1、1第 6 讲 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性偶函数 奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x定义都有 ,那么函数f(x)是偶函数 都有 ,那么函数 f(x)是奇函数 图像特征关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期 . (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作 f(x)的最小正周期 . 常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式:(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=
2、0f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)为奇函数 .2.设 f(x)的最小正周期为 T,对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x,(1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2|a|;(2)若 f(x+a)= ,则 T=2|a|;1f(x)(3)若 f(x+a)=f(x+b),则 T=|a-b|.3.对称性与周期性之间的常用结论:2(1)若函数 f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称,则函数 f(x)的周期 T=2|b-a|;(2)若函数 f(x)的图像关于点( a,0)和点( b,0)对称,则函数 f(x)的周期 T=2|b-a|;(3)若函
3、数 f(x)的图像关于直线 x=a 和点( b,0)对称,则函数 f(x)的周期 T=4|b-a|.4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:(1)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称;(2)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的图像关于直线 x= 对称;a+b2(3)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=-f(b-x),则 f(x)的图像关于点 对称;(a+b2,0)(4)若函数 f(x)满足关系式 f(a+x)+f(b-x)=c,则函数 f(x)的图像关于点 对称 .(a+b2,c2)题
4、组一 常识题1.教材改编 函数 f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)= +|x|中,偶函数的个数是 1x. 2.教材改编 若奇函数 f(x)在区间 a,b上是减函数,则它在 -b,-a上是 函数;若偶函数 f(x)在区间 a,b上是增函数,则它在 -b,-a上是 函数 . 3.教材改编 已知 f(x)为奇函数,当 x0 时, f(x)= -1,则 f(-2)= . x4.教材改编 已知函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 x0,1时, f(x)=log4(x2+4),则f(2019)= . 题组二 常错题索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇
5、偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域 .5.函数 f(x)= 是 函数 .(填“奇”“偶”“非奇非偶”) lg(1-x2)|x+3|-36.若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)的图像关于直线 对称;若函数 y=g(x+b)是奇函数,则函数 y=g(x)的图像关于点 成中心对称 . 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f ,且 f(2)=2,则 f(2018)= . (x+32)8.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时, f(x)=x-3,则函数 f(x)的解析式为 f(x)= . 3探究点
6、一 函数奇偶性及其延伸微点 1 函数奇偶性的判断例 1 (1)2018杭州模拟 设函数 f(x)= +b(a0 且 a1),则函数 f(x)的奇偶性 ( )2ax-1A.与 a 无关,且与 b 无关B.与 a 有关,且与 b 有关C.与 a 有关,但与 b 无关D.与 a 无关,但与 b 有关(2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是 ( )f (x)= ;f (x)=log3( +x);1-x1+x x2+1f (x)= f (x)=x2+cos x.x2-1,x0;A.1,1 B.2,2C.3,1 D.2,1总结反思 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函
7、数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域 .(2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立 .微点 2 函数奇偶性的应用例 2 (1)2018北京东城区模拟 若函数 f(x)= 在区间 -3,5上的最大3e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|值、最小值分别为 p,q,则 p+q 的值为 ( )A.2 B.1C.6 D.34(2)已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, f(x)=2x+m,则 f(-3)= . 总结反思 利用函数
8、奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 .(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出 .(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据 f(x)f(-x)=0 得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值 .(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像 .(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值 .微点 3 奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题)例 3 (1)2018广东七校联考 已知定义域为 R 的函数 f(x)在2, +
9、)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是 ( )A.f(0)f(1) B.f(0)f(2)C.f(1)f(2) D.f(1)f(3)(2)设函数 f(x)在1, + )上为增函数, f(3)=0,且 g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式 g(2-2x)0 且 a1,对任意的实数 ,函数 f(x)=ax+a -x不可能 ( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数3.【微点 3】2018吕梁模拟 函数 f(x)在(0, + )上单调递增,且 f(x+2)的图像关于直线 x=-2 对称,若 f(-2)=1,则满足 f(x-2)1
10、的 x 的取值范围是 ( )A.-2,2B.(- ,-22, + )C.(- ,04, + )D.0,44.【微点 2】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, f(x)= . 5.【微点 2】若函数 f(x)=kx+log3(1+9x)为偶函数,则 k= . 探究点二 函数的周期性及其应用例 4 (1)已知函数 f(x)对任意 xR,都有 f(x+2) =f(x),当 x(0,)时, f(x)=2sin ,则 fx2=( )(193)A. B.12 32C.1 D. 3(2)2018山西 45 校联考 函数 f(x)的定义域为 R,且对任意 xR,都有 f(x+1)=f(x
11、-1),若在区间 -1,1上 f(x)= 则 f(2017)+f(2018)=( )ax+2,-1 x 0,(a-2x)ex,0f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“ f”变成常规不等式,如x1x2)求解 .微点 2 奇偶性与周期性的结合例 6 (1)2018全国卷 已知 f(x)是定义域为( - ,+ )的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( )A.-50 B.0C.2 D.507(2)2018南昌二模 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意实数 x,都有 f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且 x
12、 -3,0时, f(x)=lo (6+x),则 f(2018)的值为 ( )g12A.-3 B.-2C.2 D.3总结反思 周期性与奇偶性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值 .微点 3 奇偶性、周期性与单调性的结合例 7 (1)2018泉州 5 月质检 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=-f(x),且在0,2上单调递减,则 ( )A.f(8)0B.减函数,且 f(x)0总结反思 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解 .8应用演练1.【微点 1】2
13、018衡水中学月考 下列函数中,与函数 y=-3|x|的奇偶性相同,且在( - ,0)上的单调性也相同的是 ( )A.y=1-x2B.y=log2|x|C.y=- D.y=x3-11x2.【微点 2】已知 f(x)为定义在 R 上且周期为 2 的奇函数,当 -1 x2 的解集为 ( )A.(2,+ ) B. (2, + ) (0,12)C. ( ,+ ) D.( ,+ )(0,22) 2 24.【微点 3】2018天津 9 校联考 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),当x0,2时, f(x)=2x-1.设 a=ln ,b= ,c= ,则 ( )1 e-ln 25
14、 (13)-0.1A.f(a)0,|x+3|-3 0,(0,1),f (x)= = ,f (-x)= =-f(x),f (x)是奇函数 .lg(1-x2)|x+3|-3lg(1-x2)x lg(1-x2)-x6.x=a (b,0) 解析 因为 y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于 y 轴对称,将 y=f(x+a)的图像向左( a0)平移 |a|个单位长度,得到函数 y=f(x)的图像,则 y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线 x=a 处,即函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称 .同理,函数 y=g(x)的图像关于点( b,0)成中心对称 .7.2 解析 f (x)=-f ,f
15、(x+3)=f =-f =f(x),f (2018)(x+32) (x+32)+32 (x+32)=f(3672+2)=f(2)=2.8. 解析 设 x0,所以 f(x)=-f(-x)=-(-x)-3=x+3(x0,0,x=0,x+3,x0,0,x=0,x+3,x0x2+11x2+1+x x2+1时, -x0,则 f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函数为奇函数;对于 ,定义域为 R,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函数为偶函数 .所以选 D.例 2 思路点拨 (1)观察函数结构,可整理成一个奇函数及一个常数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值的和为 0
16、 求解;(2)奇函数的定义域中若有 0,则 f(0)=0,求出 m,再根据奇函数的定义求值 .(1)C (2)-7 解析 (1)令 x-1=t,则 f(t)= =3- ,t -4,4, 3e|t|-sinte|t| sinte|t|y=f (t)-3 是奇函数,则 f(t)min-3+f(t)max-3=0,即 f(t)min+f(t)max=6, 函数 f(x)在区间 -3,5上的最大值、最小值之和为 6,即 p+q=6,故选 C.(2)函数 f(x)为 R 上的奇函数,则 f(0)=0,即 20+m=0,所以 m=-1,当 x0 时, f(x)=2x-1,所以 f(-3)=-f(3)=-(
17、23-1)=-7.例 3 思路点拨 (1)由函数 y=f(x+2)为偶函数可知函数 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,再结合单调性比较大小;(2)根据函数图像的平移关系得到函数 g(x)的单调递增区间,根据偶函数的单调性解不等式即可得到结论 .11(1)D (2)(0,2) 解析 (1)函数 y=f(x+2)为偶函数,将函数 y=f(x+2)的图像向右平移 2个单位长度得到函数 y=f(x)的图像,所以 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,则函数 f(x)在(- ,2)上单调递减,在2, + )上单调递增,所以 f(0)f(1),f(0)f(2),f(1)f(2)都成立,f(1)f(
18、3)不成立 .故选 D.(2)f(x)在1, + )上为增函数,将 f(x)的图像向左平移 1 个单位长度得到 f(x+1)的图像,则 f(x+1)在0, + )上为增函数,即 g(x)在0, + )上为增函数,且 g(2)=f(2+1)=f(3)=0.不等式 g(2-2x)0 时, -x0.125.-1 解析 由偶函数的定义得到 kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即 2kx=log3 =-1+9-x1+9x2x,即(2 k+2)x=0 恒成立,所以 k=-1.例 4 思路点拨 (1)由题知函数 f(x)的周期为 2,利用周期性将所求函数值转化到已知定义区间求解;(2
19、)由条件可得出函数的周期为 2,利用 f(-1)=f(1)求出 a,再求 f(2017)+f(2018)的值 .(1)C (2)C 解析 (1)由 f(x+2) =f(x)可知函数 f(x)的周期为 2,所以 f =f(193)=f ,又当 x(0,)时, f(x)=2sin ,所以 f =2sin =1,故选 C.(6 + 3) ( 3) x2 ( 3) 6(2)由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)是周期为 2 的函数,故 f(-1)=f(1),代入解析式,得 -a+2=(a-2)e,解得 a=2,从而 f(x)= 故 f(2017)+f(2018)=f(1)+f(0)=0+2=2,
20、故2x+2,-1 x 0,(2-2x)ex,0f(0)f(1),所以 f(11)0, 当 x( -1,0)时, f(x)2,即 f(|log2x|)f(1),即 |log2x|1,即 log2x1 或 log2x2或 00,则 f(a)=f =-f 0,(13)-0.1又 2ln ln = ,且 f(x)=2x-1 在0,2上单调递增,e12f (ln ) f ,f (a)bc B.cbaC.bca D.bac解析 A 函数 y=f(x+1)的图像关于直线 x=-1 对称,将 y=f(x+1)的图像向右平移 1 个单位长度,得到 y=f(x)的图像,则 f(x)的图像关于直线 x=0,即 y
21、轴对称,则函数 f(x)是偶函数 .当 x0 时, f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数, 当 x0 时, f(x)为增函数 .易知 log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52, log32= ,log42= ,log52= ,1log23 1log24 1log25且 0 0,1log23 1log24 1log25即 log32log42log520,则 1+log321+log421+log521,即 log36log48log5101,f (log36)f(log48)f(log510),即 abc.例 3 配合例 4 使用 已知定义在
22、R 上的函数 f(x)满足 f(4)=2- ,且对任意的 x 都有3f(x+2)= ,则 f(2018)= ( )1-f(x)A.-2- B.-2+3 3C.2- D.2+3 316解析 A 由 f(x+2)= ,得 f(x+4)= =f(x),所以函数 f(x)的周期为 4,所以1-f(x) 1-f(x+2)f(2018)=f(2),又 f(2+2)= ,所以 f(2)=- =- =-2- ,即 f(2018)=-2- .1-f(2) 1f(4) 12- 3 3 3例 4 配合例 7 使用 2018河南林州一中调研 已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,满足f(x+2)=f(x-2)+f
23、(2),且当 x0,2时, f(x)=2x-4.令函数 g(x)=f(x)-m,若 g(x)在区间 -10,2上有 6 个零点,分别记为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,则 x1+x2+x3+x4+x5+x6= . 答案 -24解析 不妨设 x1x2x3x4x5x6.因为函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(-2)=f(2).因为f(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令 x=0,可得 f(2)=0,因此 f(x+2)=f(x-2),即 f(x+4)=f(x),所以f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直线 x=2 是函数 f(x)图像的对称轴,周期 T=4,又函数 f(x)是偶函数,其图像关于 y 轴对称,因此直线 x=4 也是其图像的对称轴 .因为当 x0,2时, f(x)单调递增,所以 g(x)=f(x)-m 在区间0,2上单调递增,所以当 x0,2时,只有一个零点 x1,同理在区间 -2,0)上只有一个零点 x2,则 x1+x2=0.同理 x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案为 -24.
