1、9.5 椭圆,-2-,知识梳理,考点自诊,1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数: (1)若 ,则点P的轨迹为椭圆; (2)若 ,则点P的轨迹为线段; (3)若 ,则点P不存在.,等于常数,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,-3-,知识梳理,考点自诊,2.椭圆的标准方程及性质,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列
2、结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.(2018山东烟台一模,5)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆
3、的短轴长为( ) A.6 B.8 C.9 D.10,A,解析:由题意,知椭圆满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定义可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所以椭圆的短轴为2b=6,故选A.,-8-,知识梳理,考点自诊,A,-9-,知识梳理,考点自诊,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,椭圆的定义及其标准方程,B,D,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考何时利用定义解决有关问题? 解题心得(1)解答椭圆的问题时,遇到椭圆上动点到焦点的距离,要联想到椭圆的定义,
4、解题时不要忘记2a|F1F2|这一条件;,(2)用待定系数法求椭圆方程的一般步骤.作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;设方程:根据上述判断设方程 (ab0);找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组;得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,D,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,椭圆的标准方程及应用,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,
5、考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何利用待定系数法求椭圆的标准方程?若焦点位置不定,如何根据题意设椭圆的方程? 思路点拨(1)根据焦点位置设出椭圆的方程 (ab0)代入点坐标,利用|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,求出a,c关系,根据c2=a2-b2联立方程求解;(2)设出一般的方程mx2+ny2=1(m0,n0且mn),代入点求解;(3)讨论焦点位置,代入点的坐标结合离心率求解.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考
6、点4,椭圆的几何性质及应用,A,D,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,2.解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.,思考求离心率的方法有哪些?如何实施这些方法?,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,D,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)圆M的方程可
7、化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m0).所以m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知直线l的方程为x=-c,又直线l与圆M相切,所以c=1.所以a2-3=1,所以a=2.故选C. (2)因为PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120, 所以PF2=F1F2=2c,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,直线与椭圆的综合应用(多考向) 考向1 有关弦长问题,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的
8、方程能减少计算量?,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 中点弦、弦中点问题,思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用何种题型?,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3 直线与椭圆的综合应用,(1)求椭圆C的方程; (2)过(0,-1)的直线l交椭圆于A,B两点,试问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)
9、由已知动直线l过(0,-1)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16; 当l与y轴重合时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9.所以两圆相切于点(0,3),即两圆只有一个公共点.因此,所求点T如果存在,只能是点(0,3).以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3):当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点T(0,3);,-41-,考点1,考点2,考点3,考点4,-42-,考点1,考点2,考点3,考点4,-43-,考点1,考点2,考点3,考点4,-44-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=t
10、y+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论. 4.要证明直线过一个定点,可以先用一个变量表示出这个定点,当这个量取某一定值时,某一方程恒成立即可.,-45-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)在平面直角坐标系xOy中,M,N是x轴上的动点,且|OM|2+|ON|2=8,过点M,N分别作斜率为 的两条直线交于点P,设点P的轨迹为曲线E. 求曲线E的方程; 过点Q(1,1)的两条直线分别交曲线E于点A,C和B,D,且ABCD,求证:直线AB的斜率为定值.,-46-,考点1,考点2,考点3
11、,考点4,-47-,考点1,考点2,考点3,考点4,ABCD, 设 = , = (0),A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD), 则(1-xA,1-yA)=(xC-1,yC-1), 即xA=1+-xC,yA=1+-yC(), 同理xB=1+-xD,yB=1+-yD(),-48-,考点1,考点2,考点3,考点4,化简得3(xA+xB)(xA-xB)=-4(yA+yB)(yA-yB)() 把()()代入(),得 3(2+2)(xC-xD)-3(xC+xD)(xC-xD) =-4(2+2)(yC-yD)+4(2+2)(yC+yD)(yC-yD), 将C(xC,yC),
12、D(xD,yD)代入椭圆方程,同理得 3(xC+xD)(xC-xD)=-4(yC+yD)(yC-yD),代入上式得3(xC-xD)=-4(yC-yD).,-49-,考点1,考点2,考点3,考点4,-50-,考点1,考点2,考点3,考点4,-51-,考点1,考点2,考点3,考点4,-52-,考点1,考点2,考点3,考点4,-53-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.求椭圆标准方程的两种常用方法,求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.,-54-,考点1,考点2,考点3,考点4,2.椭圆定义的应用技巧,3.直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法 一般是先把直线方
13、程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.,-55-,考点1,考点2,考点3,考点4,4.弦中点问题,-56-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小. 2.关于离心率的取值范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0,1). 3.注意椭圆的范围,在设椭圆 (ab0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.,-57-,数学核心素养例释数学抽象 数学抽象是指通过对数量关系与空间
14、形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征. 数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.,-58-,椭圆中点弦斜率公式及其应用,-59-,评析:数学抽象体现在求结论应用并转化为离心率的求解上.,-60-,评析:数学抽象体现在利用结论求轨迹方程上.,-61-,-62-,反思提升圆锥曲线中点弦问题是高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和根与系数的关系,设而不求.但一般来说解题过程是相当烦琐的.若能巧妙地利用上面的定理则可以方便快捷地解决问题.,
