1、12.1 随机事件的概率,-2-,知识梳理,考点自诊,1.事件的分类,可能发生也可能不发生,-3-,知识梳理,考点自诊,2.频率与概率 (1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ,称事件A出现的比例 为事件A出现的 . (2)随机事件概率的定义:在 的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的 会在某个 附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个 叫做随机事件A的概率,记作P(A),有0P(A)1. (3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概
2、率P(A),因此可以用_来估计概率P(A).,频数,频率,相同,频率,常数,常数,频率fn(A),-4-,知识梳理,考点自诊,3.事件的关系与运算,发生,一定发生,BA (或AB),AB,A=B,当且仅当事件A发生或事件B发生,AB,当且仅当事件A发生且事件B发生,AB,-5-,知识梳理,考点自诊,不可能,AB=,不可能,必然事件,AB=, 且AB=,-6-,知识梳理,考点自诊,4.互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: . (2)必然事件的概率:P(A)= . (3)不可能事件的概率:P(A)= .
3、4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)= . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)= ,P(A)= .,0P(A)1,1,0,P(A)+P(B),1,1-P(B),-7-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)事件发生的频率与概率是相同的. ( ) (2)随机事件和随机试验是一回事. ( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. ( ) (5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ( ),2.(2018全国3,文
4、5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7,B,解析:某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,所以不用现金支付的概率为:1-0.45-0.15=0.4.故选B.,-8-,知识梳理,考点自诊,3.(2018甘肃兰州模拟,文8)袋中有红球和白球若干(都多于2个),从中任意取出两个小球,设恰有一个红球的概率为p1,没有红球的概率为p2,则至多有一个红球的概率为( ) A.1-p1 B.1-p2 C.p1+p2 D.1-(p1+p2)
5、C,解析:至多有一个红球包括恰有一个红球和没有红球,由互斥事件的概率公式知C正确.,4.(2018陕西榆林模拟,4)一箱产品中有一、二等品和次品,现从中随机地抽取一件,设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到次品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.3,则事件“抽到的产品不是次品”的概率为 ( ) A.0.95 B.0.65 C.0.35 D.0.05,A,解析:因为“抽到的产品不是次品”为事件A与B的和, 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.3=0.95.,-9-,考点1,考点2,考点3,随机事件的关系,A,-10-,考点1,考点2,考点3,思考如何判断随
6、机事件之间的关系? 解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,-11-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018河北石家庄模拟,7)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”
7、舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%.现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为( ) A.5 B.3 C.1 D.4,B,解析:由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为200.15=3.,-12-,考点1,考点2,考点3,随机事件的频率与概率 例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出
8、险情况,得到如下统计表:,-13-,考点1,考点2,考点3,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,(3)由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,-16-,考点
9、1,考点2,考点3,思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率? 解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率. 2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率;(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法,列举法,树状图法.,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练2假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:,-18-,考点1,考点2,考点
10、3,(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,互斥事件、对立事件的概率 例3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:,求:(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?,-21-,考点1,考点2,考点3,解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E
11、F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=ABC, 所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.,-22-,考点1,考点2,考点3,思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些? 解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法: (1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的
12、概率的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1- 求出所求概率,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法较简便.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018山东潍坊模拟,17)一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.,-24-,考点1,考点2,考点3,解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事
13、件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=ABC, 所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.,-25-,考点1,考点2,考点3,1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增
14、加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件: (1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥; (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解.,-26-,思想方法“正难则反”思想在概率中的应用 “正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到
15、事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)或P(B)时,利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一个,再求另一个.,-27-,典例某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.,已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率),-28-,解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,-29-,(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”, A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得,
