1、1课时作业(二十三) 第 23 讲 正弦定理和余弦定理时间 / 45 分钟 分值 / 100 分基础热身1.2018江淮六校联考 已知在 ABC 中, a=1,b= ,A= ,则 B= ( )3 6A. 或 B. 3 23 23C. D. 3 42.2018东北师大附中月考 在 ABC 中, a=1,A= ,B= ,则 c= ( ) 6 4A.6+ 22B.6- 22C.62D.223.已知在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,B=60,a=4,且 ABC 的面积 S=20 ,则3c= ( )A.15 B.16C.20 D.4 214.设 ABC 的内角 A,B,C 所
2、对的边分别为 a,b,c,若 asin A=bcos C+ccos B,则 ABC 的形状为 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定5.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b=2 ,c=3,B=2C,则 S ABC= .3能力提升6.2018莆田九中月考 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若b=2a,sin2B=2sin Asin C,则 cos B= ( )2A. B.18 14C. D.1127.在 ABC 中, B= ,AB=2,D 为 AB 的中点, BCD 的面积为 ,则 AC 等于( ) 3 334A.2B
3、. 7C. 10D. 198.2018沈阳模拟 设 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果( a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 a= ,那么 ABC 的外接圆的半径为 ( )3A.1 B. 2C.2 D.49.2018烟台模拟 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bsin 2A+ asin 3B=0,b= c,则 的值为 ( )3caA.1B.33C.55D.7710.2018丹东二模 已知 ABC 的面积为 S,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若4S=a2-(b-c)2,bc=4,则 S= ( )A.2 B.4C.
4、 D.23 311.2018安徽示范高中联考 在 ABC 中, a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,若 sin A sin B sin C=4 5 6,则 = . 2acosAc12.2018上海浦东新区三模 已知 ABC 的三边 a,b,c 所对的内角分别为 A,B,C,且b2=ac,则 sin B+cos B 的取值范围是 . 13.2018黄石三模 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知( a+b-c)(a+b+c)=3ab,且 c=4,则 ABC 面积的最大值为 . 314.(12 分)2018天津河东区二模 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对
5、的边分别为 a,b,c,已知cos 2A=- ,c= ,sin A= sin C,A 为锐角 .13 3 6(1)求 sin A 与 a 的值;(2)求 b 的值及 ABC 的面积 .15.(13 分)2018石家庄二中月考 已知锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,sin A=3 sin C,且 ABC 的面积为 c2.232(1)求 B 的值;(2)若 D 是 BC 边上的一点,且 cos ADB= ,求 sin BAD 及 的值 .31010 BDCD难点突破16.(5 分)2018漳州质检 在 ABC 中, C= ,BC=2AC=2 ,点 D 在边 BC 上
6、,且 sin BAD= 3 3,则 CD= ( )277A. B.433 34C. D.33 23317.(5 分)2018成都七中三诊 在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,B= ,b= ,则 ABC 的面积的取值范围是 . 3 34课时作业(二十三)1.A 解析 由正弦定理 = 可得 sin B= = = ,B (0,), B= 或 .asinA bsinB bsinAa 3sin 61 32 3 232.A 解析 sin C=sin( -A-B)=sin = ,由正弦定理 = ,得 c= =7126+ 24 asinA csinC asinCsinA= .
7、16+2412 6+ 223.C 解析 由三角形面积公式可得 S ABC= acsin B= 4csin 60=20 ,所以 c=20.12 12 34.A 解析 由 asin A=bcos C+ccos B 及正弦定理得 sin2A=sin Bcos C+sin Ccos B, sin2A=sin(B+C)=sin A.又在 ABC 中,sin A0, sin A=1,A= , 2 ABC 为直角三角形 .5. 解析 由正弦定理 = ,2bsinB csinC得 = ,即 = ,bsin2C csinC 232sinCcosC 3sinC解得 cos C= .由余弦定理得 cos C= ,解
8、得 a=1 或 a=3(舍去),又 sin C= ,33 a2+b2-c22ab 63所以 S ABC= absin C= 12 = .12 12 3 63 26.B 解析 sin2B=2sin Asin C,b 2=2ac,又 b= 2a, 4a2=2ac,c= 2a.由余弦定理得 cos B= = = .a2+4a2-4a22a2a a24a2147.B 解析 由题意可知在 BCD 中, B= ,BD=1, 3 BCD 的面积 S= BCBDsin B= BC1 = ,解得 BC=3.在 ABC 中,由余弦定12 12 32 334理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=22+
9、32-223 =7,AC= .12 78.A 解析 设 ABC 的外接圆的半径为 R,因为( a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以( b+c)2-a2=3bc,即 b2+c2-a2=bc,5所以 cos A= = ,又因为 A(0,),所以 A= .b2+c2-a22bc 12 3由正弦定理可得 2R= = =2,所以 R=1,故选 A.asinA 3329.D 解析 由正弦定理及 bsin 2A+ asin B=0,可得 sin Bsin 2A+ sin Asin B=0,3 3即 2sin Bsin Acos A+ sin Asin B=0,3由于 sin Bsin A0,所以 cos
10、 A=- . 32又 b= c,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=3c2+c2+3c2=7c2,3所以 = .ca 7710.A 解析 因为 S= bcsin A,a2=b2+c2-2bccos A,4S=a2-(b-c)2,所以 2bcsin A=2bc-122bccos A,化简得 sin A+cos A=1,即 sin =1,2 (A+ 4)所以 sin = ,可得 A+ = ,(A+ 4) 22 434所以 A= ,所以 S= bcsin A=2. 2 1211.1 解析 由正弦定理得 abc= sin A sin B sin C=4 5 6,设 a=4,b=5,c=
11、6,则由余弦定理知 cos A= = = ,b2+c2-a22bc 25+36-1625634 =2 =1.2acosAc 46 3412.(1, 解析 b 2=ac,2ac=b 2=a2+c2-2accos B2 ac-2accos B,可得 cos B ,当且仅当 a=c 时等号成立 .12又 0B, B ,B+ ,(0, 3 4 ( 4,712可得 sin B+cos B= sin (1, .2 (B+ 4) 213.4 解析 由( a+b-c)(a+b+c)=3ab,可得 a2+b2-c2=ab,3根据余弦定理可得 cos C= = ,a2+b2-c22ab 12 0C, C= . 3
12、c= 4,a 2+b2-16=ab,即 a2+b2=ab+162 ab,可得 ab16,当且仅当 a=b 时取等号,6 ABC 的面积 S= absin C 16 =4 ,12 12 32 3则 ABC 面积的最大值为 4 .314.解:(1)由正弦定理 = ,asinA csinC得 = ,解得 a=3 . a6sinC 3sinC 2因为 cos 2A=2cos2A-1=- ,A 为锐角,13所以 cos A= ,sin A= .33 63(2)因为 b2+c2-a2=2bccos A,所以 b2-2b-15=0,解得 b=5 或 b=-3(舍去),所以 S ABC= bcsin A= 5
13、 = .12 12 3 63 52 215.解:(1)由题意及正弦定理得 a=3 c,2又 S ABC= acsin B= 3 c2sin B= c2,故 sin B= ,12 12 2 32 22又 0B ,所以 B= . 2 4(2)因为 cos ADB= ,0 ADB,所以 sin ADB= = ,31010 1-cos2 ADB1010又 BAD= -( ABD+ ADB),故 sin BAD=sin( ABD+ ADB)= + = .22 31010 22 1010255在 ABD 中,由正弦定理得 = ,ABsinADBBDsinBAD即 BD= AB =2 AB=2 c,255
14、10 2 2又 BC=3 c,所以 CD= c,所以 =2.2 2BDCD16.D 解析 C= ,BC=2AC=2 , 3 3AB= = =3,AC2+BC2-2ACBCcosC 3+12-2 32 312 cos B= = = ,又 B (0,),AB2+BC2-AC22ABBC 9+12-32323 32B= ,可得 BAC= . 6 2 sin BAD= , BAD , cos BAD= = ,277 (0, 2) 1-sin2 BAD2177 sin DAC=cos BAD= .217在 ABD 中,由正弦定理可得, AD= ,BDsinBsinBAD在 ADC 中,由正弦定理可得,
15、AD= , CDsinCsinDAC = ,解得 CD= ,故选 D.(23-CD)12277CD32217 23317. 解析 由正弦定理得 = = = =2,a= 2sin A,c=2sin C,(32,334 asinA csinC bsinB 3sin 3S ABC= acsin B= ac= sin Asin C= sin Asin = sin 12 34 3 3 (23-A) 3A = sin Acos A+ sin2A= sin 2A+ = sin 2A- cos (32cosA+12sinA)32 32 34 32 1-cos2A2 34 342A+ = sin + .34 32 (2A- 6) 34 ABC 为锐角三角形, 解得 A ,0A 2,023-A 2, 6 2 2A- , sin 1, 6 656 12 (2A- 6) sin + ,32 32 (2A- 6) 34 334故 ABC 的面积的取值范围是 .(32,334
