1、选修4-5 不等式选讲,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 绝对值不等式 考点2 不等式的证明,考法1 绝对值不等式的解法 考法2 含有绝对值的恒成立、存在性、参数范围的问题 考法3 不等式的证明 考法4 利用绝对值三角不等式、基本不等式、求最值,B考法帮题型全突破,文科数学选修4-5：不等式选讲,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学选修4-5：不等式选讲,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,选修4-5是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,
2、分值10分. 2.学科核心素养 本章通过绝对值不等式的解法和不等式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思想和数形结合思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 绝对值不等式 考点2 不等式的证明,文科数学选修4-5：不等式选讲,考点1 绝对值不等式（重点）,1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集:(2)|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法: 若c0,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+bc或ax+b-c,然后根据a,b的值解出即可; 若c0,则|ax+b|c的解集为,|ax+b|c的解集为R.,(3)|x-a|+|x
3、-b|c(或c)(c0),|x-a|-|x-b|c(或c)(c0)型不等式的解法:,文科数学选修4-5：不等式选讲,（续表）注意 分区间讨论时,一是不要把分成的区间的端点遗漏;二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集,而不是交集.,文科数学选修4-5：不等式选讲,(4)|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法: |f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x); |f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x). 2.绝对值三角不等式 定理1 如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2 如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b
4、-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. 上述定理还可以推广到以下两个不等式: (1)|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|; (2)|a|-|b|ab|a|+|b|.,文科数学选修4-5：不等式选讲,考点2 不等式的证明（重点）,不等式证明的方法 1.比较法.(1)作差法:要证明ab,只需证a-b0. (2)作商法:要证明ab,b0,只需证 1;若b0,只需证 1. 2.综合法.从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论. 3.分析法.从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知,条件或一个明显成立的事实(定义、公理
5、或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立. 4.反证法.先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立. 5.放缩法.证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.,文科数学选修4-5：不等式选讲,思维拓展 基本不等式及其推广 (1)如果a,b0,那么 + 2 ,当且仅当a=b时,等号成立.即两个正数的算术平均数不小于(大于或等于)它们的几何平均数. (2)如果a,b,cR+,那么 + 3
6、3 ,当且仅当a=b=c时,等号成立.即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即 1 + 2 + a1a2 ,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.,文科数学选修4-5：不等式选讲,B考法帮题型全突破,考法1 绝对值不等式的解法 考法2 含有绝对值的恒成立、存在性、参数范围的问题 考法3 不等式的证明 考法4 利用绝对值三角不等式、基本不等式求最值,文科数学选修4-5：不等式选讲,考法1 绝对值不等式的解法,示例1 2019三湘名校联考已知函数f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式f(x)0的解集
7、; (2)若关于x的不等式|2m+1|f(x+3)+3|x+5|有解,求实数m的取值范围.,思维导引 (1)先去绝对值符号,将f(x)化为分段函数,然后分段求解不等式即可;(2)要使|2m+1|f(x+3)+3|x+5|有解,只需|2m+1|f(x+3)+3|x+5|min,求解可得m的取值范围.,解析(1)f(x)= 3, 1 2 , 31,20时,得x3;当-3x-10时,得-20时,得x-2, 综上可得不等式f(x)0的解集为(-,- 1 3 )(3,+). (2)依题意得|2m+1|(f(x+3)+3|x+5|)min, 令g(x)=f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+1
8、0|-2x-5+2x+10|=5, |2m+1|5,解得m2或m-3,即实数m的取值范围是(-,-32,+).,文科数学选修4-5：不等式选讲,方法总结 解绝对值不等式的常用方法 (1)基本性质法:对aR+,|x|axa. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求
9、解.,文科数学选修4-5：不等式选讲,已知函数f(x)=|2x+1|+2|x-3|. (1)求不等式f(x)7x的解集; (2)若关于x的方程f(x)=|m|存在实数解,求实数m的取值范围.,拓展变式1,1.(1)f(x)7x|2x+1|+|2x-6|7x, 此不等式等价于 1 2 , 212+67,文科数学选修4-5：不等式选讲,或 1 2 3, 2+12+67, 或 3, 2+1+267, 解得x或1x3或x3. 综上所述,原不等式的解集为x|x1. (2)|2x+1|+2|x-3|2x+1-2x+6|=7, 当且仅当(2x+1)(2x-6)0,即- 1 2 x3时取等号, 所以f(x)的
10、值域为7,+).所以|m|7,即m7或m-7. 所以实数m的取值范围为(-,-77,+).,文科数学选修4-5：不等式选讲,考法2 含有绝对值的恒成立、存在性、参数范围的问题,示例2 设函数f(x)=x+|x-a|. (1)当a=2 018时,求函数f(x)的值域; (2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2x-f(x)恒成立时a的取值范围.,思路分析,(1),(2),解析 (1)由题意得,当a=2 018时, f(x)= 22 018,2 018, 2 018,x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min2. 而|x+1|+|x-a|(x+
11、1)-(x-a)|=|1+a|, (绝对值三角不等式的应用) 所以|1+a|2,解得a1或a-3.,文科数学选修4-5：不等式选讲,点评 解决含参数绝对值不等式问题的关键是确定参数所满足的条件,基本思路就是先去掉绝对值符号,然后将其转化为一次不等式求解.,文科数学选修4-5：不等式选讲,示例3 设函数f(x)=|2x+3|+|x-1|. (1)解不等式f(x)4; (2)若存在x0- 3 2 ,1使不等式a+1f(x0)成立,求实数a的取值范围. 思维引导 (1)利用零点分段法构造不等式组求解;(2)将问题转化为求函数最值的问题即可求出实数a的取值范围. 解析 (1)由题意得f(x)= 32,
12、1.,文科数学选修4-5：不等式选讲,则f(x)4 4 或 3 2 1, +44 或 1, 3+24 x1. 所以不等式f(x)4的解集为(-,-2)(0,+). (2)存在x0- 3 2 ,1使不等式a+1f(x0)成立a+1f(x)min, 由(1)知,当x- 3 2 ,1时,f(x)=x+4, 所以f(x)min=f(- 3 2 )= 5 2 ,则a+1 5 2 ,解得a 3 2 , 所以实数a的取值范围为( 3 2 ,+).,文科数学选修4-5：不等式选讲,感悟升华 1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)
13、mina”可解决恒成立问题中的参数范围问题. 求最值的思路:利用基本不等式和不等式的相关性质解决;将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;利用性质“|a|-|b|ab|a|+|b|”求最值. (2)更换主元法:求解含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.,文科数学选修4-5：不等式选讲,(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可更直观解决问题. 注意 不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为的对立面也是不等式
14、恒成立问题,如f(x)m的解集为,则f(x)m恒成立. 2.不等式能成立问题 (1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立,等价于在区间D上f(x)maxA; (2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立,等价于不等式f(x)A的解集为D; (2)不等式f(x)B在区间D上恰成立,等价于不等式f(x)B的解集为D.,文科数学选修4-5：不等式选讲,拓展变式2,2018全国卷,23,10分文已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,2.(1)当a=1时,f(x)=|x+
15、1|-|x-1|,即f(x)= 2，1, 2,11的解集为x|x 1 2 .,文科数学选修4-5：不等式选讲,(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x 2 ,所以 2 1,故0a2. 综上,a的取值范围为(0,2. 易错警示本题的易错点有三处:一是零点分区间时,不注意端点值能否取到,导致结果出错;二是不会转化,如本题,不懂得利用x(0,1),把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题;三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题,导致所求的结果出错.,文科数学选修4-5：不等式选讲,考法3 不等式的证
16、明,示例4 2017全国卷,23,10分文已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.解析 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2 4.,(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b) 2+ 3(+ ) 2 4 (a+b) =2+ 3(+ ) 3 4 ，(当且仅当a=b时,取等号) 所以(a+b)38,因此a+b2.,文科数学选修4-5：不等式选讲,方法总结 证明不等式的常用方法:(1)比较法;(2)综合法;(3)分
17、析法;(4)反证法;(5)放缩法;(6)数学归纳法. 证明不等式的常用技巧:(1)利用换元法,构造法等简化对问题的表述和证明,换元时,注意新元的取值范围;(2)利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将不等式问题转化为函数问题求解.,文科数学选修4-5：不等式选讲,拓展变式3 设a,b,c0,且ab+bc+ca=1. 求证:(1)a+b+c 3 ; (2) + + 3 ( + + ). 解析 (1)要证a+b+c 3 ,由于a,b,c0,因此只需证明(a+b+c)23,即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)3,而ab+bc+ca=1,故需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)
18、3(ab+bc+ac),即证a2+b2+c2ab+bc+ac. 因为ab+bc+ca 2 + 2 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 2 =a2+b2+c2 (当且仅当a=b=c时等号成立),文科数学选修4-5：不等式选讲,所以原不等式成立. (2) + + = + . 在(1)中已证a+b+c 3 ,因此要证原不等式成立,只需证明 1 + + ,即证a +b +c ab+bc+ca. 而a = + 2 ,b = + 2 ,c = + 2 , 所以a +b +c ab+bc+ca (当且仅当a=b=c= 3 3 时等号成立).所以原不等式成立.,文科数学选修4-5：不等式选讲,考法4 利用
19、绝对值三角不等式、 基本不等式求最值,示例52019湖北、山东部分重点中学第一次联考已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|. ()解不等式f(x)2; ()设函数f(x)的最小值为m,若a,b均为正数,且 1 + 4 =m,求a+b的最小值.,解析 ()f(x)= 2,1, 2,11, 1, 22 或 11, 22. -1x1.不等式f(x)2的解集为-1,1. ()|x-1|+|x+1|(x-1)-(x+1)|=2,m=2. 又 1 + 4 =2,a0,b0, 1 2 + 2 =1. a+b=(a+b)( 1 2 + 2 )= 5 2 + 2 + 2 5 2 +2= 9 2 ,当且仅当 1
20、 + 4 =2, =2, 即 = 3 2 , =3 时等号成立.(a+b)min= 9 2 .,文科数学选修4-5：不等式选讲,示例6 设aR,f(x)=|x-3|-|x+a|. (1)当a=4时,求f(x)的最大值; (2)若对于任意实数x,不等式f(x)2a恒成立,求a的取值范围.,解析 (1)因为f(x)=|x-3|-|x+4|(x-3)-(x+4)|=7,所以f(x)的最大值是7.(利用|a|-|b|a-b|放缩) (2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|(x-3)-(x+a)|=|a+3|. 所以f(x)的最大值为|a+3|. 对于任意实数x,f(x)2a恒成立等价于|a+3|2a
21、. 当a-3时,a+32a,解得a3; 当a-3时,-a-32a,解得a-1,产生矛盾. 综上可知,a的取值范围是3,+).,文科数学选修4-5：不等式选讲,感悟升华 1.利用绝对值三角不等式求最值 (1)形如f(x)=|Ax+B|+|Ax+C|的最值. 因为|Ax+B|+|Ax+C|Ax+B-(Ax+C)|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)0时取“=”,所以f(x)min=(|Ax+B|+|Ax+C|)min=|B-C|.(2)形如f(x)=|Ax+B|-|Ax+C|的最值. 因为|Ax+B|-|Ax+C|Ax+B-Ax-C|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)0时取“
22、=”,所以f(x)max=(|Ax+B|-|Ax+C|)max=|B-C|,f(x)min=(|Ax+B|-|Ax+C|)min=-|B-C|.,文科数学选修4-5：不等式选讲,(3)形如f(x)=|Ax+B|+|Cx+D|或f(x)=|Ax+B|-|Cx+D|的最值由绝对值的几何意义作图可知. 2.利用基本不等式、柯西不等式求最值 (1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时,常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形,使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件. (2)在应用柯西不等式求最大值时,要注意等号成立的条件,柯西不等式在排列上规律明显,具有简洁、对称的美感,运用柯西不等式求解
23、时,按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题.,文科数学选修4-5：不等式选讲,拓展变式4 2018湖北武汉联考设m,nR,且m2+n2=a2,a是不等式|x-1|1的最大整数解. (1)求a的值; (2)若x,yR,且x2+y2=3,求|mx+ny|的最大值.,4.(1)因为|x-1|1-1x-110x2,所以a=2. (2)解法一 当a=2时,m2+n2=4.圆x2+y2=3与m2+n2=4的参数方程分别是,文科数学选修4-5：不等式选讲,= 3 cos , = 3 sin , 和 =2 cos , =2 sin . 将它们代入|mx+ny|中, 得到|mx+ny|=|2 3 cos cos +2 3 sin sin |=2 3 |cos(-)|2 3 ,因此,当且仅当cos(-)=1时,|mx+ny|取到最大值,最大值为2 3 . 解法二由二维形式的柯西不等式得到,(x2+y2)(m2+n2)(mx+ny)2,所以|mx+ny| 2 + 2 2 + 2 =2 3 ,当且仅当nx=my时等号成立.因此|mx+ny|的最大值是2 3 .,文科数学选修4-5：不等式选讲,
