1、第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 圆的方程 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 圆与圆的位置关系,考法1 求圆的方程 考法2 与圆有关的最值问题 考法3 直线与圆、圆与圆的位置关系 考法4 圆中的弦长问题 考法5 圆的切线问题,B考法帮题型全突破,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第九章：直线和圆的方程,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的热点,主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,一般以选择题和填空题的形式出现
2、,有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题,解题时要充分利用圆的几何性质简化运算过程. 2.学科核心素养 本讲主要考查考生的数学运算、直观想象素养和数形结合思想的运用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 圆的方程 考点2 直线与圆的位置关系 考点3 圆与圆的位置关系,文科数学 第九章：直线和圆的方程,1.圆的方程,考点1 圆的方程（重点）,名师提醒 (1)若没有给出r0,则圆的半径为|r|. (2)在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点(- 2 ,- 2 );当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
3、,文科数学 第九章：直线和圆的方程,2.点与圆的位置关系 (1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:dr点在圆外;d=r点在圆上;dr2点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,设圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则,考点2 直线与圆的位置关系（重点）,1.圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(Rr),则,考点3 圆与圆的位置关系（重点）,2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ,圆C2:x2+y2+D2x+E2
4、y+F2=0 ,若两圆相交,则有一条公共弦,由-,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 . 方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,名师提醒 (1)方程存在的前提是两圆相交. (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心. (3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,B考法帮题型全突破,考法1 求圆的方程 考法2 与圆有关的最值问题 考法3 直线与圆、圆与圆的位置关系 考法4 圆中的弦长问题 考法5 圆的切线问题,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法1 求圆的方程,示例1 2018天津,12,5分文在平
5、面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1), (2,0)的圆的方程为 .,思维导引 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),分别将三点的坐标代入圆的方程,求出D,E,F即可;或者设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,分别将三点的坐标代入圆的方程,求出a,b,r即可.,解析解法一(待定系数法)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 4F0),则 =0， 1+1+=0, 4+2+=0, 解得D=-2,E=0,F=0,即圆的方程为 x2+y2-2x=0. 解法二 (待定系数法)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则 2 +
6、2 = 2 , (1) 2 + (1) 2 = 2 , (2) 2 + 2 = 2 ,文科数学 第九章：直线和圆的方程,由-,得a=1, 代入,得(1-b)2=r2,结合,得b=0,所以r2=1,故圆的方程为(x-1)2+y2=1, 即x2+y2-2x=0. 解法三(几何法)记A(0,0),B(2,0),C(1,1),连接AB,由圆过点A(0,0),B(2,0)知, AB的垂直平分线x=1必过圆心.连接BC,又圆过点C(1,1),BC的中点为( 3 2 , 1 2 ), BC所在直线的斜率kBC=-1,所以BC的垂直平分线为直线y=x-1,联立, 得 =1, =1, 解得圆心的坐标为(1,0)
7、,半径为1,故圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,方法总结 1.求圆的方程的两种方法 (1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)圆心在圆的任意
8、弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.,思维拓展 圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数; (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R); (3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).,文科数学 第九章：直线
9、和圆的方程,拓展变式1 已知圆心在x轴上,半径为 5 的圆位于y轴右侧,且截直线x+2y=0所得弦的长为2,则圆的方程为 .,1.(x-2 5 )2+y2=5 根据题意,设圆的圆心坐标为(a,0)(a0),则圆的标准方程为(x-a)2+y2=5(a0),则圆心到直线x+2y=0的距离d= |+20| 1 2 + 2 2 = 5 5 a. 又该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2,所以可得12+( 5 5 a)2=5,解得a=2 5 . 故圆的方程为(x-2 5 )2+y2=5.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法2 与圆有关的最值问题,示例2 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
10、 (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值.,解析 (1)(斜率型)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3 为 半径的圆, 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 =k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时 20 2 +1 = 3 ,解得 k= 3 . 所以 的最大值为 3 ,最小值为- 3 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)(截距型)解法一y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+ b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时 20+ 2 =
11、3 ,解得b=-2 6 . 所以y-x的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2- 6 . 解法二 设圆的参数方程为 =2+ 3 cos = 3 sin (02), 则y-x= 3 sin - 3 cos -2= 6 sin(- 4 )-2,当= 3 4 时,y-x取最大值 6 -2; 当= 7 4 时,y-x取最小值- 6 -2.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(3)(距离型)解法一 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知 识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 (20) 2 + (00) 2 =2, 所以x2+y2的最大值是(2+ 3
12、 )2=7+4 3 , x2+y2的最小值是(2- 3 )2=7-4 3 . 解法二由(2)中的参数方程可知,x2+y2=(2+ 3 cos )2+( 3 sin )2=7+ 4 3 cos ,从而得x2+y2的最大值和最小值分别为7+4 3 ,7-4 3 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,技巧点拨 与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略 (1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题; (2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点(直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值; (3)形如= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (4)形如t=ax+b
13、y的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用三角代换求解; (5)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式2 2018湖北武汉部分重点中学联考阿波罗尼斯是古希腊著名 数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表 作圆锥曲线论一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动 点M与两定点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼 斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题,已知圆O:x2+y2=1上的动点M和 定点A(- 1 2 ,0),B(1,1),则2|MA|
14、+|MB|的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 10 D. 11,文科数学 第九章：直线和圆的方程,2.C (1)当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0). 若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2 1 2 + （1+1） 2 + 1 2 =1+ 5 ; 若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2 3 2 + （11） 2 + 1 2 =4. (2)当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|= 1 2 ,|OK| =2,所以 = =2.因为MOK=AOM,所以MOKAOM,则 =,文科数学 第九章：直线和圆的方
15、程, =2,所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK| |BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长.因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+ |MB|)min=|BK|= （21） 2 + （01） 2 = 10 . 综上,易知2|MA|+|MB|的最小值为 10 .故选C.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法3 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系 示例3 直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,思维导引 根据直线与圆的位置关系
16、的判断方法代数法或几何法求解,也可以利用直线所过的定点,结合该定点与圆的位置关系求解.,解析解法一 (代数法)由 +1=0, 2 +(1 ) 2 =5, 消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, 因为=16m2+200,所以直线l与圆相交. 解法二 (几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d= | 2 +1 1 5 ,故直线l与圆相交. 解法三 (点与圆的位置关系法)直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交. 答案A,文科数学 第九章：直线和圆的方程,点评 判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到
17、直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,方法总结 1.判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断. (2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断. 如果0,那么直线与圆相交. (3)点与圆的位置关系法:若直线过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,2.圆与圆的位置关系 示例4 分别求当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交
18、和相切.,思维导引,确定两圆的 圆心和半径,利用两圆位置关系及C2对k的限制确定关系式,求解参数的值 或取值范围,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解析将两圆的一般方程化为标准方程,得 C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k, 则圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1; 圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2= 50 ,k50. 从而|C1C2|= (21 ) 2 +(37 ) 2 =5. 当| 50 -1|5 50 +1,即4 50 6,即14k34时,两圆相交. 当1+ 50 =5,即k=34时,两圆外切;当| 50 -1|=5,即k=14时
19、,两圆内切.所以当k=14或k=34时,两圆相切.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,方法总结 圆与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由两圆的圆心距d与半径R,r(Rr)的关系来判断.dR+r外离;d=R+r外切;R-rdR+r相交;d=R-r内切;dR-r内含. (2)代数法:设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 对于方程组 2 + 2 + 1 + 1 + 1 =0, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =0, 如果该方程组没有实数解,那么两圆相离; 如果该方程组有两组相同的实数解,那么两圆相切; 如果该方程组有两组不同的实数解,
20、那么两圆相交.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,注意 判断圆与圆的位置关系时,一般不用代数法,因为利用代数法不能判断内切与外切,内含与外离;利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与R+r,R-r的关系.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式3 （1）原创题已知直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0,若直线l与圆C无公共点,则m的取值范围是 ( ) A.(1,8) B.(8, 37 4 ) C.(1,37) D.(8,+),(2)已知圆O:x2+y2=1,点P为直线 4 + 2 =1上一动点,过点P向圆O引两条切线 PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点 (
21、 ) A.( 1 2 , 1 4 ) B.( 1 4 , 1 2 ) C.( 3 4 ,0) D.(0, 3 4 ),文科数学 第九章：直线和圆的方程,3.(1)B 将圆的方程配方,得(x+ 1 2 )2+(y-3)2= 374 4 ,则 374 4 0,解得m8.所以m的取值范围是(8, 37 4 ).故选B.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)B 因为点P是直线 4 + 2 =1上的一动点,所以设P(4-2m,m). 因为PA,PB是圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以OAPA,OBPB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,即弦AB是圆O和圆C的公共弦. 因为圆心C的坐
22、标是(2-m, 2 ),且半径r= (42 ) 2 + 2 2 ,所以圆C的方程为(x-2+m)2+(y- 2 )2= (42 ) 2 + 2 4 ,文科数学 第九章：直线和圆的方程,又x2+y2=1 , 所以-,得(2m-4)x-my+1=0,即公共弦AB所在的直线方程为(2x-y)m+ (-4x+1)=0,所以由 4+1=0, 2=0, 得 = 1 4 , = 1 2 , 所以直线AB过定点( 1 4 , 1 2 ).故选B.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法4 圆中的弦长问题,示例5 2019昆明市调研测试若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则
23、|AB|的最小值为 .,思维导引 先由条件求出圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心和半径r,再求出点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d,最后求得|AB|的最小值|AB|min=2 2 2 .,解析 (几何法)由题意得,圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r= 1 2 36+1616 =3. 因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d= (31 ) 2 +(21 ) 2 = 5 ,所以|AB|的最小值|AB|min=2 2 2 =2 95 =4.（|AB|的最小值是过点(1,1)且垂直于过该点的直径的弦的长）,文科数学 第九章：直线和圆的方程,示例6 2017全国卷,20
24、,12分文在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,思维导引 (1)利用设而不求法,借助向量的方法推证 0,进而得出不会出现ACBC的情况.(2)思路一,先由条件求得过A,B,C三点的圆的方程,再令x=0求得圆与y轴的交点坐标,最后可证得“过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值”;思路二,利用平面几何中的相交弦定理求解.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,
25、0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2+mx-2=0的两根,所以x1x2=-2,又点C的坐标为(0,1),则 =(-x1,1)(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-10,所以不能出现ACBC的情况. (2)解法一 由题意知,过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上.设圆心E(x0,y0),则x0= 1 + 2 2 ,由(1)可得x1+x2=-m,所以x0=- 2 ,由|EA|=|EC|,得( 1 + 2 2 -x1)2+ 0 2 =( 1 + 2 2 )2+(y0-1)2,化简得y0= 1+ 1 2 2 =- 1 2 ,所以圆E的方程为,文科数学 第九章：直线和圆的方程,
26、(x+ 2 )2+(y+ 1 2 )2=(- 2 )2+(- 1 2 -1)2.令x=0,得y1=1,y2=-2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为1-(-2)=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 解法二 设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,则由相交弦定理可得|OC|OD|=|OA|OB|=|x1|x2|=2.(利用相交弦定理:若圆O的两条弦AB,CD交于一点P,则|PA|PB|=|PC|PD|) 又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.,文科数学 第九
27、章：直线和圆的方程,方法总结 1.求解圆的弦长问题的方法 (1)几何法:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2 2 2 .,(2)代数法:若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|= 1+ 2 ( + ) 2 4 = 1+ 1 2 |yA-yB|(其中k0).特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,当直线与圆相交时,半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的RtADC),在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合
28、起来使用.,2.求圆中的弦长问题的技巧 (1)垂直于弦的直径平分这条弦; (2)圆心与弦的中点的连线垂直于这条弦; (3)d2+( 2 )2=r2,其中r为圆的半径,d为弦心距,l为弦长; (4)在研究与弦的中点有关的问题时,注意运用“平方差法”,即设弦AB两,文科数学 第九章：直线和圆的方程,端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),由 1 2 + 1 2 = 2 , 2 2 + 2 2 = 2 , 得k= 1 2 1 2 =- 1 + 2 1 + 2 =- 0 0 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式4(1)2019合肥市高三检测已知直线l:x+y
29、-5=0与圆C:(x-2)2+ (y-1)2=r2(r0)相交所得的弦长为2 ,则圆C的半径r=( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 (2)两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程 为,公共弦长为.,4.(1)B 解法一依题意知,圆C的圆心为(2,1),圆心到直线的距离d= 2+15 1+1 = 2 ,又弦长为2 2 ,所以2 2 2 =2 2 ,解得r=2.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二联立,得 +5=0, (2) 2 + (1) 2 = 2 , 消去y,整理得2x2-12x+20-r2=0. 设直线与圆的两交点分别为A
30、(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2= 20 2 2 ,所以 |AB|= 1+ 2 |x1-x2|= 2 ( 1 + 2 ) 2 4 1 2 =2 2 ,解得r=2.,(2)x-2y+4=02 5 联立两圆的方程,得 2 + 2 2+1024=0, 2 + 2 +2+28=0, 两式相减整理得x-2y+4=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法一 设两圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组 2+4=0, 2 + 2 +2+28=0, 解得 1 =4, 1 =0 或 2 =0, 2
31、 =2. 所以|AB|= (0+4 ) 2 +(20 ) 2 =2 5 ,即公共弦长为2 5 . 解法二 由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径r=5 2 ,圆心到直线x-2y+4=0的距离d= |12(5)+4| 1+(2 ) 2 =3 5 . 设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(3 5 )2+l2,解得l= 5 ,故公共弦长2l=2 5 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法5 圆的切线问题,示例7 已知点P( 2 +1,2- 2 ),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求
32、过点P的圆C的切线方程; (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.,思维导引 先分别判断点P,M与圆C的位置关系,再利用切线的性质来确定切线的斜率.,解析 由题意得圆心C(1,2),半径r=2. (1)因为( 2 +1-1)2+(2- 2 -2)2=4,所以点P在圆C上. 又kPC= 2 2 2 2 +11 =-1,所以切线的斜率k=- 1 =1. 所以过点P的圆C的切线方程是y-(2- 2 )=1x-( 2 +1),即x-y+1-2 2 =0. (2)因为(3-1)2+(1-2)2=54,所以点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2
33、)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d= |2+13| 2 +1 =r=2,解得k= 3 4 . 所以切线方程为y-1= 3 4 (x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. 因为|MC|= (31 ) 2 +(12 ) 2 = 5 ,所以过点 M的圆 C的切线长为 | | 2 2 = 54 =1. 点评 解决本题时利用数形结合可避免漏解.,文科数学
34、第九章：直线和圆的方程,感悟升华,1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率k,若k不存在,则结合图形可直接写出切线方程为y=y0;若k=0,则结合图形可直接写出切线方程为x=x0;若k存在且k0,则由垂直关系知切线的斜率为- 1 ,由点斜式可写出切线方程. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程 (1)几何法:当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可求出k的值,进而写出切线方程.当斜率不存在时要进行验证.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)代数法:当斜率存在时,设为k,则切
35、线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0,求得k,切线方程即可求出.当斜率不存在时要进行验证. 注意 在求过一定点的圆的切线方程时,应先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在圆内,则切线不存在.,3.求过圆外一点M作圆的切线长的技巧 先求M与圆心的距离d,再由勾股定理求得切线长为 2 2 (其中r为圆的 半径).,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展结论 与圆的切线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过
36、圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2; (4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|= 0 2 + 0 2 + 0 + 0 + ;,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(5)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为(x
37、0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (6)若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d= ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 2 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式5 (1)2018江西九江三校联考已知圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0和 圆C2:x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则 1 2 + 1 2 的最小值为( ) A.1 B.3C. 1 9 D. 4 9 (2)2018湖北四校联考已知点F是抛物线C:y2=4x的焦点,点M为抛物线C上 任意一点,过点M向圆(x-1)2
38、+y2= 1 2 作切线,切点分别为A,B,则四边形AFBM面 积的最小值为.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,5.(1)A 圆C1的方程可化为(x+a)2+y2=4,则圆心为C1(-a,0),半径r1=2.圆C2 的方程可化为x2+(y-2b)2=1,则圆心为C2(0,2b),半径r2=1.依题意可知两圆 外切,则两圆的圆心距等于两圆的半径之和,即 2 + (2) 2 =1+2,即a2+ 4b2=9,所以 1 2 + 1 2 =( 1 2 + 1 2 ) 2 + 4 2 9 = 1 9 (5+ 2 2 + 4 2 2 ) 1 9 (5+2 2 2 4 2 2 )=1, 当且仅当 2 2 = 4 2 2 ,即a= 2 b时取等号.故选A.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2) 1 2 设点M(x,y),易知抛物线C的焦点F(1,0)也为圆的圆心,圆的半径r=|FA| = 2 2 ,连接MF,则|MF|=x+1.因为MA为切线, 所以MAAF,在RtMAF中, |MA|= 2 2 = (+1) 2 1 2 . 易知MAFMBF,所以四边形AFBM的面积S=2 1 2 |MA|AF|= 2 2 |MA|=2 2 (+1) 2 1 2 ,又x0,所以当x=0时,四边形AFBM的面积取得最小值,最 小值为 2 2 2 2 = 1 2 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,
