1、1课时作业(十五) 第 15 讲 导数与函数的极值、最值时间 / 45 分钟 分值 / 100 分基础热身1.函数 f(x)=sin x-x 在区间0,1上的最小值为( )A.0B.sin 1C.1D.sin 1-12.2018河南中原名校模拟 已知函数 f(x)=2f(1)ln x-x,则 f(x)的极大值为 ( )A.2B.2ln 2-2C.eD.2-e3.若函数 f(x)=x(x-c)2在 x=2 处有极大值,则常数 c 为 ( )A.2 或 6B.2C.6D.-2 或 -64.2018鄂伦春二模 若函数 f(x)= 在( -2,a)上有最小值,则 a 的取值范围为 ( )exx+2A.
2、(-1,+ )B.-1,+ )C.(0,+ )D.0,+ )5.从长为 16 cm,宽为 10 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 cm3. 能力提升6.2018丹东期末 已知 x0是函数 f(x)=ex-ln x 的极值点,若 a(0, x0),b( x0,+ ),则( )A.f(a)0,f(b)0,f(b)0D.f(a)07.2018齐齐哈尔一模 若 x=1 是函数 f(x)=ax2+ln x 的一个极值点,则当 x 时,1e,ef(x)的最小值为( )A.1-e22B.-e+1eC.- -112e2D.e2-18.2018绵阳南山中学
3、二诊 若 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点,则 f(x)的极大值等于( )A.-1B.3C.-2e3D.6e-19.2018昆明质检 已知函数 f(x)= +k(ln x-x),若 x=1 是函数 f(x)的唯一极值点,则实exx数 k 的取值范围是 ( )A.(- ,eB.(- ,e)C.(-e,+ )D.-e,+ )10.已知函数 f(x)=ax+x2-xln a,对任意的 x1,x20,1,不等式 a-2 恒成|f(x1)-f(x2)|立,则 a 的取值范围为 ( )A.e2,+ )B.e,+ )C.2,eD.e,e2311.2018衡水中学月考 函数 f(x)=
4、 的图像在点(e 2,f(e2)处的切线与直线 y=- x 平alnxx 1e4行,则 f(x)的极值点是 x= . 12.2018东莞模拟 若 x=0 是函数 f(x)=a2ex+2x3+ax 的极值点,则实数 a= . 13.2018榆林模拟 设实数 m0,若对任意的 xe,不等式 x2ln x-m 0 恒成立,则 m 的emx最大值是 . 14.(12 分)2018齐齐哈尔一模 已知函数 f(x)=x(ex+1).(1)求函数 f(x)的图像在点(0, f(0)处的切线方程;(2)若函数 g(x)=f(x)-aex-x,求函数 g(x)在1,2上的最大值 .15.(13 分)2018湖北
5、黄冈八市联考 已知函数 f(x)=ex(x-aex).(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值;(2)若 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x10 且 a1,若当 x1 时,不等式 ax ax 恒成立,则 a 的最小值是( )A.e B.e1eC.2 D.ln 217.(5 分)2018四川棠湖中学月考 设函数 f(x)= x2-2ax(a0)的图像与 g(x)=a2ln x+b32的图像有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数 b 的最大值为 . 4课时作业(十五)1.D 解析 由题得 f(x)=cos x-1,因为 x0,1,所以 f(x)0,所以函数 f(x)在0,1上单调递减
6、,所以 f(x)min=f(1)=sin 1-1,故选 D.2.B 解析 f(x)=2f(1)ln x-x,则 f(x)=2f(1) -1.令 x=1,得 f(1)=2f(1)-1,所以1xf(1)=1,则 f(x)=2ln x-x,f(x)= -1= ,所以函数 f(x)在(0,2)上单调递增,在(2, + )2x 2-xx上单调递减,则 f(x)的极大值为 f(2)=2ln 2-2.3.C 解析 f (x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,f (x)=3x2-4cx+c2,由题意知 f(2)=12-8c+c2=0,解得 c=6 或 c=2.当 c=2 时, f(x)=3x2-8x+
7、4=3 (x-2),(x-23)x=2 为 f(x)的极小值,不满足题意 .当 c=6 时, f(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),x=2 为 f(x)的极大值,满足题意 .故 c=6.4.A 解析 f (x)= ,exx+2f (x)= = .ex(x+2)-ex(x+2)2 ex(x+1)(x+2)2 当 -2-1 时, f(x)0,f(x)在( -1,+ )上为增函数 .f (x)min=f(-1). 函数 f(x)= 在( -2,a)上有最小值,exx+2a- 1.5.144 解析 设小正方形的边长为 x cm(00,当 20),由 f(x)=
8、ex- =0,得 ex= .在平面直角坐标系中画出 y=ex,y=1x 1x 1x在第一象限的大致图像,如图所示 .1x由图可知,当 x(0, x0)时, f(x)0,所以 f(a)0,故选 D.7.A 解析 由题意得 f(1)=0,f (x)=2ax+ ,f (1)=2a+1=0,a=- ,f (x)=-x+ =1x 12 1x. 当 x 时, f(x)0,当 x1,e时, f(x)0, f (x)min=min =-1-x2x 1e,1 f(1e),f(e)e2+1,故选 A.128.D 解析 函数 f(x)=(x2+ax+1)ex,f (x)=x2+(2+a)x+a+1ex,x= 3 是
9、函数 f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点, f (3)=0,解得 a=-4,故 f(x)=(x2-2x-3)ex.易知当 x=-1 时 f(x)取得极大值,极大值为 f(-1)=6e-1,故选 D.9.A 解析 由函数 f(x)= +k(ln x-x),可得 f(x)= +k = .令 g(x)exx ex-exx2 (1x-1)(x-1)(ex-kx)x2=ex-kx,f (x)有唯一极值点 x=1,g (x)=ex-kx 在(0, + )上无零点或无变号零点 .g(x)=ex-k,当 k0 时, g(x)0 在(0, + )上恒成立, g (x)在(0, + )上单调递增, g (x
10、)g(0)=1,即 g(x)在(0, + )上无零点,符合题意 .当 k0 时, g(x)=0 的解为 x=ln k.易知当 0ln k时, g(x)0,g(x)单调递增 .g (x)min=g(ln k)=k-kln k.由题意知需满足 k-kln k0,可得02.|f(x1)-f(x2)|max由于 f(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,所以当 x0 时, f(x)0,所以函数 f(x)在0,1上单调递增,则 f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,6所以 f(x)max-f(x)min=a-ln a,故 a-2 a-ln a
11、,即 ln a2,解得 ae 2.11.e 解析 f(x)= ,a(1-lnx)x2故 f(e2)=- =- ,解得 a=1,ae4 1e4故 f(x)= ,f(x)= .lnxx 1-lnxx2令 f(x)=0,解得 x=e,因为当 x0,当 xe 时, f(x)0),则 f(x)=(x+1)ex0,f (x)在(0, + )上是增函数 . 0,ln x0, 由( *)式可知 ln x 对任意的 xe 恒成立,即 m xln x 对任意的 xe 恒mx mx成立, 只需 m( xln x)min.设 g(x)=xln x(xe),则 g(x)=ln x+10(xe),g (x)在e, + )
12、上为增函数,g (x)min=g(e)=e,m e,即 m 的最大值为 e.14.解:(1)依题意得 f(x)=ex+1+xex,故 f(0)=e0+1=2.又 f(0)=0,故所求切线方程为 y=2x.(2)依题意得 g(x)=(x-a+1)ex,令 g(x)=0,得 x=a-1.当 a-11 时, g(x)0 在1,2上恒成立, g(x)在1,2上单调递增, g(x)的最大值为 g(2).当 a-12 时, g(x)0 在1,2上恒成立, g(x)在1,2上单调递减, g(x)的最大值为 g(1).当 10 在( a-1,2上恒成立, g(x)在( a-1,2上单调递增 .所以当 x1,2
13、时, g(x)的最大值为 g(1)与 g(2)中的较大者 .因为 g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e2,7g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e),所以当 a = 时, g(1)-g(2)0, g(x)max=g(1)=(1-a)e;2e2-ee2-e2e-1e-1当 a0,可得 x-1,故 f(x)在( -1,+ )上单调递增 .同理可得 f(x)在( - ,-1)上单调递减 .故 f(x)在 x=-1 处有极小值,极小值为 f(-1)=- .1e(2)依题意可得 f(x)=(x+1-2aex)ex=0 有两个不同的实根 .设 g(x)=x
14、+1-2aex,则 g(x)=0 有两个不同的实根 x1,x2,g(x)=1-2aex.若 a0,则 g(x)1,此时 g(x)为增函数,故 g(x)=0 至多有 1 个实根,不符合要求 .若 a0,则当 x0,当 xln 时, g(x)0,得 00,此时 f(x)0;当 xx2时, g(x)0 在1, + )上恒成立, p(x)在1, + )上单调递增,则当x1 时, p(x) p(1)=0,与 p(x)0 恒成立矛盾 .当 ln a0,即 a(1, + )时,令 p(x)=0,解得 x= .1lna8易知当 x 时, p(x)0,p(x)单调递增,当 x 时, p(x)1,即 a(1,e)
15、,则当 x 时, p(x)单调递增, p(x) p(1)=0,与 p(x)0 恒成立1lna 1,1lna)矛盾;若 1,即 ae, + ),则当 x1, + )时, p(x)单调递减, p(x) p(1)=0,符合题意 .1lna综上, ae, + ),则 a 的最小值为 e,故选 A.17. 解析 由题意得 f(x)=3x-2a,g(x)= .12e2 a2x设 f(x)的图像与 g(x)(x0)的图像在公共点 P(x0,y0)处的切线相同,由题意得 f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),即3x0-2a=a2x0,32x20-2ax0=a2ln x0+b,由 3x0-2a= 可得 x0=a 或 x0=- (舍去),a2x0 a3b=- - ln x0.12x20x20设 h(t)=- t2-t2ln t(t0),则 h(t)=-t-(2tln t+t)=-2t(1+ln t),12 当 00,h(t)单调递增,当 t 时, h(t)0,h(t)单调递减,1e 1eh (t)max=h = , 实数 b 的最大值为 .(1e) 12e2 12e2
