较其对应函数
9、值的大小 .(1)A (2)B 解析 (1)设 g(x)= ,则 g(x)= ,f (x)0,f(x)ex f(x)-f(x)ex即函数 g(x)在 R 上单调递增 .f (0)=2,g (0)=f(0)=2,则不等式 f(x)0, 当 x2 时, f(x)0,即函数 f(x)在(2, + )上为增函数 . 10),则 f(x)= ,lnxx 1-lnxx2可得函数 f(x)在(0,e)上单调递增,所以 f(2.1)3ln x+1 等价于 f(t)3t+1.设 g(x)=f(x)-3x-1,则 g(x)=f(x)-3,f (x)的导函数 f(x)0=g(2),解得 t3ln x+1 的解集为(
10、0,e 2).【备选理由】 例 1 讨论函数的单调性;例 2 可以进一步明确不等式 f(x)0 的解集对应的区间是函数 f(x)的单调递增区间,不等式 f(x)0,若 x( - ,a-1),则 f(x)0,f(x)为增函数 .当 a0 时,令 f(x)=0,得 x1=a-1,x2=ln a.令 g(a)=a-1-ln a,则 g(a)=1- = ,1aa-1a当 a(0,1)时, g(a)0,g(a)为增函数,g (a)min=g(1)=0,a- 1ln a(当且仅当 a=1 时取“ =”). 当 01 时,若 x( - ,ln a),则 f(x)0,f(x)为增函数;若 x(ln a,a-1
11、),则f(x)0,f(x)为增函数 .当 a=1 时, f(x)=x(ex-1)0, f(x)在( - ,+ )上为增函数 .综上所述:当 a0 时, f(x)在( - ,a-1)上为减函数,在( a-1,+ )上为增函数;当 01时, f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在( - ,ln a)和( a-1,+ )上为增函数;当 a=1 时, f(x)在(- ,+ )上为增函数 .例 2 配合例 2 使用 2018东莞模拟 已知函数 f(x)=ax2e-x(a0),求函数 f(x)的单调区间 .解:对 f(x)求导,得 f(x)=a =a .2xex-x2ex(ex)2 x(2-x)ex
12、 若 a0,则当 x(0,2)时, f(x)0,当 x( - ,0)或 x(2, + )时, f(x)0,所以 f(x)在(0,2)上单调递减,在( - ,0),(2,+ )上单调递增 .例 3 配合例 3 使用 2018重庆七校期末 已知函数 f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n 为常数) .(1)当 n=1 时,讨论函数 g(x)=exf(x)的单调性;(2)当 n=2 时,若函数 h(x)=x+ 在0, + )上单调递增,求 m 的取值范围 .f(x)ex解:(1)当 n=1 时, g(x)=exx2+(m+2)x+1,12g(x)=exx2+(m+4)x+(m+3)=ex(x+1)
13、x+(m+3).令 g(x)=0,解得 x=-1 或 x=-(m+3). 当 -1-(m+3),即 m-2 时,函数 g(x)的单调递增区间为( - ,-m-3),(-1,+ ),单调递减区间为( -m-3,-1).(2)当 n=2 时, h(x)=x+ ,x2+(m+2)x+2exh(x)=1+ .-x2-mx+mex由题意知, h(x)0 在0, + )上恒成立,即 ex-x2 m(x-1)在0, + )上恒成立 .当 x=1 时,不等式成立 .当 x1 时,令 k(x)= ,则 k(x)= . ex-x2x-1 (x-2)(ex-x)(x-1)2当 x1 时,只需 k(x) m 恒成立 . ex-x0 恒成立(可求导证明), 当 12 时, k(x)0,k(x)单调递增 .k (x) k(2)=e2-4,m e 2-4.当 0 x1 时,只需 k(x) m 恒成立 . 0 x1,k (x)0,k (x)单调递减,k (x) k(0)=-1,m -1.综上所述, -1 me 2-4.
