1、1第 1 讲 集合1.元素与集合(1)集合元素的性质: 、 、无序性 . (2)集合与元素的关系: 属于,记为 ; 不属于,记为 . (3)集合的表示方法:列举法、 和 . (4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言 符号语言 记法子集集合 A 中的 都是集合 B 中的元素 x AxBAB 或集合 A 是集合B 的子集,但集合 B 中 有一个元素不属于 A AB,x0B,x0AA B 或B A基本关系相等集合 A,B 的元素完全 AB,BA 空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集 x,x,A3.集合的基本运算2表示运算 文字语言 符号语言 图
2、形语言 记法交集属于 A 属于 B 的元素组成的集合 x|x A,x B 并集属于 A 属于 B 的元素组成的集合x|x A,x B 补集全集 U 中 属于 A 的元素组成的集合 x|x U,x A 4.集合的运算性质(1)并集的性质: A =A;A A=A;A B= ;A B= BA. (2)交集的性质: A =;A A=A;A B=B A;A B=AA B. (3)补集的性质: A( UA)=U;A( UA)= ; U(UA)= ;U(A B)=(UA) (UB);U(A B)= . 常用结论(1)非常规性表示常用数集:如 x|x=2(n-1),nZ为偶数集, x|x=4n1,nZ为奇数集
3、等 .(2) 一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集; 任何一个集合是它本身的子集; 对于集合 A,B,C,若 AB,BC,则 AC(真子集也满足); 若 AB,则有 A=和 A两种可能 .3(3)集合子集的个数:集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2n个子集、2 n-1 个真子集、2 n-1 个非空子集、2 n-2 个非空真子集 .集合元素个数:card( A B)=card(A)+card(B)-card(A B)(常用在实际问题中) .题组一 常识题1.教材改编 已知集合 A=0,1,x2-5x,若 -4 A,则实数 x 的值为 . 2.教材改编 已知集合 A
4、=a,b,若 A B=a,b,c,则满足条件的集合 B 有 个 . 3.教材改编 设全集 U=R,集合 A=x|0 x2, B=y|1 y3,则( UA) B= . 4.教材改编 已知集合 A=-1,1,B=a,a2+2.若 A B=1,则实数 a 的值为 . 题组二 常错题索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错 .5.已知集合 A=1,3, ,B=1,m,若 BA,则 m= . m6.已知 xN, yN, M=(x,y)|x+y2, N=(x,y)|x-y0,则 M N 中元素的个数是 . 7.已知集合 M=x|x-a
5、=0,N=x|ax-1=0,若 M N=N,则实数 a 的值是 . 8.设集合 A=x|x-a|e总结反思 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及 Venn 图求解 .角度 2 利用集合运算求参数例 4 (1)已知集合 A=xZ |x2-4x-52m,若 A B 中有三个元素,则实数 m 的取值范围是( )A.3,6) B.1,2)C.2,4) D.(2,4(2)设全集 U=R,集合 A=x|x1,集合 B=x|xp,若( UA) B=,则 p 应该满足的条件是 ( )A.p1 B.p1C.p2 或 x1,a+1 5,8【课堂考点探究】例 1 思路点拨
6、(1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为 9 A,所以依据2a-1=9 或 a2=9 分类求解,但要注意集合元素的互异性 .(1)A (2)-3 解析 (1)当 x=-1 时, y=-1,0,1;当 x=0 时, y=-1,0,1;当 x=1 时, y=-1,0,1.所以集合 A=(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有 9个元素 .(2) 集合 A,B 中有唯一的公共元素 9, 9 A.若 2a-1=9,即 a=5,此时 A=-4,9,25,B=9,0,-4,则集合 A,B 中有两个公共元素
7、-4,9,与已知矛盾,舍去 .若 a2=9,则 a=3,当 a=3 时, A=-4,9,5,B=-2,-2,9,B 中有两个元素均为 -2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当 a=-3 时, A=-4,-7,9,B=9,-8,4,符合题意 .综上所述, a=-3.变式题 (1)C (2)2 解析 (1)当 k=0 时, x=-1,所以 -1 A,所以 A 错误;令 -11=3k-1,得k=- Z,所以 -11A,所以 B 错误 ;令 -34=3k-1,得 k=-11,所以 -34 A,所以 D 错误;因为 kZ,所103以 k2Z,则 3k2-1 A,所以 C 正确 .(2)由题知,若 3-
8、m=2,则 m=1,此时集合 B 不符合元素的互异性,故 m1;若 3-m=1,则 m=2,符合题意;若 3-m=3,则 m=0,不符合题意 .故答案为 2.例 2 思路点拨 (1)先求出集合 M=x|x2=1=-1,1,当 a=0 和 a0 时,分析集合 N,再根据集合 M,N 的关系求 a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合 M,N,即可得 M,N 的关系 .(1)D (2)A 解析 (1) 集合 M=x|x2=1=-1,1,N=x|ax=1,NM, 当 a=0 时, N=,成立;当 a0 时, N= ,则 =-1 或 =1,1a 1a 1a解得 a=-1 或 a=1.综上,实数 a 的
9、取值集合为1, -1,0.故选 D.(2)集合 M=x|x=5-4a+a2,aR =x|x=(a-2)2+1,aR =x|x1,N=y|y=4b2+4b+2,bR =y|y=(2b+1)2+1,bR =y|y1, M=N.9变式题 (1)B (2)a1 解析 (1)由题意得,集合 A=(x,y)|y=x表示直线 y=x 上12的所有点,集合 B= (x,y) =1 表示直线 y=x 上除点(0,0)外的所有点,所以 BA.故选 B.yx(2)当 N=时,由 a3a+1 得 a1.所以 a 的取值范围是 a1.12例 3 思路点拨 (1)先求出 RA,RB,再判断各选项是否正确;(2)先求出 A
10、,B 中不等式的解集,确定出集合 A,B,再求出两集合的并集即可 .(1)C (2)A 解析 (1) 集合 A=x|x2m= ,A B 中有三个元素, 1 m2 m2(2) 全集 U=R,集合 A=x|x1,集合 B=x|xp, UA=x|x1,又( UA) B=,p 1 .例 5 思路点拨 (1)按照 S 的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点( a,b)的个数,从而得出 M 中的元素个数 .(1)D (2)41 解析 (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素” .S 的无“孤立元素”且含 2 个元素的子集为0,
11、1,1,2,2,3,3,4,4,5,共 5 个; S 的无“孤立元素”且含 3 个元素的子集为0,1,2,1,2,3,2,3,4,3,4,5,共 4 个; S 的无“孤立元素”且含 4 个元素的子集为0,1,2,3,0,1,3,4,0,1,4,5,1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5,共 6 个; S 的无“孤立元素”且含 5 个元素的子集为0,1,2,3,4,1,2,3,4,5,0,1,2,4,5,0,1,3,4,5,共 4 个; S 的无“孤立元素”且含 6 个元素的子集为0,1,2,3,4,5,共 1 个 .故 S 的无“孤立元素”的非空子集有 5+4+6+4+1=20(个)
12、.(2)由 a*b=36,a,bN *知,若 a 和 b 一奇一偶,则 ab=36,满足此条件的有 136=312=49,故点( a,b)有 6 个;若 a 和 b 同奇同偶,则 a+b=36,满足此条件的有 1+35=2+34=3+33=4+32=18+18,共 18 组,10故点( a,b)有 35 个 .所以 M 中的元素个数为 41.【备选理由】 例 1 考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例 2 考查集合的运算及集合子集个数的计算;例 3 考查集合的运算;例 4 为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况 .例 1 配合例 2 使用 2018陕西黄陵中学三模
13、已知集合 M=x|y=(-x2+2x+3 ,xN,)12Q=z|z=x+y,x M,y M,则下列运算正确的是 ( )A.M Q= B.M Q=ZC.M Q=Q D.M Q=Q解析 C 由 -x2+2x+30,得 -10,得 x-3,所以 A B=x|x3 或 x -1 x|x-3=x|x-3,故选 C.例 4 配合例 4 使用 已知集合 A=x|y= ,B=x|a x a+1,若 A B=A,则实数4-x2a 的取值范围为 ( )A.(- ,-32, + )11B.-1,2C.-2,1 D.2,+ )解析 C 要使函数 y= 有意义,则 4-x20,据此可得 A=x|-2 x2 .4-x2若 A B=A,则集合 B 是集合 A 的子集,据此有 求解不等式组可得,实数 a 的取a -2,a+1 2,值范围为 -2,1.
