1、1第 9 讲 对数与对数函数1.对数概念如果 ax=N(a0,且 a1),那么 x 叫作以a 为底 N 的 ,记作 x=logaN,其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数,logaN 叫作对数式 底数的限制: a0,且 a1对数式与指数式的互化: ax=N 负数和零没有 loga1= logaa=1性质对数恒等式: = alogaNloga(MN)= loga = MN运算法则logaMn= (nR) a0,且 a1,M0,N0换底公式:log ab= (a0,且logcblogcaa1, c0,且 c1, b0)换底公式推论:lo bn= ,logab= gam1logba2.对数函数的概
2、念、图像与性质概念函数 y=logax(a0,a1)叫作 函数 底数 a1 00,且 a1)与对数函数 互为反函数,它们的图像关于直线 对称 . 常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称 .2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数 . 题组一 常识题1.教材改编 化简 logablogbclogca 的结果是 . 2.教材改编 函数 f(x)=log2(2-x)的定义域是 . 3.教材改编 若函数 y=f(x)是函数 y=2x的反函数,则 f(2)= . 4.教材改编 函数 y=lo (x2-4x+5)的单调递增区间是 . g12题组二 常错题3索引:对数的性质及其运算掌握
3、不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误 .5.有下列结论: lg(lg 10)=0; lg(ln e)=0; 若 lg x=1,则 x=10; 若 log22=x,则x=1; 若 logmnlog3m=2,则 n=9.其中正确结论的序号是 . 6.已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),则 = . xy7.设 a= ,b=log9 ,c=log8 ,则 a,b,c 的大小关系是 . 14 85 38.若函数 y=logax(a0,a1)在2,4上的最大值与最小值的差是 1,则 a= . 探究点一 对数式的化简与求值例 1 (1)2018宿州质检 已知
4、 m0,n0,lo (3m)+log2n=lo (2m2+n),则 log2m-g 2 g 2log4n 的值为 ( )A.-1 B.1C.-1 或 0 D.1 或 0(2)设 2x=5y=m,且 + =2,则 m= . 1x1y总结反思 (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论 .在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形 .(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化 .变式题 (1)2018昆明一中模拟 设 x,y 为正数,且 3x=4y,当 3x=py 时, p 的值为 ( )A.log34 B.log43C.6lo
5、g32D.log32(2)计算:lg 32 +log416+6lg -lg 5= . 12探究点二 对数函数的图像及应用例 2 (1)函数 f(x)=loga|x|+1(0bc0,则 , , 的大小关系是 ( )f(a)a f(b)b f(c)cA. f(a)a f(b)b f(c)cB. f(c)c f(b)b f(a)aC. f(b)b f(a)a f(c)cD. f(a)a f(c)c f(b)b5探究点三 解决与对数函数性质有关的问题微点 1 比较大小例 3 (1)2018武汉 4 月调研 若实数 a,b 满足 ab1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2
6、,则 m,n,l 的大小关系为 ( )A.mln B.lnmC.nlm D.lmn(2)2018长沙雅礼中学期末 已知 a=ln ,b=lo ,则( )12 g1312A.a+b1lo a,则 a 的取值范围是 ( )23 g34A. B.(23,1) (23,34)C. D.(34,1) (0,23)(2)已知实数 a0,且满足不等式 33a+234a+1,则不等式 loga(3x+2)b 的不等式,一般转化为 logaf(x)logaab,再根据底数的范围转化为 f(x)ab或 0logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解 .微点 3 对数函数性质的综合问题例 5 (1)201
7、8丹东二模 若函数 f(x)= 存在最小值,则 a 的取值logax,x3,log1ax+2,00,且 a1)与对数函数 y=logax(a0,且 a1)互为反函数 .【课前双基巩固】知识聚焦1.对数 x=logaN 对数 0 N logaM+logaN logaM-logaN nlogaM logabnm2.对数 (0,+ ) R (1,0) 增 减3.y=logax(a0,且 a1) y=x8对点演练1.1 解析 利用对数的换底公式可得结果为 1.2.(- ,2) 解析 由 2-x0,解得 x0 恒成立,且12 g12单调递减区间为( - ,2),所以函数 y=lo (x2-4x+5)的单
8、调递增区间是 (- ,2).g125. 解析 lg 10=1,则 lg(lg 10)=lg 1=0; lg(ln e)=lg 1=0; 底的对数等于 1,则 x=10; 底的对数等于 1; logmn= ,log3m= ,则 =2,即 log3n=2,故 n=9.lgnlgm lgmlg3lgnlg36.4 解析 因为 lg x+lg y=2lg(x-2y),所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0,解得 x=y 或x=4y.由已知得 x0,y0,x-2y0,所以 x=y 不符合题意,当 x=4y 时,得 =4.xy7.cab 解析 a= =log9 =log9 log9 =b
9、,所以 cab.14 49 3 3 3 858.2 或 解析 分两种情况讨论:(1)当 a1 时,有 loga4-loga2=1,解得 a=2;(2)当 00 时, f(x)=loga|x|+1(01 或 x1 时,函数 f(x)=ln(x-1)是增函数,故排除 A.故选 B.(2)由题意可得, , , 可分别看作函数 f(x)=log2(x+1)图像上的点( a,f(a),(b,f(b),f(a)a f(b)b f(c)c(c,f(c)与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当 abc0 时, .故选 B.f(c)c f(b)b f(a)a例 3 思路点拨 (1)推导出 0=loga1b1,
10、m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2, 0=loga1n=(logab)2,lnm. 故选 B.(2)由题得 a=ln lo 1=0,所以 ab1 与 lo a1,可得 (34,85) 23 23 g34.综上可得 4a+1, 08-5x,3x+20,8-5x0, (34,85)例 5 思路点拨 (1)由分段函数在两段上的单调性,结合 f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令 t=x2-ax+3a,则由题意可得函数 t=x2-ax+3a 在区间2, + )上为增函数,且当x=2 时, t0,从而得解 .(1)C (2)-41,否则函数无最小值,所以当 x3
11、时, f(x)loga3,当 00,故有 解得 -40,应用演练1.B 解析 由题得函数 f(x)=a+log2x 在区间1, a上是增函数,所以当 x=a 时,函数取得最大值 6,即 a+log2a=6,解得 a=4.故选 B.112.C 解析 0log0.40.4=1,c=log80.40,可得 x2-2xba B.bacC.acb D.abc解析 D a=1 180=1,b=log2017 = log20172018, log20172018(1,2),8118 201812b .c=log2018 = log20182017, log20182017(0,1), c ,abc.(12,
12、1) 201712 (0,12)例 3 配合例 5 使用 已知函数 f(x)=lg 的值域是 R,则 m 的取值范围是 ( )(5x+45x+m)A.(-4,+ ) B.-4,+ )C.(- ,4) D.(- ,-4解析 D 令 t=5x+ +m,因为 f(x)的值域为 R,所以 t 可取(0, + )内的每一个正数,所以45x4+m0,故 m -4,故选 D.例 4 配合例 5 使用 已知函数 f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中 a0,且 a1) .(1)求函数 f(x)+g(x)的定义域;(2)判断函数 f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;(3)求使 f(x)+g(x)0,1-x0,- 11 时,0 1,不等式无解 .综上,当 a1 时,使 f(x)+g(x)0 成立的 x 的取值集合为 x|0x1 或 -1x0.
