1、1第 15 讲 导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则点 a 叫作函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫作函数 y=f(x)的极小值 . (2)函数的极大值:函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f(b)=0;而且在点 x=b 附近的左侧 ,右侧 ,则点 b 叫作函数 y=f(x)的极大值点, f(b)叫作函数 y=f(x)的极大值 . 极小值点、极大值点统称为极值点,
2、极大值和极小值统称为极值 .2.函数的最值(1)在闭区间 a,b上连续的函数 f(x)在 a,b上必有最大值与最小值 .(2)若函数 f(x)在 a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数 f(x)在 a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值 . 3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题 .常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型 与最值的关系x D,f(x)M x D,f(x)minMx D,f(x)M x D,f(x)maxMx0 D,f(x0)g(x) x
3、D,f(x)-g(x)min0x D,f(x)g(x2)x1 D1,x2 D2,f(x1)ming(x2)max(续表)不等式类型 与最值的关系x1 D1,x2 D2,f(x1)g(x2)x1 D1,x2 D2,f(x1)ming(x2)minx1 D1,x2 D2,f(x1)g(x2)x1 D1,x2 D2,f(x1)maxg(x2)maxx1 D1,x2 D2,f(x1)g(x2)x1 D1,x2 D2,f(x1)maxg(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一 常识题1.教材改编 函数 f(x)=x3-3x2+1 的极小值为
4、. 2.教材改编 函数 f(x)=x3-12x 在区间 -3,3上的最大值是 . 3.教材改编 当 x0 时,ln x,x,ex的大小关系是 . 4.教材改编 现有一块边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是 . 题组二 常错题索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间( a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点 .5.若函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处取得极值 10,则 a+b= . 6.函数 g(x)=-x2的极值点是 ,函数 f(x)=(x-1)3的
5、极值点 (填“存在”或“不存在”) . 7.函数 g(x)=x2在1,2上的最小值和最大值分别是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”) . 8.对任意实数 x,不等式 sin x a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ;存在实数 x0,使不等式 sin x0 a 成立,则实数 a 的取值范围是 . 3探究点一 利用导数解决函数的极值问题微点 1 由图像判断函数极值例 1 2018杭州二中模拟 如图 2-15-1 所示,可导函数 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线为 l:y=g(x).设 h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 ( )图 2-15-
6、1A.h(x0)=0,x=x0是 h(x)的极大值点B.h(x0)=0,x=x0是 h(x)的极小值点C.h(x0)=0,x=x0不是 h(x)的极值点D.h(x0)0, x=x0不是 h(x)的极值点总结反思 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号 .微点 2 已知函数求极值例 2 若 x=1 是函数 f(x)=ax+ln x 的极值点,则( )A.f(x)有极大值 -1B.f(x)有极小值 -1C.f(x)有极大值 0D.f(x)有极小值 04总结反思 求函数极值的一般步骤: 先求函数 f(x)的定义域,再求函数 f(x)的
7、导函数; 求 f(x)=0 的根; 判断在 f(x)=0 的根的左、右两侧 f(x)的符号,确定极值点; 求出具体极值 .微点 3 已知极值求参数例 3 2018江西九校二联 若函数 f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 ( )A. B.(0,62) (1,62)C. D. (-62,62) (63,1) (1,62)总结反思 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围) .应用演练1.【微点 1】2018河南中原名
8、校质检 已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f(x)的大致图像如图 2-15-2 所示,则下列叙述正确的是 ( )f (b)f(a)f(c);图 2-15-2 函数 f(x)在 x=c 处取得极小值,在 x=e 处取得极大值; 函数 f(x)在 x=c 处取得极大值,在 x=e 处取得极小值 .A.B.C.5D.2.【微点 3】函数 f(x)=x2-aln x(aR)不存在极值点,则 a 的取值范围是 ( )A.(- ,0) B.(0,+ )C.0,+ ) D.(- ,03.【微点 2】2018安庆二模 已知函数 f(x)=2ef(e)ln x- (e 是自然对数的底数),则xef(
9、x)的极大值为( )A.2e-1 B.-1eC.1 D.2ln 24.【微点 3】2018菏泽模拟 已知函数 f(x)=x3-ax+2 的极大值为 4,若函数 g(x)=f(x)+mx 在( -3,a-1)上的极小值不大于 m-1,则实数 m 的取值范围是 ( )A. B.-9,-154) (-9,-154C. D.(- ,-9)(-154,+ )探究点二 利用导数解决函数的最值问题例 4 已知定义在正实数集上的函数 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)若函数 g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上 g(x)0 恒成立,求实数 a 的最小值;(2)若 a0 时, f(x)在区
10、间1,e上的最小值为 -2,求实数 a 的取值范围 .总结反思 (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值 .如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点 .(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题 .变式题 (1)已知 a +ln x 对任意 x 恒成立,则 a 的最小值为 ( )1-xx 1e,eA.1 B.e-2 C. D.01e(2)2018唐山三模 已知 a0,f(x)= ,若 f(x)的最小值为 -1,则 a= ( )xexex+aA. B. C.e D.e21e2 1e6探究点三 利用导数
11、研究生活中的优化问题例 5 2018南京四校联考 如图 2-15-3 所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120 米, AD=80 米,以 AD,BC 为直径的半圆 O1和半圆 O2(半圆在矩形 ABCD 内部)为两个半圆形水上主题乐园, BC,CD,DA 都建有围墙,游客只能从线段 AB 处进出该主题乐园 .为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着 , 修建不锈钢护栏,沿着线段 EF 修建该AEFB主题乐园大门并设置检票口,其中 E,F 分别为 , 上的动点, EF AB,且线段 EF 与线段 AB 在ADBC圆心 O1和 O2连线的同侧 .已知弧线部分的修建费用为
12、200 元 /米,直线部分的平均修建费用为 400 元 /米 .图 2-15-3(1)若 EF=80 米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点 E 的位置,使得修建费用最低 .总结反思 (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型 .(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案 .变式题 某产品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件 .如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低 x(0 x21)元,则一个星期增加的销售量为 kx2(k0)件 .已知商品单件降低 2 元时
13、,一个星期的销售量增加 24 件 .(商品销售利润 =商品销售收入 -商品销售成本)(1)将一个星期的商品销售利润 f(x)表示成 x 的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 .7第 15 讲 导数与函数的极值、最值考试说明 1 .了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) .2.会利用导数解决某些实际问题 .【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)0 (2)f(x)0 f(x)0;当 x(0,2)时, f(x)0.故 f(x)在 x=2 处取得极
14、小值 f(2)=8-12+1=-3.2.16 解析 由 f(x)=3x2-12=0,得 x=2,易知 x=-2 为函数 f(x)的极大值点,故函数 f(x)在区间 -3,3上的最大值 f(x)max=maxf(-2),f(3)=max16,-9=16.3.ln xx0时,有 h(x)0,h(x)为增函数,所以 x=x0是 h(x)的极小值点 .故选 B.例 2 思路点拨 先根据极值的定义求得 a 的值,再根据导数符号的变化规律确定极值 .A 解析 x= 1 是函数 f(x)=ax+ln x 的极值点, f (1)=0,即 a+ =0,a=- 1,11f (x)=-1+ = ,1x -x+1x
15、当 x1 时, f(x)0,因此 f(x)有极大值 f(1)=-1,故选 A.例 3 思路点拨 函数 f(x)有两个极值点,等价于 f(x)=0 有两个根,换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系及判别式建立不等式(组)求解即可 .B 解析 f (x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,f (x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.9f (x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x 有两个极值点,f (x)=0 有两个根 .设 t=ex0,则关于 t 的方程 2(a+1)t2-2t+a-1=0 有两个正根,可得 解得 10,22(a+1)0,4-8(a-1)(a+1)0, 62即实数
16、 a 的取值范围是 ,故选 B.(1,62)应用演练1.A 解析 由导函数的图像可知,在( - ,c)与( e,+ )上, f(x)0,所以函数 f(x)在( - ,c)与( e,+ )上单调递增;在( c,e)上, f(x)f(a), 错误;函数 f(x)在 x=c 处取得极大值,在 x=e 处取得极小值, 错误, 正确 .故选 A.2.D 解析 f(x)的定义域是(0, + ),f(x)=2x- = .因为 f(x)在(0, + )上不存在极ax2x2-ax值点,所以 2x2=a 无正实数根,因为 2x20,所以 a0,故选 D.3.D 解析 f (x)= - ,f (e)= - ,f (
17、e)= ,f (x)=2ln x- ,f(x)= - .2ef(e)x 1e 2ef(e)e 1e 1e xe 2x1e由 f(x)=0,得 x=2e,f (x)的极大值为 f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故选 D.4.B 解析 f(x)=3x2-a.当 a0 时, f(x)0, f(x)无极值 .当 a0 时,易得 f(x)在 x=- 处取得极大值,则有 f =4,可得 a=3,于是 g(x)=x3+(m-a3 (- a3)3)x+2,则 g(x)=3x2+(m-3). 当 m-30 时, g(x)0, g(x)在( -3,2)上不存在极小值 .当 m-30),则 h(x)= =
18、,lnx+1x 1-lnx-1x2 -lnxx2所以当 00,h(x)单调递增,当 x1 时, h(x)0,a0),由 f(x)=0,得 x= 或 x= .1x(ax-1)(2x-1)x 12 1a当 a1 时, 1,因为 x1,e,所以 f(x)0, f(x)单调递增, f(x)min=f(1)=-2,符合题意;1a当 0,则 g(x)在( - ,+ )上为增函数,又 g(-1)= 0,x - 时, g(x) - ,所以存在 x00,f(x)0,f(x)单调递增 .又 f(1)=0,13所以函数 f(x)有且仅有一个极小值 f(1).故选 A.例 2 配合例 3 使用 若函数 f(x)=ax
19、2+xln x 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 . 答案 - 0),f(x)=ln x+1+2ax.令 g(x)=ln x+1+2ax,因为函数 f(x)=ax2+xln x 有两个极值点,所以 g(x)=0 在区间(0, + )上有两个不相等的实数根 .g(x)= +2a= ,1x 1+2axx当 a0 时, g(x)0,则函数 g(x)在区间(0, + )上单调递增,因此 g(x)=0 在区间(0, + )上不可能有两个不相等的实数根,应舍去 .当 a0,得 0- ,此时函数 g(x)单调递减 . 12a所以当 x=- 时,函数 g(x)取得极大值 .要使 g(x)=0 在区间(0
20、, + )上有两个不相等的实数12a根,则 g =ln 0,可得 - 2 时, f(x)0 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)当 a0,1)时,函数 g(x)= (x2)有最小值,设 g(x)的最小值为 h(a),求函数ex-2-ax+a(x-2)2h(a)的值域 .解:(1)因为 f(x)=(x-4)ex-2+mx0 对任意 x(2, + )恒成立,所以 ex-2 -m 对任意 x(2, + )恒成立 .设 (x)= ex-2= ex-2,则 (x)=x-4x x-4x (1-4x)ex-2= ex-20,所以 (x)在(2, + )上单调递增,(1-4x+4x2) (x-2)2x2所以
21、 (x) (2)=-1,则由题意得 -m -1,即 m1,所以实数 m 的取值范围为1, + ).14(2)对 g(x)= (x2)求导,得 g(x)= = (x2).ex-2-ax+a(x-2)2 (x-4)ex-2+ax(x-2)3 x(x-4)ex-2x +a(x-2)3记 F(x)= ex-2+a(x2),x-4x由(1)知 F(x)在区间(2, + )上单调递增,又 F(2)=-1+a0,g(x)0,函数 g(x)在区间( x0,+ )上单调递增 .所以 g(x)在(2, + )上有最小值 g(x0)= ,ex0-2-ax0+a(x0-2)2由题设得 h(a)= .ex0-2-ax0+a(x0-2)2又因为 -a= ,所以 h(a)= .x0-4x0ex0-2 1x0ex0-2令 u(x)= ex-2(20,函数 u(x)在区间(2,4上单调递增,1x x-1x2所以 u(2)0,V 是增函数;3当 2 h6 时, V0,V 是减函数 .3故当 h=2 时, V 取得极大值,也是最大值 .3因此,当 PO1=2 m 时,仓库的容积最大 .3
